1、江科附中2023届高二下学期第一次月考考试数学（理）试卷 考试时间 120分钟 命题人：何卫中 审题人：张小峰 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z(1i)(23i)(i为虚数单位)，则z的共轭复数( )A1i B1i C5i D5i2在参数方程(，为参数)所表示的曲线上有两点，它们对应的参数值分别为，则线段的中点M对应的参数值是（ ）A B C D3三棱锥中，为的重心，在棱上，且，则与平面的位置关系为（ ）A在平面内 B与SC共面 C与平面相交 D与平面平行4如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相
2、等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（ ）AB1CD5如图所示，在正三棱柱中，是的中点，.则异面直线与所成角的正弦值为（ ）A1BCD6已知，若，则的最小值为( ）A B C D7如图，yf（x）是可导函数，直线L：ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，令g（x）xf（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）（ ）A1B0C2D48一个几何体的三视图如图所示，则该几何体所有棱中最长的棱长为（ ）ABC3D9如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面.记与平面所成角为，与所成角为，则（ ）A. B. C. D.10已知双曲线C：（，）的右
3、焦点F（，0），点Q是双曲线C的左支上一动点，圆E：与y轴的一个交点为P，若，则双曲线C的离心率的最大值为（ ）A B C D11九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中有记载将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图四面体为鳖臑，其中平面，球为该四面体的内切球，当过边的平面也过球心时，记该平面与平面所成角为，则角满足（）ABCD12已知函数，对于任意，不等式恒成立，则整数的最大值为( )ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为 .14已知函数，若
4、在是减函数，实数的范围是_.15如图，在等腰梯形ABCD中，现将DAC沿对角线AC所在的直线翻折成，二面角的大小为，当时，则三棱锥ABC的外接球的表面积为 . 16已知曲线在处的切线为l，点到切线l的距离为d，则d的最大值为 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）.如图，三棱柱ABC- A1B1C1中，CC1平面ABC，ACAB，AB=AC=2，CC1=4，D为BC的中点（1）求证：AC平面ABB1A1；（2）求证：A1C平面ADB1；18.（本小题满分12分）如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组
5、成，在极坐标系Ox中，A（2，），B（1，），C（1，），D（2，），弧所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线M1是弧，曲线M2是弧（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：（2）点E，F位于曲线M2上，且，求EOF面积的取值范围19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面， ，.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，是边长为2的正三角形，.(1)证明：.(2)求平面与平面夹角的余弦值.21（本小题满分12分）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P，Q两点，且直线PQ垂直于x轴，O为坐标原点，的面积为2(
6、1)求抛物线C的方程；(2)圆D与抛物线C交于A，M，B，N四点（A，M，B，N四点依逆时针顺序排列），若，（，），求直线AB的方程22（本小题满分12分）已知函数（e为自然对数的底数，）（1）求的单调区间和极值；（2）若存在，满足，求证：江科附中2023届高二下学期第一次月考考试数学（理）试卷参考答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1- -6; D D D B B B 7-12; B C D A C C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（
7、1）证明：C平面ABC，AC，A平面ABC，AAC，又ACAB，ABA=AAC平面AB（2）证明：连接，与A相交于点O，连接DO，D是BC中点，O是中点， 则DO，平面AD，DO平面AD，平面AD。18.解：（1）由题意可知：M1的极坐标方程为记圆弧AD所在圆的圆心（2，0）易得极点O在圆弧AD上设P（，）为M2上任意一点，则在OO1P中，可得4cos（）所以：M1，M2的极坐标方程为和4cos（）（2）设点E（1，），点F（），（），所以14cos，所以由于，所以 故19解：(1)由平面，得，由，得，平面，平面，.(2)以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则，设平面的法向量.则由 即
8、取，则.故直线与平面所成角的正弦值为.20(1)证明；如图，取的中点O，连接，.因为是边长为2的正三角形，则，.又四边形是菱形，则是正三角形，所以，.而，所以平面，又平面， 所以.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知：为等边三角形，所以，.所以，显然是面的一个法向量.设面的法向量，则，取，则.所以，故面与面夹角的余弦值为.21解；(1)由已知地物线的焦点为，令，代入，解得，所以，所以，解得，故抛物线C的方程为(2)由题设，知过焦点F，且与坐标轴不垂直，设，直线，将代入，得则，得的中点为又因为，所以直线的斜率为，且过的中点，所以的方程为，即代入，并整理得，设，则，故的中点为，因为是直径，所以垂直平分，所以A，M，B，N四点在同一个圆上等价于，所以，即，化简得，解得或所以直线的方程为或22解：（1）1时，单调增，无极值；2时，在， 有极小值。（2）由题知，只要证：，则，易知。设，当时，则，故故。又在 故 证毕！
