1、第 2 讲 三角变换与解三角形 感悟高考 明确考向(2010陕西)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB5(3 3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得DBsinDABABsinADB，DBABsinDABsinADB 5(3 3)sin 45sin
2、1055(3 3)sin 45sin 45cos 60cos 45sin 605 3(31)31210 3(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD2BC22BDBCcos DBC3001 200210 320 312900，CD30(海里)，需要的时间 t30301(小时)故救援船到达 D 点需要 1 小时考题分析本题以实际问题为背景考查考生的应用意识，建模能力，综合运用正、余弦定理进行运算求解的能力本题题干较长，名词较多，需将其转化为解三角形问题易错提醒 (1)将题干中的数据与三角形中的边、角对应时，易出错尤其是方位角与
3、三角形的内角进行转换时，易出错(2)正弦定理、余弦定理的应用条件把握不准，易用错定理(3)运算易出错主干知识梳理 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin.(2)cos()cos cos sin sin.(3)tan()tan tan 1tan tan.2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos.(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2 2tan 1tan2.3三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式的两边同时变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4正弦定理a
4、sin A bsin Bcsin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R.abcsin Asin Bsin C.5余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.6面积公式SABC12bcsin A12acsin B12absin C.7解
5、三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解热点分类突破题型一 三角变换及求值例 1(1)已知 02，且 cos(2)19，sin(2)23，求 cos()的值；(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，求 2 的值思维启迪(1)(2)(2)2；(2)()，2()解(1)02，422，420，02，020，022.tan 170，2，20.234.探究提高(1)注意角的变换，(2)(2)2；(2)先由 tan tan()，求出 tan
6、的值，再求tan 2 的值，这样能缩小角 2 的取值范围；(3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化变式训练 1已知(2，)，且 sin2cos2 62.(1)求 cos 的值；(2)若 sin()35，(2，)，求 cos 的值解(1)sin2cos2 62，两边平方得 12sin2cos232，sin 12.(2，)，56.cos 32.(2)(2，)，(6，3)又 sin()35，cos()1(35)245，cos cos()cos cos()sin sin()32 4512(35)34 310.题型二 正、余弦定理的应用例 2已知ABC 是半径
7、为 R 的圆内接三角形，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sin B.(1)求角 C；(2)试求ABC 的面积 S 的最大值思维启迪题设中的条件等式是ABC 中角、边及外接圆半径 R 的混合关系式，因此，可以利用正、余弦定理将其统一为一种元素(边或角)解(1)由 2R(sin2Asin2C)(2ab)sin B，两边同乘以 2R，得(2Rsin A)2(2Rsin C)2(2ab)2Rsin B，根据正弦定理，得 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，a2c2(2ab)b，即 a2b2c2 2ab.再由余弦定理，得 cos Ca2b2c22ab 22，又 0C，C4.(2
8、)C4，AB34.S12absin C 24(2Rsin A)(2Rsin B)2R2sin Asin B 22 R2cos(AB)cos(AB)22 R2 22 cos(AB)0A，0B，AB，当且仅当 AB0，即 AB38 时，cos(AB)1，S 取到最大值1 22R2.探究提高正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用本例中将三角形面积 S 表示为 cos(AB)的形式，利用三角函数的知识求解是关键变式训练 2(2010辽宁)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin
9、 C.(1)求 A 的大小；(2)求 sin Bsin C 的最大值解(1)由已知，根据正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc.由余弦定理得 a2b2c22bccos A，所以 cos A12，又 0A0，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3,2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求 A，的值和 M，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？思维启迪（1）结合图形，联想 y=A sin x 的性质求 A、的值确定 M、P 的坐标求两点间的距离(2)可考虑以PMN 的大小为设计标准，
10、即确定 为何值时，折线段赛道 MNP 最长或考虑 MN 与 NP的关系为设计标准解 方法一(1)依题意，有 A2 3，T43，又 T2，6.y2 3sin6x.当 x4 时，y2 3sin23 3，M(4,3)，又 P(8,0)，MP 42325.(2)在MNP 中，MNP120，MP5.设PMN，则 060.由正弦定理得MPsin 120 NPsin MNsin(60)，NP10 33sin，MN10 33sin(60)，NPMN10 33sin 10 33sin(60)10 3312sin 32 cos 10 33sin(60)0b，则有一解；若ab，则无解(2)当 A 为锐角时，如下表：
11、absin Aabsin Absin AaBCabcsin Asin Bsin C.(3)abcos Cccos B.5在ABC 中，三边分别为 a，b，c(abc2，则ABC 为锐角三角形(2)若 a2b2c2，则ABC 为直角三角形(3)若 a2b2c2，则ABC 为钝角三角形.知能提升演练 一、选择题1若 sin()sin cos()cos 45，且 是第二象限角，则 tan(4)等于()A7 B7C.17D17解析 依题意得 cos 45，又 在第二象限，所以 sin 35，tan 34，tan(4)1tan 1tan 17，故选 C.C2若 f(sin x)3cos 2x，则 f(c
12、os x)等于()A3cos 2xB3sin 2xC3cos 2xD3sin 2x解析 f(sin x)3cos 2x3(12sin2x)22sin2x，f(x)22x2，f(cos x)22cos2x3cos 2x，故选 C.C3在ABC 中，A60，b1，其面积为 3，则abcsin Asin Bsin C等于()A3 3B.2 393C.26 33D.292解析 S12bcsin A121csin 60 3，c4.a2b2c22bccos A1162141213，即 a 13，asin A bsin B csin C abcsin Asin Bsin C 13322 393，故选 B.B
13、4在ABC 中，已知 sin C2sin Acos B，那么ABC一定是()A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形解析 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B2sin Acos B，sin Acos Bcos Asin B0，即 sin(AB)0，又0A，0B，AB，故选 B.B5已知实数 a，b 均不为零，asin 2bcos 2acos 2bsin 2tan，且 26，则ba等于()A.3B.33 C 3D 33解析 tan tan(26)tan 2 331 33 tan 2asin 2bcos 2acos 2bsin 2atan 2babtan 2
14、，(tan221)(b 33 a)0，b 33 a，故ba 33，故选 B.B二、填空题6函数 ysin4xcos4x 的单调递增区间是_.解析 ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x112sin22x1121cos 4x23414cos 4x.令2k4x2k，kZ.解得4k2 xk2，kZ.k2 4，k2(kZ)7在锐角三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 a4bsin A，则 cos B_.解析 a4bsin A 且ABC 为锐角三角形，sin A4sin Bsin A.sin B14，cos B 154.1548(2010广东)已
15、知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角A，B，C 所对的边若 a1，b 3，AC2B，则 sin C_.解析 在ABC 中，ABC，又 AC2B，故B3.由正弦定理知 sin Aasin Bb12.又 ab，因此 A6.从而可知 C2，即 sin C1.1三、解答题9已知函数 f(x)a(2cos2x2sin x)b.(1)当 a1 时，求 f(x)的单调递减区间；(2)当 a0，x0，时，f(x)的值域是5,8，求 a，b 的值解(1)a1，f(x)(2cos2x2sin x)b(sin xcos x1)b 2sin(x4)1b.ysin x 的单调递增区间是2k2，2k2，kZ，当 2k
16、2x42k2，即 2k34 x2k4，kZ 时 f(x)是减函数，f(x)单调递减区间是2k34，2k4，kZ.(2)由(1)得 f(x)2asin(x4)ab.x0，4x454，22 sin(x4)1.a0，2a 2asin(x4)a，2aabf(x)b，f(x)的值域是5,8，即 2aab5，b8.a33 2，b8.10(2009安徽)在ABC 中，sin(CA)1，sin B13.(1)求 sin A 的值；(2)设 AC 6，求ABC 的面积解(1)由 sin(CA)1，CA，知 CA2.又 ABC，所以 2AB2，即 2A2B,0A4.故 cos 2Asin B，即 12sin2A13，sin A 33.(2)由(1)得 cos A 63.又由正弦定理，得 BCsin A ACsin B，BCACsin Asin B 3 2，所以 SABC12ACBCsin C12ACBCcos A3 2.返回
