1、北京市第四中学2021届高三数学12月考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 若全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算，再依次判断每个选项得到答案.【详解】，则，故，D正确；且，ABC错误；故选：D.【点睛】本题考查了集合的包含关系，补集运算，属于简单题.2. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和基本函数的单调性，对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】选项A：函数不是奇函数，故不正确.选项B：设，则，所以是奇函数，又，当时，为减函数所以在上是减函数，
2、则在也为减函数.又，所以在上为减函数，故正确.选项C：函数在定义域内不是减函数，故不正确.选项D：函数不是奇函数且在定义域内不是减函数，故不正确.故选：B3. 已知角的终边经过点，则角可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出的值，结合角为第四象限角可得出结果.【详解】由题意可知，点在第四象限，且，当时，.故选：C.4. 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和
3、相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围5. 函数在区间内的零点个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】将函数在区间内的零点个数转化为函数的交点个数，利用数形结合法求解.【详解】令函数，即，令 ，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知， 在区间内的零点个数为3，故函数在区间内的零点个数为3，故选：B6. 在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为（ ）A. 3B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则转化为求|，再根据两边之和大于等于第三边可
4、得最大值【详解】|OB|+|OA|22，故选C【点睛】本题考查了考查了向量减法的运算法则，向量在几何中的应用问题，属于中档题7. 设，则“是第一象限角”是“”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：若是第一象限角，则, ,可得，必要性：若，不是第三象限角，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题
5、，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8. 设，.若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 8【答案】C【解析】【分析】先根据等比中项的性质求得的值，利用“1”的变换得，展开后利用基本不等式求最小值.【详解】由条件可知，即，所以，当时，即时，等号成立.故选：C【点睛】思路点睛：本题考查基本不等式求最值，基本不等式求最值时注意“一正，二定，三相等”，尤其是不要忽略验证相等的条件.9. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得.把
6、温度是100的物体，放在10的空气中冷却后，物体的温度是40，若取1.099，则t的值约等于（ ）A. 6.61B. 4.58C. 2.89D. 1.69【答案】B【解析】【分析】理解题中定义的公式，代入相关数值，即可计算出的值.【详解】根据条件，令，所以，所以，所以，所以，所以.故选：B.10. 对于数列，若存在常数M，使得对任意正整数n，与中至少有一个不小于M，则记作，那么下列命题正确的是（ ）A. 若，则数列各项均不小于MB. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】D【解析】【分析】通过数列为1，2，1，2，1，2，当时，判断A；当时，判断C；当数列为1，2，1，2，1，2，为2，1，2，
7、1，2，时，判断B；直接根据定义可判断D正确.【详解】对于A：在数列1，2，1，2，1，2中，数列各项均大于或等于不成立，故A错误；对于B：数列为1，2，1，2，1，2，为2，1，2，1，2，而各项均为3，则不成立，故B错误； 对于C：在数列1，2，1，2，1，2中，此时不正确，故C错误；对于D：若，则中，与中至少有一个不小于，故正确，故选：D【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义是解题的关键，属于中档题.方法点睛：特殊数列是常用的解题方法，尤其在命题的判断中，常采用特殊数列做反例说明命题不正确.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若直线与直线相互平行
8、，则实数a等于_；这两条平行直线间的距离为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得，解可得的值，即可得直线的方程，由平行线间的距离公式计算可得答案【详解】根据题意，若直线与直线相互平行，则有，解可得，则直线的方程为和，即，故这两条平行直线间的距离.故答案为：，【点睛】易错点睛：求两平行线间的距离公式时，一定要先把两直线化成的形式，再利用两平行线间的距离公式求解.12. 已知双曲线，则渐近线方程为_；离心率e为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由已知得双曲线的焦点在轴上，故其渐近线方程为，离心率【详解】由已知得双曲线的焦点在轴上，故其渐
9、近线方程为，即，离心率.故答案为：，13. 已知函数，且是函数的极值点给出以下几个命题：；其中正确的命题是_（填出所有正确命题的序号）【答案】【解析】试题分析：的定义域为，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有考点：导数在求函数极值中的应用14. 能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为_【答案】，【解析】【分析】本题先假设成立，再求出，最后令值即可.【详解】解：-假设成立，则，当时，此时、是不相等的正数，故命题为真命题的一组，的值为：，故答案为：，【点睛】本题考查利用命题的真假求参数值，答案不唯一，是开放性试题.15. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动设顶点P（，y
10、）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为 【答案】4； 【解析】试题分析：不难想象，从某一个顶点（比如）落在轴上的时候开始计算，到下一次点落在轴上，这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4下面考察点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，点从轴上开始运动的时候，首先是围绕点运动个圆，该圆半径为1，然后以点为中心，滚动到点落地，其间是以为半径，旋转，然后以为圆心，再旋转，这时候以为半径，因此最终构成图象如下：由图可得所求面积为考点：1函数图像；2推理三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 已知等比数列的各
11、项均为正数，求数列的通项公式；设证明：为等差数列，并求的前n项和【答案】（） （）见解析，【解析】【分析】（1）利用及求得，从而得到通项公式（2）利用定义证明等差数列，并利用公式求和【详解】（）设等比数列的公比为，依题意由得，解得故 （）证明：由（）得故，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以【点睛】一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明；（2）证明：.17. 已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.（1）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；（2）当面积等于时，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出的方程，与椭圆方程联立，得到关于的
12、一元二次方程，结合韦达定理，可求出的坐标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；（2）易知直线斜率存在，可表示出的方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出的表达式，及点到直线的距离的表达式，结合，可求出直线的斜率.【详解】（1）因为直线l过，斜率为，所以：.联立，得到.由韦达定理，有，设，则，所以，.（2）由题意，可知直线斜率存在，设斜率为，则为：，联立，得到，由韦达定理，有，O到直线l的距离为，.则.所以，化简得，解得，所以直线：或.18. 已知函数满足下列3个条件中的2个条件：函数的周期为；是函数的对称轴；且在区间上单调；（）请指出这二个条件并说明理由，求出函数的
13、解析式；（）若，求函数的最值.【答案】（）成立，理由见解析，；（）的最大值为1；最小值为.【解析】【分析】（）依次讨论成立，成立，成立，计算得到只有成立，得到答案.（）得到，得到函数值域，即可得出最值.【详解】（）由可得，. 由得：，由得，若成立，则，. 若成立，则，不合题意. 若成立，则，与中的矛盾，所以不成立. 所以，只有成立，. （）由题意得，. 所以，当时，函数取得最大值1；当或时，函数取得最小值.19. 已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点
14、坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为x；（2）见解析.【解析】试题分析：（）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.试题解析：（）由抛物线C：过点P（1，1），得.所以抛物线C方程为.抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.由，得.则，.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线
15、段BM的中点.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.20. 已知函数 （）求曲线在点处的切线方程；（）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；（）比较与的大小，并加以证明【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）求出的值可得切点坐标，求出,可得的值，从而得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的
16、切线方程；（2）由已知，只需证明方程 在区间有唯一解，先利用导数证明在区间单调递增，再利用零点存在定理可得结论；（3）当时，利用导数研究函数的单调性，可得，即 ，令 即可的结果.试题解析：（1）函数的定义域是，导函数 所以， 又，所以曲线在点处切线方程为， （2）由已知 所以只需证明方程 在区间有唯一解即方程 在区间有唯一解 设函数 ，则 当 时，故在区间单调递增 又 ，所以 存在唯一的，使得 综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为（3）证明如下：首先证明：当时，设 ，则 当 时，所以 ，故在单调递增， 所以 时，有，即当 时，有所以 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及
17、利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.21. 已知集合是正整数的一个排列，函数对于，定义：，称为的满意指数.排列为排列的生成列.（）当时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；（）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.【答案】（）0，1
18、，-2，1，,4，3；（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（）根据题中定义进行求解即可；（）设出和的生成列，和，从右往左数，第一个不同的项为与，只要根据题中定义证明即可；（）设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以，根据题中操作，结合题中定义进行证明即可.【详解】（）解：当时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，-2，1，4，3. （）证明：设生成列是；的生成列是.从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即： ，.显然，下面证明：. 由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数.由于排列的前k项各不相同，设这k项中有l项比小，则有项比大，从而.同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而.因为与是k个不同数的两个不同排列，且，所以，从而.所以排列和的生成列也不同. （）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以，. 依题意进行操作，排列变为排列，设该排列的生成列为. 所以.所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是对题中所给的定义、所给的操作的理解.- 17 -
