1、解答题专题练(三)立体几何(建议用时：60分钟)1. (2015郑州市第一次质量预测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，PD底面ABCD，ADC90，BCAD1，PDCD2，Q为AD的中点，M为棱PC上一点 (1)试确定点M的位置，使得PA平面BMQ，并证明你的结论；(2)若PM2MC，求二面角PBQM的余弦值2. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，ADAB1，BC. (1)求证：平面PBD平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值3. 如图，AC是
2、圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC2BC2CD2，PA圆O所在的平面，. (1)求证：CM平面PAD；(2)当CM与平面PAC所成角的正弦值为时，求AP的值4. (2015泉州市诊断考试)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB2，BCCD1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C. (1)求证：AD1BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值5.(2015长沙模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点(1)若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；(2)
3、点M在线段PC上，二面角MBQC为60，若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，求三棱锥MBCQ的体积6如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值答案解答题专题练(三)1解：(1)当M为PC的中点时，PA平面BMQ.证明如下：连接AC交BQ于N，连接MN，因为ADBC，BCAD，Q为AD的中点，所以BCQD且BCQD，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以DCBQ，即QNDC，所以N为AC
4、的中点当M为PC的中点，即PMMC时，MN为PAC的中位线，故MNPA，又MN平面BMQ，PA平面BMQ，所以PA平面BMQ.(2)由题意，以点D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，Q(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，由PM2MC可得点M，所以(1，0，2)，(0，2，0)，设平面PQB的法向量为n1(x，y，z)，则故令z1，得n1(2，0，1)，同理平面MBQ的一个法向量为n2，设所求二面角大小为，结合图形知cos .2解：(1)证明：由ADCD，ABCD，ADAB1，可得BD.又BC，所以CD2，所以BCBD.因为P
5、D底面ABCD，所以PDBC，又PDBDD，所以BC平面PBD，所以平面PBD平面PBC.(2)由(1)可知BPC为PC与平面PBD所成的角，所以tanBPC，所以PB，PD1.由2及CD2，可得CH，DH.以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.设平面HPB的法向量为n(x1，y1，z1)，则即取y13，则n(1，3，2)设平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，则即取x21，则m(1，1，2)又cosm，n，结合图形知，二面角HPBC的余弦值为.3解：(1)证明：作MEAB于E，连接C
6、E，则MEAP.因为AC是圆O的直径，AC2BC2CD2，所以ADDC，ABBC，BACCAD30，BCADCA60，ABAD.又，所以BEBA，tanBCE，所以BCEECA30CAD，所以ECAD，由，且MECEE，PAADA，得平面MEC平面PAD，又CM平面MEC，CM平面PAD，所以CM平面PAD.(2)依题意，如图，以A为原点，直线AB，AP分别为x，z轴建立空间直角坐标系，设APa，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，a)，D.设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，CM与平面PAC所成的角为，则设x，则n(，3，0)，又，所以，所以sin |cos，
7、n|，所以a，即AP的值为.4解：(1)证明：连接D1C，则D1C平面ABCD，所以D1CBC.在等腰梯形ABCD中，连接AC，因为AB2，BCCD1，ABCD，所以BCAC，所以BC平面AD1C，所以AD1BC.(2)法一：因为ABCD，所以D1DC，因为CD1，所以D1C.在底面ABCD中作CMAB，连接D1M，则D1MAB，所以D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角在RtD1CM中，CM，D1C，所以D1M，所以cosD1MC，即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.法二：由(1)知AC、BC、D1C两两垂直，因为ABCD，所以D1DC，因为CD1，
8、所以D1C.在等腰梯形ABCD中，因为AB2，BCCD1，ABCD，所以AC，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，)，设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，由得可得平面ABC1D1的一个法向量n(1，1)又(0，0，)为平面ABCD的一个法向量，因此cos，n，所以平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.5解：(1)证明：由条件知，PQAD，BQAD，PQBQQ，所以AD平面PQB，因为AD平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(2)因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.因为平面PAD平面ABCD，平面
9、PAD平面ABCDAD，所以PQ平面ABCD.如图所示，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，B(0，0)，C(2，0)，(0，0)设(01)，(2，(1)，设n(x，y，z)是平面MBQ的法向量，则即令z1，得n，又m(0，0，1)是平面BQC的一个法向量，所以cosm，n，因为01，所以，所以.因为PQ，所以M到平面ABCD的距离为，又SBQC2，所以VMBCQ.6解：(1)证明：在题图中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题图中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0，0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则得取n1(1，1，1)；得取n2(0，1，1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.
