1、本章优化总结平面直角坐标系与曲线方程利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单在ABC中，底边BC12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程解以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，过原点且与BC垂直的直线为y轴，则B(6，0)，C(6，0)，|BD|CE|30，可知|GB|GC|(|BD|CE|)20，G的轨迹是椭圆，轨迹方程为：1(x10)与极坐标方程有关的简单几何问题遇到不太熟悉的极坐标方程的曲线的位
2、置关系问题，可化为常见的直角坐标方程来解决因此，要正确进行点和方程的极坐标和直角坐标互化(1)求证：圆C12cos与圆C222sin20外切，并求切点的极坐标；(2)求双曲线的两条渐近线的夹角解(1)圆C1即22cos，化成直角坐标方程得x2y22x0.圆心为C1(1，0)，半径r11.又圆C2方程即x2y22y20，圆心为C2(0，)，半径r21(如图)而|C1C2|211r1r2.所以圆C1与圆C2外切设点A为两圆的切点，连结OA，则|OA|C1C2|1，OAC1是正三角形，于是点A的极坐标为(1，)(2)将双曲线方程化成直角坐标方程得4x24x4y210，即4(x)24y21.两渐近线方
3、程为2x2y0，2x2y0.两条渐近线的夹角为90.用极坐标求轨迹方程利用极坐标求动点的轨迹方程时，首先应选择好极点与极轴，使问题尽量简化已知半圆O，求所有与半圆直径AB相切，且和半圆内切的动圆圆心P的轨迹方程解如图以O为极点，以OB为极轴建立极坐标系设半圆半径为r，P点坐标为(，)，OQOPPR且PROPsin，rsin，(0)用极坐标解决解析几何中的定值问题在解圆锥曲线上的点与中心连线有关的问题时，可使用极坐标，常可使问题简化此时的极点取在中心，而不是焦点，不要混淆如图，设A、B为椭圆1(ab0)上的两点，O为原点且AOOB.求证：O到AB的距离|OH|是定值证明xcos，ysin，设两点
4、的极坐标分别为B(1，)，A(2，)由于A、B均在椭圆上，故有1，.同理可得.在RtAOB中，|OH|AB|OA|OB|，|AB|2|OA|2|OB|2，因此|OH|2.|OH|2，|OH|.因此O点到AB的距离|OH|是一个定值.用极坐标解决最值问题当要解决的问题涉及到过椭圆、双曲线中心的半径或弦长，过抛物线顶点的弦时，可将椭圆的直角坐标方程1(ab0)化为：2；双曲线的直角坐标方程1(a0，b0)化为：2；抛物线的直角坐标方程y22px化为：.在椭圆1(ab0)上任取两点A、B，O为原点，且0，求AOB面积的最大值和最小值解椭圆方程化为极坐标方程得1，即2，.设A(1，)，B(2，)，SA
5、OB12.当sin20时，Smaxab；当sin21时，Smin.数形结合思想运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现坐标系的建立，使直观的几何图形转化为数量运算得以完美实现某海滨城市附近海面出现台风据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南(cos)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到侵袭持续多长时间？解法一：坐标法以O为原点，正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示在时刻t(h)台风中心P(，)的坐标为，
6、此时台风侵袭的区域是(x)2(y)2r(t)2，其中r(t)10t60.若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0)2(0)2(10t60)2，即(10t60)2.化简整理得t236t2880，解得12t24.所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为12小时法二：解三角形法假设经过t小时后，台风中心位置从P处转移到P处，由于OPx，且coscos45，所以45，连接OP(图略)，在OPP中，OP300，PP20t，cosOPPcos(45)coscos45sinsin45.由余弦定理，得OP23002(20t)2230020t.若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有OP2(6010t)2
7、，即3002(20t)2230020t(6010t)2.化简，得t236t2880，即(t12)(t24)0，解得12t24.所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为12小时转化与化归思想转化与化归具体体现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊，如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，空间直角坐标与柱坐标、球坐标的互化等都是这种思想的体现求经过极点O(0，0)，A，B三点的圆的极坐标方程解将点O，A，B的极坐标化为直角坐标，分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，所以过这三点的圆的圆心为(3，3)，半径为3，所以圆的直角坐标方
8、程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0.将xcos，ysin代入上述方程，得26(cossin)0，即6cos.分类与整合思想许多数学问题因其字母取值范围的不同，或其中几何图形的相关位置不同等，分别会得出不同的结果解题时往往需要化整为零，逐个分类再加以整合，这种思想方法就是分类与整合的思想根据曲线的极坐标方程mcos23sin26cos0(mR)，判断曲线的类型解将极坐标方程mcos23sin26cos0两边同乘以得m2cos232sin26cos0，mx23y26x0.当m3时，直角坐标方程为x2y22x0，曲线为圆；当0m3或m3时，直角坐标方程的曲线为椭圆；当m0时，直角坐标方程为y22x，曲线为抛物线；当m0时，直角坐标方程的曲线为双曲线
