1、5对数函数51对数函数的概念52对数函数ylog2x的图像和性质,学生用书P61)1对数函数的概念2反函数的概念在指数函数yax中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R，值域是(0，)；在对数函数xlogay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是(0，)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所以对数函数应该表示为ylogax(a0，a1)，指数函数表示为yax(a0，a1)，因此，指数函数yax(a0，a1)是对数函数ylogax(a0，a1)的反函数；同时，对数函数ylogax(a0，a1)也是指数函数yax(a0，a1)的反函数3函数ylog2
2、x的图像与性质图像特征函数性质过点(1，0)当x1时，y0在y轴的右侧定义域是(0，)向上、向下无限延展值域是R在直线x1右侧，图像位于x轴上方；在直线x1左侧，图像位于x轴下方当x1时，y0；当0x1时，y0函数图像从左到右是上升的是(0，)上的增函数1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a0且a1，xlogay和ylogax都是对数函数()(2)已知a0且a1，则yax的图像与xlogay的图像相同；与ylogax的图像关于直线yx对称()(3)函数ylog2x与ylogx的图像关于x轴对称()(4)函数ylog2x与yx2互为反函数()答案：(1)(2)(3)(4)2设P2lo
3、g23，Qlog23，Rlog25，则()ARQPBPRQCQRP DRPQ解析：选C.因为P3，Qlog23log242，Rlog25log242，所以QR0，且a1)，因为对数函数f(x)的图像经过点，所以floga2.所以a2.所以a.所以f(x)logx.所以f(3)log3log1.答案：11理解对数函数的概念应注意的两个方面(1)对数的底数：对数的底数a0且a1；(2)形式上的严格性：对数函数的定义表达式ylogax中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数位置上，且次数为1次，系数为1，否则不是对数函数如ylog23x、ylog3都不是对数函数2反函数的性质(1)互为反函数
4、的两个函数的图像关于直线yx对称(2)若函数yf(x)图像上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图像上，反之若点(b，a)在反函数图像上，则点(a，b)必在原函数图像上对数函数的概念学生用书P62下列函数中，哪些是对数函数？(1)yloga(a0，且a1)；(2)ylog2x2；(3)y8log2(x1)；(4)ylogx6(x0，且x1)；(5)ylog6x.【解】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数(2)中对数式后加2，所以不是对数函数(3)中真数为x1，不是x，系数不为1，故不是对数函数(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合
5、对数函数的定义，故是对数函数判断一个函数是对数函数的方法 1.若函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_解析：由a2a11，解得a0或a1.又底数a10，且a11，所以a1.答案：1反函数学生用书P62写出下列函数的反函数：(1)ylogx； (2)yx; (3)y.【解】(1)对数函数ylogx，它的底数是，它的反函数是y.(2)指数函数yx，它的底数是，它的反函数为ylogx.(3)指数函数y，它的底数是，它的反函数是ylogx.(1)求一个函数的反函数的步骤由yax(或ylogax)解得xlogay(或xay)将xlogay(或xay)中的x与y互换位置，得ylog
6、ax(或yax) 由yax(或ylogax)的值域，写出ylogax(或yax)的定义域(2)互为反函数的两个函数的图像关于直线yx对称2.(1)已知函数yg(x)的图像与函数ylog3x的图像关于直线yx对称，则g(2)的值为()A9B.C. Dlog32(2)若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)()Alog2x BlogxC2x Dx2解析：(1)选A.yg(x)与ylog3x互为反函数，故g(x)3x，故g(2)329.(2)选B.由题意知(a，)在yax上，可得aaa，即a.因为y的反函数为ylogx，所以f(x)logx.函数ylog
7、2x的图像与性质学生用书P63根据函数f(x)log2x的图像和性质解决以下问题(1)若f(a)f(2)，求a的取值范围；(2)求ylog2(2x1)在x2，14上的最值【解】函数ylog2x的图像如图所示(1)因为ylog2x是增函数，若f(a)f(2)，即log2alog22，则a2.所以a的取值范围为(2，)(2)因为2x14，所以32x127，所以log23log2(2x1)log2273log23.所以函数ylog2(2x1)在x2，14上的最小值为log23，最大值为3log23.借助本例f(x)log2x的图像，试判断方程log2x0解的个数解：在同一坐标系中画出函数y与ylog
8、2x的图像，如图所示由图知它们的图像有一个交点，即方程log2x仅有一个解，也就是方程log2x0有一个解与对数函数有关的图像的画法(1)列表描点法：列表，描点，连线(2)平移变换法：左加右减，上加下减(3)对称变换法：yf(x)与yf(x)关于y轴对称；yf(x)与yf(x)关于x轴对称；yf(x)与yf(x)关于原点对称 3.(1)函数f(x)|logx|在下列哪个区间上是增加的()A.B(0，1C(0，) D1，)(2)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1，2 B0，2C1，) D0，)解析：(1)选D.f(x)其图像如图所以f(x)在1，)上是增加的(2)选D.因为f
9、(x)2，所以有或，解得x0，故选D.思想方法数形结合思想的应用已知f(x)|log2x|，若ab1，则()Af(a)f(b)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(a)f(c)【解析】先作出函数ylog2x的图像，再将图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y|log2x|的图像，如图由图可知，f(x)|log2x|在(0，1)上是减少的，在(1，)上是增加的，于是ff(a)f(b)，又f|log2|log2c|log2c|f(c)所以f(c)f(a)f(b)【答案】C(1)作绝对值函数|f(x)|的图像是正确求解的关键，作图时充分利用f(
10、x)与|f(x)|之间的关系(2)利用函数单调性来比较大小，必须使自变量在同一单调区间上(3)利用对数的运算性质来寻找f与f(c)的关系1下列各项中表示同一个函数的是()Ay2log2x与ylog2x2By10lg x与ylg 10xCyx与yxlogxxDyx与yln ex解析：选D.对于A中两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数同样B、C中两个函数的定义域也都不同，故不是同一个函数2已知f(x)是函数ylog2x的反函数，则yf(1x)的图像是()解析：选C.f(x)与ylog2x互为反函数，因此f(x)2x，故yf(1x)21x，该函数图像是由y的图像向右平移1个单位得到的，故选C.3
11、已知函数f(x)则f(1)f(2)()A1B4C9 D12解析：选B.由题意知，f(1)313；f(2)log221，所以f(1)f(2)314.4函数f(x)的定义域为_解析：由题意得：可得：x(2，)答案：(2，),学生用书P137(单独成册)A基础达标1与函数y2log2(x2)表示同一个函数的是()Ayx2ByCy|x2|Dy解析：选D.y2log2(x2)x2(x2)，对于A：xR，排除A；对于B：yx2(x2)，排除B；对于C：y|x2|排除C；故选D.2在同一坐标系中，函数y3x与函数ylog3x的图像可能是()解析：选C.y3x是减函数，ylog3x是增函数3函数f(x)的图像
12、与函数g(x)log2x图像交点个数是()A1B2C3 D4解析：选C.在同一个坐标系中画出f(x)和g(x)的图像，如图，由图像可知f(x)与g(x)的交点个数为3.4设函数f(x)则f(f(1)()A2 B1C2 D1解析：选D.因为10，所以flog2log2211.故f(f(1)1.5已知函数f(x)log2x，其中|f(x)|1，则实数x的取值范围是()A. B.2，)C2，) D.2，)解析：选B.因为|f(x)|1，所以log2x1或log2x1.由于log2x在(0，)上是增函数，故x2或x.所以，x的取值范围是2，)6若函数yf(x)是函数y5x的反函数，则f(f(5)_解析
13、：因为yf(x)与y5x互为反函数，所以f(x)log5x.所以f(f(5)f(log55)f(1)log510.答案：07设f(x)是奇函数，当x0时，f(x)log2x，则当x0时，f(x)_解析：当x0，f(x)log2(x)又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)log2(x)，故当x1时，log0.5x1，且a1.故f(f(a)f(4a)log0.54a2a1，可得a.答案：9已知全集UR，集合Ax|1x3，Bx|log2(xa)1，aR(1)若a2，求A(UB)；(2)若ABA，求实数a的取值范围解：Bx|log2(xa)1，aRx|axa2(1)当a2时，Bx|2x0，解得：
14、x1；所以定义域为(，1)(1，)设u1，当x(，1)(1，)时，u(0，1)(1，)，所以ylog2u(，0)(0，)，所以f(x)的值域为(，0)(0，)(2)f(x)的定义域关于原点对称，f(x)f(x)log2log2log2log2log2log210.所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数14(选做题)设f(x)2(log2x)22alog2b，已知x时，f(x)有最小值8.(1)求a与b的值；(2)求f(x)0的解集A.解：(1)因为x0，log2xR，令ulog2x，则f(x)2(log2x)22alog2xb2b2b.由题意得u1时，f(x)最小8，所以所以(2)由(1)得，f(x)2(log2x)24log2x6，f(x)0，即2u24u60，即u22u30，所以u1，所以log2x1，故0x2，即f(x)0的解集为A(2，)