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2019-2020学年北师大版数学必修一新素养同步讲义:第三章55.1对数函数的概念5.2对数函数Y=LOG2X的图像和性质 WORD版含答案.doc

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资源描述

1、5对数函数51对数函数的概念52对数函数ylog2x的图像和性质,学生用书P61)1对数函数的概念2反函数的概念在指数函数yax中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R,值域是(0,);在对数函数xlogay中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,),值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数通常情况下,x表示自变量,y表示函数,所以对数函数应该表示为ylogax(a0,a1),指数函数表示为yax(a0,a1),因此,指数函数yax(a0,a1)是对数函数ylogax(a0,a1)的反函数;同时,对数函数ylogax(a0,a1)也是指数函数yax(a0,a1)的反函数3函数ylog2

2、x的图像与性质图像特征函数性质过点(1,0)当x1时,y0在y轴的右侧定义域是(0,)向上、向下无限延展值域是R在直线x1右侧,图像位于x轴上方;在直线x1左侧,图像位于x轴下方当x1时,y0;当0x1时,y0函数图像从左到右是上升的是(0,)上的增函数1判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)若a0且a1,xlogay和ylogax都是对数函数()(2)已知a0且a1,则yax的图像与xlogay的图像相同;与ylogax的图像关于直线yx对称()(3)函数ylog2x与ylogx的图像关于x轴对称()(4)函数ylog2x与yx2互为反函数()答案:(1)(2)(3)(4)2设P2lo

3、g23,Qlog23,Rlog25,则()ARQPBPRQCQRP DRPQ解析:选C.因为P3,Qlog23log242,Rlog25log242,所以QR0,且a1),因为对数函数f(x)的图像经过点,所以floga2.所以a2.所以a.所以f(x)logx.所以f(3)log3log1.答案:11理解对数函数的概念应注意的两个方面(1)对数的底数:对数的底数a0且a1;(2)形式上的严格性:对数函数的定义表达式ylogax中,logax前面的系数必须是1,自变量x在真数位置上,且次数为1次,系数为1,否则不是对数函数如ylog23x、ylog3都不是对数函数2反函数的性质(1)互为反函数

4、的两个函数的图像关于直线yx对称(2)若函数yf(x)图像上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图像上,反之若点(b,a)在反函数图像上,则点(a,b)必在原函数图像上对数函数的概念学生用书P62下列函数中,哪些是对数函数?(1)yloga(a0,且a1);(2)ylog2x2;(3)y8log2(x1);(4)ylogx6(x0,且x1);(5)ylog6x.【解】(1)中真数不是自变量x,不是对数函数(2)中对数式后加2,所以不是对数函数(3)中真数为x1,不是x,系数不为1,故不是对数函数(4)中底数是自变量x,而非常数,所以不是对数函数(5)中底数是6,真数为x,系数为1,符合

5、对数函数的定义,故是对数函数判断一个函数是对数函数的方法 1.若函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数,则实数a_解析:由a2a11,解得a0或a1.又底数a10,且a11,所以a1.答案:1反函数学生用书P62写出下列函数的反函数:(1)ylogx; (2)yx; (3)y.【解】(1)对数函数ylogx,它的底数是,它的反函数是y.(2)指数函数yx,它的底数是,它的反函数为ylogx.(3)指数函数y,它的底数是,它的反函数是ylogx.(1)求一个函数的反函数的步骤由yax(或ylogax)解得xlogay(或xay)将xlogay(或xay)中的x与y互换位置,得ylog

6、ax(或yax) 由yax(或ylogax)的值域,写出ylogax(或yax)的定义域(2)互为反函数的两个函数的图像关于直线yx对称2.(1)已知函数yg(x)的图像与函数ylog3x的图像关于直线yx对称,则g(2)的值为()A9B.C. Dlog32(2)若函数yf(x)是函数yax(a0,且a1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)()Alog2x BlogxC2x Dx2解析:(1)选A.yg(x)与ylog3x互为反函数,故g(x)3x,故g(2)329.(2)选B.由题意知(a,)在yax上,可得aaa,即a.因为y的反函数为ylogx,所以f(x)logx.函数ylog

7、2x的图像与性质学生用书P63根据函数f(x)log2x的图像和性质解决以下问题(1)若f(a)f(2),求a的取值范围;(2)求ylog2(2x1)在x2,14上的最值【解】函数ylog2x的图像如图所示(1)因为ylog2x是增函数,若f(a)f(2),即log2alog22,则a2.所以a的取值范围为(2,)(2)因为2x14,所以32x127,所以log23log2(2x1)log2273log23.所以函数ylog2(2x1)在x2,14上的最小值为log23,最大值为3log23.借助本例f(x)log2x的图像,试判断方程log2x0解的个数解:在同一坐标系中画出函数y与ylog

8、2x的图像,如图所示由图知它们的图像有一个交点,即方程log2x仅有一个解,也就是方程log2x0有一个解与对数函数有关的图像的画法(1)列表描点法:列表,描点,连线(2)平移变换法:左加右减,上加下减(3)对称变换法:yf(x)与yf(x)关于y轴对称;yf(x)与yf(x)关于x轴对称;yf(x)与yf(x)关于原点对称 3.(1)函数f(x)|logx|在下列哪个区间上是增加的()A.B(0,1C(0,) D1,)(2)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2C1,) D0,)解析:(1)选D.f(x)其图像如图所以f(x)在1,)上是增加的(2)选D.因为f

9、(x)2,所以有或,解得x0,故选D.思想方法数形结合思想的应用已知f(x)|log2x|,若ab1,则()Af(a)f(b)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(a)f(c)【解析】先作出函数ylog2x的图像,再将图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,这样,我们便得到了y|log2x|的图像,如图由图可知,f(x)|log2x|在(0,1)上是减少的,在(1,)上是增加的,于是ff(a)f(b),又f|log2|log2c|log2c|f(c)所以f(c)f(a)f(b)【答案】C(1)作绝对值函数|f(x)|的图像是正确求解的关键,作图时充分利用f(

10、x)与|f(x)|之间的关系(2)利用函数单调性来比较大小,必须使自变量在同一单调区间上(3)利用对数的运算性质来寻找f与f(c)的关系1下列各项中表示同一个函数的是()Ay2log2x与ylog2x2By10lg x与ylg 10xCyx与yxlogxxDyx与yln ex解析:选D.对于A中两个函数的定义域不同,因此不是同一个函数同样B、C中两个函数的定义域也都不同,故不是同一个函数2已知f(x)是函数ylog2x的反函数,则yf(1x)的图像是()解析:选C.f(x)与ylog2x互为反函数,因此f(x)2x,故yf(1x)21x,该函数图像是由y的图像向右平移1个单位得到的,故选C.3

11、已知函数f(x)则f(1)f(2)()A1B4C9 D12解析:选B.由题意知,f(1)313;f(2)log221,所以f(1)f(2)314.4函数f(x)的定义域为_解析:由题意得:可得:x(2,)答案:(2,),学生用书P137(单独成册)A基础达标1与函数y2log2(x2)表示同一个函数的是()Ayx2ByCy|x2|Dy解析:选D.y2log2(x2)x2(x2),对于A:xR,排除A;对于B:yx2(x2),排除B;对于C:y|x2|排除C;故选D.2在同一坐标系中,函数y3x与函数ylog3x的图像可能是()解析:选C.y3x是减函数,ylog3x是增函数3函数f(x)的图像

12、与函数g(x)log2x图像交点个数是()A1B2C3 D4解析:选C.在同一个坐标系中画出f(x)和g(x)的图像,如图,由图像可知f(x)与g(x)的交点个数为3.4设函数f(x)则f(f(1)()A2 B1C2 D1解析:选D.因为10,所以flog2log2211.故f(f(1)1.5已知函数f(x)log2x,其中|f(x)|1,则实数x的取值范围是()A. B.2,)C2,) D.2,)解析:选B.因为|f(x)|1,所以log2x1或log2x1.由于log2x在(0,)上是增函数,故x2或x.所以,x的取值范围是2,)6若函数yf(x)是函数y5x的反函数,则f(f(5)_解析

13、:因为yf(x)与y5x互为反函数,所以f(x)log5x.所以f(f(5)f(log55)f(1)log510.答案:07设f(x)是奇函数,当x0时,f(x)log2x,则当x0时,f(x)_解析:当x0,f(x)log2(x)又因为f(x)为奇函数,所以f(x)f(x)log2(x),故当x1时,log0.5x1,且a1.故f(f(a)f(4a)log0.54a2a1,可得a.答案:9已知全集UR,集合Ax|1x3,Bx|log2(xa)1,aR(1)若a2,求A(UB);(2)若ABA,求实数a的取值范围解:Bx|log2(xa)1,aRx|axa2(1)当a2时,Bx|2x0,解得:

14、x1;所以定义域为(,1)(1,)设u1,当x(,1)(1,)时,u(0,1)(1,),所以ylog2u(,0)(0,),所以f(x)的值域为(,0)(0,)(2)f(x)的定义域关于原点对称,f(x)f(x)log2log2log2log2log2log210.所以f(x)f(x),所以f(x)为奇函数14(选做题)设f(x)2(log2x)22alog2b,已知x时,f(x)有最小值8.(1)求a与b的值;(2)求f(x)0的解集A.解:(1)因为x0,log2xR,令ulog2x,则f(x)2(log2x)22alog2xb2b2b.由题意得u1时,f(x)最小8,所以所以(2)由(1)得,f(x)2(log2x)24log2x6,f(x)0,即2u24u60,即u22u30,所以u1,所以log2x1,故0x2,即f(x)0的解集为A(2,)

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