1、数学试题一、单选题1已知集合, 则（ ）ABCD2复数是虚数单位）的虚部为（ ）ABCD3对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（ ）ABCD4函数的图象大致为（ ）ABCD5如图，已知P是矩形所在平面外一点，平面，E、F分别是，的中点.若，则与平面所成角的大小是（ ）ABCD6红海行动是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共
2、有（ ）A240种B188种C156种D120种7已知，则，的大小关系是（）ABCD8已知函数有两个极值点，若不等式恒成立，那么的取值范围是（ ）ABCD二、多选题9有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）A分给甲乙丙三人，每人各2本，有90种分法；B分给甲乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；10若随机变量，其中，下列等式成立有( )ABCD11如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为达BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA
3、分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（ ）AAPEFB点P在平面AEF内的射影为AEF的垂心C二面角AEFP的余弦值为D若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是2412已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是( )ABCD第II卷（非选择题）三、填空题13先后抛掷一枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，则事件发生的概率为_.14已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_.15若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是_16在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之
4、为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，则此鳖臑的外接球（均在球表面上）的直径为_；过的平面截球所得截面面积的最小值为_.四、解答题17已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m(1)当m1时，求AB；(2)若AB，求实数m的取值范围；(3)若AB，求实数m的取值范围18在三棱锥中，平面平面，点在棱上.（1）若为的中点，证明：.（2）若三棱锥的体积为，求到平面的距离.19已知函数，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）当时，求的极值点；（3）若为R上的单调函数，求实数a的取值范围.20如图，已知四棱锥的底面是梯形，且，.(1)若O为的中点，证明：平面.(2)求二面角的余弦值.21垃圾分类，是指按一定规定或
5、标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法到2020年底，先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统；其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法：每位员工测试，三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试，两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，
6、将也被认定为“暂定”，每位员工测试，三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为（1）记某位员工被认定为“暂定”的概率为，求；（2）每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的总费用为150元，除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且该600名员工全部参与测试，问上述方案是否会超过预算?请说明理由22已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.数学试题参考答案1D【解析】，所以，所以， ，故选D.2A【解析】分析：根据复数的除法运算求得复数的代数形式后再判断出虚部详解：由题意得，复数的虚部为故选A点睛：本题考查
7、复数的除法运算和复数的基本概念，主要考查学生的运算能力，属容易题3D【解析】【分析】分别求出第一次摸出的是次品的概率以及第一次摸出的是次品，第二次摸到的是正品的概率，结合条件概率的计算公式即可求出所求答案.【详解】解：记“第一次摸出的是次品”， “第二次摸到的是正品”，由题意知，,，则,故选:D.【点睛】本题考查了条件概率的求解，属于基础题.4D【解析】【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.【详解】解：由得，且，当时，此时，排除B,C函数的导数，由得，即时函数单调递增，由得且，即或时函数单调递减，故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数
8、的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题.5C【解析】【分析】取中点G，证明四边形是平行四边形，则与平面所成角就是与平面所成的角，在中易求.【详解】解：取中点G，连接、，分别为、的中点，且，又在矩形中且，且，四边形是平行四边形，与平面所成的角等于与平面所成的角，平面，平面，过G作，垂足为H，平面,则，平面，为与平面所成的角，即为所求角，G为的中点，即与平面所成的角为.故选：C.【点睛】考查线面角的求法，通过平移直线转化成易求的线面角，基础题.6D【解析】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.7B
9、【解析】【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小【详解】对于的大小：，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：，故选B【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目8D【解析】【分析】求导数，有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得的取值范围,利用根与系数的关系可以得到先转化为关于的不等式恒成立，最后转化为关于的函数求最值.【详解】，由于函数有两个极值点，则令则在定义域有
10、两个不等实根, 即，解得：.,设，在区间，单调递增，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值.9ABC【解析】【分析】选项，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲乙丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步
11、的方法相乘，即得答案. 选项，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.【详解】对，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四
12、人， 所以不同的分配方法种，故错误.故选：.【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.10AC【解析】【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此可解决问题【详解】随机变量服从标准正态分布，正态曲线关于对称，根据曲线的对称性可得：A.，所以该命题正确；B.，所以错误；C.，所以该命题正确；D.或，所以该命题错误故选：【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11ABC【解析】【分析】根据线面垂直的判定和性质、垂心的定义，二面角的定义，以及棱锥外接球表面积的求解，对每个选项进行逐一
13、分析，即可判断和选择.【详解】根据题意，平面，故平面；因为平面，故平面；故可得两两垂直.对：由平面平面，故，故正确；对：过作平面的垂线，连接，延长交于，如下所示：由可知，又平面平面，故，又平面，故可得：平面，又平面，故可得，即点在三角形底边的垂线上；同理可证，点在三角形底边的垂线上.故点在平面的投影即为三角形的垂心，故正确；对：根据中所求，为三角形的垂线，又，根据三线合一故可得点为中点.又，故三角形为等腰三角形，连接，则根据二面角的定义，显然即为所求二面角.在三角形中，又，故.故二面角AEFP的余弦值为，则正确；对：因为两两垂直，故三棱锥PAEF的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相
14、等.故其外接球半径，故外接球表面积，故错误.综上所述，正确的为.故选：.【点睛】本题综合考查线面垂直的证明以及线面垂直的性质，二面角的角球，棱锥外接球的求解，属综合中档题.12【解析】【分析】根据互为反函数的性质可得的中点坐标为，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，将与联立，则，由直线分别与函数和的图象交于点，作出函数图像：则的中点坐标为，对于A，由，解得，故A正确；对于B，因为，即等号不成立，所以，故B正确；对于C，将与联立可得，即，设，且函数为单调递增函数，故函数的零点在上，即，由，则，故C正
15、确；对于D，由，解得，由于，则，故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.13【解析】试题分析：先后抛掷一枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数的所有可能情况有种，而满足即的情况有：，共三种情况，故所求的概率为.考点：1.古典概率；2.对数的运算.14【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得最小值后可得结论【详解】因为，要使恒成立，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值15、【解析】【分析】求出导数，
16、确定函数的极值点，由极值点可得的范围【详解】函数定义域是，当时，递减，当时，递增，只有一个极值点，极小值点，由，则，解得，又，即，故答案为：【点睛】本题考查用导数研究函数的极值点，注意函数的极值点是在函数定义域内，一般先求出函数定义域，才能得出正确结果16 【解析】【分析】判断出鳖臑外接球的直径为，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过的平面截球所得截面面积的最小值.【详解】根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，
17、考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.17（1）ABx|2x2m,即集合B非空，然后由数轴表示关系，注意等号是否可取（3）空集有两种情况，一种是集合B为空集，一种是集合B非空，此时用数灿表示，写出代数关系，注意等号是否可取试题解析：（1）当m1时， Bx|2x2，则ABx|2x3（2）由AB知，解得，即m的取值范围是（3）由AB得若，即时，B符合题意若，即时，需或得或，即综上知，即实数的取值范围为18（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据，得到，由平面平面，得到平面，再利用，得到，根据为的中点证明.（2）由（1）得到，根据三棱锥的体积为
18、，得到，再由等体积法求解.【详解】（1）如图所示：取的中点，连接，因为，所以.又因为平面平面，且相交于，所以平面，所以.因为，所以，所以，所以，所以，且为的中点，所以.（2），所以.在中，设到平面的距离为，则，解得.所以到平面的距离为.【点睛】本题考查等差线线垂直，线面垂直以及等体积法求点到面的距离，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19（1）；（2）极大值点为，极小值点为；（3） 【解析】【分析】（1）首先求出切点，再求出，利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解. （2）先求导数，再讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，通过列表来确定极值点即可. 3）根据导函
19、数，由为R上的单调函数，若为R上的单调增函数，故恒成立，根据二次函数的性质，得到，为R上的单调递减函数时，则恒成立，得到，进而可求解.【详解（1），所以切点为，曲线在处的切线方程：，即，故曲线在处的切线方程为.（2）当时，由，得，当变化时，与的相应变化如下表：，所以是的极大值点，是的极小值点. （3）当为R上的单调递增函数时，则恒成立，即恒成立，当时，则恒成立，当时，解得，当为R上的单调递减函数时， 则恒成立，即，当时，则不恒成立，当时，无解.综上所述，.【点睛】本题考查了导数的几何意义、有导数求函数的极值点以及由函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.20（1）详见解析（2）【解析】【分析
20、】（1）通过证得,连接，通过勾股定理计算证明证得，由此证得平面.（2）以D为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，所以，又，O为AC的中点，所以，连接OD，在中，O为AC的中点所以，因为，所以，又，所以平面ABCD.（2）解：如图，以D为原点，别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则，设平面BCP的一个法向量为，由，得，令，可得，又平面BCD的一个法向量为，易知二面角为锐角，设其为，则.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21（1）；（
21、2）不会超过预算.【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和n次独立重复实验的概率计算公式进行求解即可；（2）设每位员工测试的费用为元，则可能的取值为，利用n次独立重复实验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求出数学期望的表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可.【详解】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为，每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为，综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为+，（2）设每位员工测试的费用为元，则可能的取值为，由题意知，所以随机变量的数学期望为（元），令，所以当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递
22、减，所以，即(元)，所以此方案的最高费用为（万元），综上可知，若以此方案实施不会超过预算.【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式、n次独立重复实验的概率计算公式、离散型随机变量的数学期望公式和利用导数判断函数的单调性求最值；考查运算求解能力和转化与化归能力；通过构造函数，利用导数求最值是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.22（1）减区间是，增区间；（2）2【解析】【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）由分离参数法问题转化为在上恒成立，求出的最大值即可，利用导数确定的单调性，得最大值【详解】（1）由已知，当时，当时，的减区间是，增区间；（2）函数的定义域是，定义域是，不等式为，不等式在上恒成立，在上恒成立，设，则，时，又在上是增函数，存在，使得，时，时，即在上递增，在上递减，整数的最小值为2【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究不等式恒成立问题，解题关键在于问题的转化，解题方法是：用分离参数法转化为在上恒成立，然后再用导数求出的最大值即可版权所有：高考源网()
