1、天津市和平区2016年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|1x4，B=x|x24x+30，则A（RB）可表示为（）A1，1）（3，4）B1，13，4）C2设变量x，y满足约束条件其中k，若目标函数z=xy的最小值大于3，则k的取值范围是（）A（，3）B（3，+）C（，5）D（5，+）3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是（）A12B16C24D324设xR，则“a=b”是“f（x）=（x+a）|x+b|为奇函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知直线l的参数方程为
2、（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4sin，则直线l被圆C截得的弦长为（）ABC2D26如图，圆O的两条弦AB与CD相交于点E，圆O的切线CF交AB的延长线于F点，且AE：EB=3：2，EF=CF，CE=，ED=3，则CF的长为（）A6B5C2D27已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线为x+y=0，点M在双曲线上，且MF1x轴，若F2同时为抛物线y2=12x的焦点，则F1到直线F2M的距离为（）ABCD8已知g（x）=|log2x|x2|的三个零点为a，b，c且abc，若f（x）=|log2x|，则f（a），f
3、（b），f（c）的大小关系为（）Af（b）f（a）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（a）f（b）f（c）Df（c）f（a）f（b）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9若a是复数z1=（1i）（3+i）的虚部，b是复数z2=的实部，则ab等于10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm311曲线y=与直线x=、直线x=e及x轴所围成的封闭图形的面积等于12若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2c=3b，sinA=2sinB，则的值为14已知菱形ABC
4、D的边长为1，BAD=120，若=， =，其中01， 的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知函数f（x）=xsinxcos（x），xR（）求f（x）的最小正周期及单调区间；（）求f（x）在区间，上的最大值和最小值16一个袋子中有k个红球，4个绿球，2个黄球，这些球除颜色外其他完全相同从中一次随机取出2个球，每取得1个红球记1分、取得1个绿球记2分、取得1个黄球记5分，用随机变量X表示取到2个球的总得分，已知总得分是2分的概率为（）求袋子中红球的个数；（）求X的分布列和数学期望17如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，SA平面
5、ABCD，E为SC的中点，F为AC上一点，且AB=2，SA=2（）求证：EFBD；（）若EF平面SBD，试确定F点的位置；（）求二面角BSCD的余弦值18已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=1（）求an的通项公式；（）若Sn+（n+）为等差数列，求的值19设椭圆C： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）满足条件|AB|=|F1F2|（）求椭圆C的离心率；（）若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；（）在（）的条件下，过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段MN的中点，求直线l的方程20已知函数f（x）=4ax2l
6、nx（）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）设函数g（x）=，若在区间1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围2016年天津市和平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|1x4，B=x|x24x+30，则A（RB）可表示为（）A1，1）（3，4）B1，13，4）C【分析】化简集合B，求出RB，再计算A（RB）【解答】解：集合A=x|1x4=1，4），B=x|x24x+30=x|1x3=（1，3）
7、，RB=（，13，+）；A（RB）=1，13，4）故选：B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算问题，熟练掌握各自的定义是解题的关键2设变量x，y满足约束条件其中k，若目标函数z=xy的最小值大于3，则k的取值范围是（）A（，3）B（3，+）C（，5）D（5，+）【分析】先作出不等式组对应的平面区域，利用z=xy的最小值大于3，先求出z=xy最小值为3时k的值，建立条件关系即可求实数k的值【解答】解：由z=xy得y=xz，目标函数z=xy的最小值大于3，当目标函数z=xy的最小值等于3时，由图象可知要使z=xy的最小值为3，即y=x+3，此时直线y=x+3对应区域的截距最大，由，解得，即C（
8、，），同时A也在直线kxy+1=0上，则k+1=0，得k=1=，即k=5，要使目标函数z=xy的最小值大于3，则k5，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数先求出z取得最小值为3时，对应的k的值，然后得到平面区域的对应关系是解决本题的关键3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是（）A12B16C24D32【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i，k的值，当i=12时，不满足条件i12，退出循环，输出S的值为32【解答】解：模拟执行程序，可得i=2，k=1，S=1满足条件i12，执行循环体，S=2，i=4，k=2满足条件i12，执行循环体，S=4，i=6，k=
9、3满足条件i12，执行循环体，S=8，i=8，k=4满足条件i12，执行循环体，S=16，i=10，k=5满足条件i12，执行循环体，S=32，i=12，k=6不满足条件i12，退出循环，输出S的值为32故选：D【点评】本题考查了循环框图中的当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件算法结束，此题在运算过程中极易出错，是易错题4设xR，则“a=b”是“f（x）=（x+a）|x+b|为奇函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若f（x）=（x+a）|x+b|
10、为奇函数，则f（0）=0，即a|b|=0，则a=0或b=0，若a=0，f（x）=x|x+b|，则f（x）=x|x+b|=x|x+b|，即|xb|=|x+b|，则b=0，此时a=b，若b=0，f（x）=（x+a）|x|，则f（x）=（x+a）|x|=（x+a）|x|，即x+a=xa，则a=a，则a=0，此时a=b，即必要性成立，若a=b=1，则f（x）=（x+1）|x+1|，则f（0）=10，则函数f（x）不是奇函数，即充分性不成立，故“a=b”是“f（x）=（x+a）|x+b|为奇函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解
11、决本题的关键5已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4sin，则直线l被圆C截得的弦长为（）ABC2D2【分析】直线l的参数方程为（t为参数），消去t化为：3x4y+3=0圆C的极坐标方程为=4sin，即2=4sin，把2=x2+y2，y=sin代入可得直角坐标方程求出圆心C到直线l的距离d利用直线l被圆C截得的弦长=2即可得出【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），消去t化为：3x4y+3=0圆C的极坐标方程为=4sin，即2=4sin，可得直角坐标方程：x2+y2=4y，配方为：x2+（y2）2=4可得圆心C（0，2）
12、，半径r=2圆心C到直线l的距离d=1则直线l被圆C截得的弦长=2=2故选：C【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、点到直线的距离公式、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6如图，圆O的两条弦AB与CD相交于点E，圆O的切线CF交AB的延长线于F点，且AE：EB=3：2，EF=CF，CE=，ED=3，则CF的长为（）A6B5C2D2【分析】利用相交弦定理可得：AE，EB，再利用切割线定理即可得出【解答】解：设AE=3x，则EB=2x，AEEB=CEED3x2x=，解得x=1AE=3，BE=2设FB=y，则FE=y+2=CF，由切割线定理可得：CF
13、2=FBFA，（y+2）2=y（y+5），解得y=4，CF=6故选：A【点评】本题考查了相交弦定理、切线长定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线为x+y=0，点M在双曲线上，且MF1x轴，若F2同时为抛物线y2=12x的焦点，则F1到直线F2M的距离为（）ABCD【分析】求出双曲线的渐近线的方程，可得a=b，由抛物线的焦点坐标，可得c=3，即a2+b2=9，解得a，b，可得双曲线的方程，求得M的坐标和直线MF2的方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y
14、=x，由题意可得=，又抛物线y2=12x的焦点为（3，0），即有c=3，即a2+b2=9，解得b=，a=，可得双曲线的方程为=1，令x=3，可得y=3=，可设M（3，），直线MF2的方程为y=x+，可得F1到直线F2M的距离为=故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，以及运算能力，属于中档题8已知g（x）=|log2x|x2|的三个零点为a，b，c且abc，若f（x）=|log2x|，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（）Af（b）f（a）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（a）f（b）f（c）Df（c）f（a
15、）f（b）【分析】问题转化为f（x）=|log2x|和h（x）=|x2|的交点，结合函数图象求出其大小即可【解答】解：g（x）=|log2x|x2|的三个零点为a，b，c，即f（x）=|log2x|和h（x）=|x2|的三个交点的横坐标为a，b，c，如图示：，结合图象：f（b）f（a）f（c），故选：A【点评】本题考查了对数函数的性质，考查绝对值问题以及数形结合思想，是一道中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9若a是复数z1=（1i）（3+i）的虚部，b是复数z2=的实部，则ab等于【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z1，根据已知条件即可求出a的值
16、，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z2，即可得到b的值，则ab的值可求【解答】解：z1=（1i）（3+i）=42i，由a是复数z1=（1i）（3+i）的虚部，得a=2z2=，由b是复数z2=的实部，得b=则ab=故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3【分析】由三视图可知：该几何体为上下部分组成，上面为一个球，下面为一个圆锥利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下部分组成，上面为一个球，下面为一个圆锥该几何体的体积=+=故答案为：【点评】本题考查了三视图的有
17、关计算、圆锥与球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11曲线y=与直线x=、直线x=e及x轴所围成的封闭图形的面积等于2【分析】由题意，利用定积分表示所围成的封闭图形的面积，利用定积分计算【解答】解：由题意，曲线y=与直线x=、直线x=e及x轴所围成的封闭图形的面积为=lnx|=lneln=2；故答案为：2【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数12若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是180【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即
18、可求得常数项【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，n=10的展开式的通项为（1）r2rx2r=（2）r令=0，可得r=2展开式中的常数项等于=180故答案是180【点评】本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2c=3b，sinA=2sinB，则的值为【分析】利用正弦定理得出三角形三边的比例关系，利用余弦定理求出cosA，cosB得出比值【解答】解：2c=3b，b：C=2：3sinA=2sinB，a=2b，a：b；
19、c=4：2：3设a=4，b=2，c=3，则cosA=，cosB=故答案为：【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，属于基础题14已知菱形ABCD的边长为1，BAD=120，若=， =，其中01， 的最小值为【分析】根据向量加法的几何意义及相等向量的概念便可得出，由进行数量积的运算便可以得到，而由基本不等式便可求出的最小值，从而便可得出的最小值【解答】解：如图，根据条件：=，当且仅当，即时取“=”；的最小值为故答案为：【点评】考查向量加法的几何意义，相等向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，分离常数法的运用，基本不等式用于求最值，运用基本不等式时需判断等号能否取到三、解答题：本大题共6小题，共8
20、0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知函数f（x）=xsinxcos（x），xR（）求f（x）的最小正周期及单调区间；（）求f（x）在区间，上的最大值和最小值【分析】（）由诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简f（x），由此得到周期与单调区间（）由f（x）的单调性得到在区间，上的单调性，由此得到最值【解答】解：（）=sin（2x+）+f（x）的最小正周期由2x+，kZ，可得kxk+，kZ，故f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ由2x+，kZ，可得k+xk+，kZ，故f（x）的单调递减区间为k+，k+，kZ（）解：由（）可知，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以f（x
21、）在区间上的最大值为，最小值为0【点评】本题考查三角函数的化简，以及求周期与单调性，由单调性得最值16一个袋子中有k个红球，4个绿球，2个黄球，这些球除颜色外其他完全相同从中一次随机取出2个球，每取得1个红球记1分、取得1个绿球记2分、取得1个黄球记5分，用随机变量X表示取到2个球的总得分，已知总得分是2分的概率为（）求袋子中红球的个数；（）求X的分布列和数学期望【分析】（）当取到的2个球都是红球时，总得分是2分，从而，由此能求出袋子中有3个红球（）依题意，X的所有可能取值为2，3，4，6，7，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】（本题13分）解：（）当取到的2个球
22、都是红球时，总得分是2分，即，（2 分）化简得11k223k30=0，即（k3）（11k+10）=0，（3 分）解得k=3或（舍去）故袋子中有3个红球（4 分）（）依题意，X的所有可能取值为2，3，4，6，7，10（5 分），（10分）X的分布列为： X 2 3 4 6 7 10 P（11分）（13分）【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用17如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，SA平面ABCD，E为SC的中点，F为AC上一点，且AB=2，SA=2（）求证：EFBD；（）若EF平面SBD
23、，试确定F点的位置；（）求二面角BSCD的余弦值【分析】（）以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EFBD（）设AC与BD的交点为G，则G（1，1，0），连接SG，求出，若使EF平面SBD，只需EFSG，由此能求出当F点坐标为时，EF平面SBD（）求出平面SBC的一个法向量和平面SCD的一个法向量，得用向量法能求出二面角BSCD的余弦值【解答】证明：（）以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（a，a，0），其中（2 分），EFBD
24、（5 分）解：（）设AC与BD的交点为G，则G（1，1，0），连接SG，若使EF平面SBD，只需EFSG，只需，即（7 分）故当F点坐标为时，EF平面SBD（8 分）（）设平面SBC的一个法向量为=（x，y，z），而，则，即，取z=1，得=（10分）设平面SCD的一个法向量为=（x1，y1，z1）而=（0，2，2），=（2，0，0），则，取z1=1，得=（11分）cos=，由图形知所求二面角是锐角，故二面角BSCD的余弦值为（13分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查使线面平行的点的位置的确定，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18已知数列an的前
25、n项和为Sn，a1=1，且an+1=1（）求an的通项公式；（）若Sn+（n+）为等差数列，求的值【分析】（I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出（II）利用等比数列的前n项和公式、等差数列的通项公式即可得出【解答】解：（）依题意，可得Sn=22an+1，当n2时，Sn1=22an，（1 分），得an=2an2an+1，（3 分）故（n2）（4 分）因为a1=1，（5 分）所以an是首项为1，公比为的等比数列，故（6 分）（）解：由（）可得（8 分）由为等差数列，则，成等差数列（10分）即，故，（12分）解得=2（13分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递
26、推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19设椭圆C： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）满足条件|AB|=|F1F2|（）求椭圆C的离心率；（）若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；（）在（）的条件下，过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段MN的中点，求直线l的方程【分析】（）由A，B的坐标求得|AB|2=a2+b2，结合，可得2c2=a2+b2，再结合隐含条件求得离心率；（）由（）可得b=，写出直线AB的方程，由O到直线AB的距离为，得，联立b=，求得a，b的值得答案；（）设M、N两点的坐标分别为（x1，y1）和（
27、x2，y2），把M，N的坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，再由直线方程的点斜式得直线l的方程【解答】解：（）依题意，得|AB|2=a2+b2，而，（2 分）则有2c2=a2+b2=a2+（a2c2），即2a2=3c2，故，（3 分）离心率；（4 分）（）由（）可得，（5 分）直线AB的截距式方程为，即bx+ayab=0，（6 分）依题意，得，（7 分）由，解得椭圆C的方程的方程为；（10分）（）设M、N两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），依题意，可知x1x2，且，（11分）两式相减，得（12分）P（2，1）是线段MN的中点，x1+x2=4，y1+y2=2，则有，即直线l的斜率为
28、，且直线l过点P（2，1），（13分）故直线l的方程为，即2x3y+7=0（14分）【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，属中档题20已知函数f（x）=4ax2lnx（）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）设函数g（x）=，若在区间1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围【分析】（）求出f（x）的导数，求出f（1），f（1），代入切线方程即可；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，
29、从而求出a的具体范围；（）构造函数（x）=f（x）g（x），x1，e，只需（x）max0，根据函数的单调性求出（x）max，从而求出a的范围【解答】解：（）当a=1时，f（1）=412ln1=3，（1 分），（2 分）曲线f（x）在点（1，f（1）处的斜率为f（1）=3，（3 分）故曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y3=3（x1），即y=3x（4 分）（）（5 分）令h（x）=4ax22x+a，要使f（x）在定义域（0，+）内是增函数，只需h（x）0在区间（0，+）内恒成立（6 分）依题意a0，此时h（x）=4ax22x+a的图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为，则只需0，即a时，h（x）0，f（x）0，（8 分）所以f（x）定义域内为增函数，实数a的取值范围是（9 分）（）解：构造函数（x）=f（x）g（x），x1，e，依题意（x）max0，（10分）由（）可知a时，（x）=f（x）g（x）为单调递增函数，即在1，e上单调递增，（12分），则，此时，（e）=f（e）g（e）0，即f（e）g（e）成立当a时，因为x1，e，故当x值取定后，（x）可视为以a为变量的单调递增函数，则（x），x1，e，故（x），即f（x）g（x），不满足条件所以实数a的取值范围是（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题
