1、吉林省延边朝鲜族自治州汪清县第六中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一.选择题1.抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：抛物线的标准方程为，开口向上，焦点在轴的正半轴上，故焦点坐标为，故选C考点：抛物线的标准方程及抛物线的简单性质2.命题“，使是”的否定是（）A. ，使得B. ，使得.C. ，使得D. ，使得【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“，使是”的否定为“，使得”故选D【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答
2、中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3.下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据不等式性质证明A成立，举反例说明B,C,D错误【详解】因为，所以，A正确若，则，所以B错误；若，则，所以C错误；若，则，所以D错误综上选A.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知为等差数列的前n项和，若，则（ ）A. 18B. 99C. 198D. 297【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质，可得，解得再利用求和公式及其性质即可得出则【详解】解：由等差数列的性质，可得，解得则
3、故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由原方程可得，其焦点为，顶点为，据此可写出所求椭圆方程.【详解】由原方程可得，所以双曲线的焦点为，顶点为椭圆的顶点为，焦点为，即，所以所求的椭圆方程为，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线方程，简单几何性质，椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.6.已知等比数列前项和为，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由等比数列的前项和性质可知：成等比数列，再根据计算出结果.【详解】因为成等
4、比数列，所以代入数值所以，则.【点睛】（1）形如的式子，可表示为；（2）等比数列中前项和为，则有成等比数列，其中公比或时且不为偶数.7.“”是“成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别进行证明即可【详解】由，可得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“成立”的充分不必要条件故选A【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题8.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由不等式可得或者，由此解得x的范围.【详解】解：由不等式可得或者不等式得解
5、集为故选A.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.9.若不等式ax2bx20的解集为，则ab等于()A. 28B. 26C. 28D. 26【答案】C【解析】不等式 的解集为 是一元二次方程ax2+bx-2=0的两个实数根，且 ，解得 故选C10.关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】特值,利用排除法求解即可.【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：求最值，说明恒成立参变分离，再求最值11.已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的
6、渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】双曲线与抛物线焦点相同，得出，利用离心率公式以及、关系可求得、，进一步得到双曲线的渐近线方程【详解】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，焦点为又，由得，因此，渐近线方程为，故选A【点睛】本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得是关键12.设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义有，即，再结合题意运算即可得解.【详解】解：由定义得，又，所以，.因为线段的中点在轴上，为的中点，由三角形中位线平行于底边，得，所以，所以，所以.
7、故选C.【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属中档题.二.填空题（本题共4小题每题5分共20分）13.过抛物线的焦点作弦，点，且，则_【答案】14【解析】【分析】根据抛物线定义得焦点弦计算公式，代入条件即得结果【详解】由抛物线定义得【点睛】本题考查抛物线定义以及抛物线中焦点弦弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.14.设满足约束条件，则的最大值为 .【答案】5.【解析】.试题分析：约束条件的可行域如图ABC所示.当目标函数过点A(1，1)时，z取最大值，最大值为1+41=5.【考点】线性规划及其最优解.15.已知，则的最小值为_【答案】9【解析】【分析】由题意整体代入可得，由基本不等式可得【详
8、解】由，则当且仅当，即a3且b时，取得最小值9故答案为9【点睛】本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题16.已知等比数列是递减数列，是的前项和，若是方程的两个根，则_【答案】【解析】【分析】由题可知，于是可知，从而利用求和公式得到答案.【详解】是方程的两根，且，则公比，因此.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的相关计算，难度很小.三.解答题（本题共6小题，共70分）17.设是等差数列，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出，
9、由此能求出的通项公式（2）由，求出的表达式，然后转化求解的最小值【详解】解：（1）是等差数列，且，成等比数列，解得，（2）由，得：，或时，取最小值【点睛】本题考查数列的通项公式、前项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题18.已知数列的前n项和为,(1)求数列的通项公式；(2)设的前项和为,求证【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式性质及其求和公式即可得出结果；（2）根据题意可得,然后利用裂项求和即可得出,进而即可证得结论【详解】解：（1）,当时, 又满足上式, （2）证明：,【点睛】本题考查了等差数列的通
10、项公式性质及其求和公式、裂项求和,考查了推理能力与计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力,属于中档题19.已知抛物线的准线方程为，为抛物线的焦点（I）求抛物线的方程；（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2），求的最小值【答案】(I) (II)4【解析】【分析】（）运用抛物线的准线方程，可得p1，进而得到抛物线方程；（）过A作AB准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值；【详解】(I)准线方程x=-,得=1，抛物线C的方程为(II)过点P作准线的垂线，垂足为B，则=要使+的最小，则P，A，B三点共线此时+=+=4【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和
11、性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题20.已知椭圆C的焦点为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点求：（1）椭圆C的标准方程；（2）弦AB的中点坐标及弦长【答案】（1）（2）中点坐标为，弦长【解析】【分析】（1）根据已知得到，利用求得，从而得到标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到根与系数的关系，利用中点坐标公式求得中点坐标；再利用弦长公式求得所求弦长.【详解】（1）椭圆的焦点为和，长轴长为椭圆的焦点在轴上， 椭圆的标准方程为：（2）设，线段的中点为由，消去得：， 弦的中点坐标为【点睛】本题考查椭圆标准方程的
12、求解、椭圆弦长及弦中点的求解，主要考查对于韦达定理、弦长公式的掌握，属于基础题型.21.如图，在三棱柱中，且，底面，为中点,点为上一点（1）求证： 平面； （2）求二面角 的余弦值；【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于O，连接EO，证明，推出 平面（2）以CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值【详解】（1）连接交于，连接，因四边形为矩形，为对角线，所以为中点，又为中点，所以，平面，平面，所以 /平面（2）因为底面，所以底面，又，所以以，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 则，设平面的法向
13、量为,则有，即 令，则由题意底面，所以为平面的法向量，所以，又由图可知二面角为钝二面角，所以二面角 余弦值为【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的综合应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力22.在四棱锥中，底面为菱形， ，侧面为等腰直角三角形，点为棱的中点（1）求证：面面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题中数据，得到；再以为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.【详解】（1）证明：，为棱的中点，又为菱形且，面，面，面面；（2）解：，又，则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系则，设平面的一个法向量为由，取，得设直线与平面所成角为所以【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.
