1、2007年高考考前数学预测（3）(命题预测)2007年高考数学科考试大纲明确指出：数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养.数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查进入高等学校继续学习的潜能.不言而喻，07年高考数学试题特点主要体现在“主干内容重点考，新增知识加大考，思想方法更深入，突出思维能力考核，在知识重组上做文章，运算能力有所提高，空间想象能力平稳过渡，实践应用能力进一步加强，着重考查创新学习
2、能力，个性品质得以彰显”。以下分章节对07年高考数学命题预测，以飨读者。一、集合与简易逻辑 从近几年的考题看，集合与简易逻辑是历届高考的热点，新概念及简易逻辑的巧妙结合使这部分试题具有更广阔的开放性。集合与简易逻辑考题广泛用于函数、不等式、三角、立几、轨迹方程和解析几何的内容中，多以选填题出现，主要考查学生对数学语言的理解和转化能力。预测1、已知；是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解析：由得，由，得，即，或，而即，或；由是的必要不充分条件，知，设A=，B=，则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得，此即为“是的必要不充分条件”时实数的取值范围. 点评：本题将命题的表述重
3、心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念,是一道集绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难.二、函数常见的函数题型主要有两类：一是考查具体函数，二是考查抽象函数，这种题型较难，而通过找到一个符合条件的常见函数作为解决本题的入手是一个不错的方法。函数题型经常和不等式、数列放在一起进行考查，二次函数以及三个二次之间的关系经常是考查的重点,另外,以三次函数为背景的导函数有关考题也是近年高考
4、函数试题命题的一个重要方向。此外,形式新颖别致内容丰富深邃的函数创新题会在高考中出现。预测2、已知集合满足且，则这样的映射个数为（ ）A 9 B 10 C 11 D 12解析：由映射定义知：（1）若集合A中的元素对应集合B中相同的元素易知这样的映射有1个；（2）若集合A中的元素对应集合B中两个元素。若知只能取2，3，这样的映射有2个；若知只能取2，这样的映射有1个；满足条件的映射共有3个；（3）若集合A中的元素对应集合B中不同的元素且，从而知只能分别取1，2，9；1，3，8；1，4，7；1，5，6；2，3，7；2，4，6；3，4，5。这样的映射有7个； 综上所述，满足条件的映射共有1+3+7=
5、11个。故选C。点评：高考中的映射计数问题求解关键是在牢牢抓住映射概念的同时，设法把问题转化为常见的排列组合问题模型来解决。有时也应适当利用加法或乘法原理求解。三、数列数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点数列推理题是新出现的命题热点以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年数列题加强对推理能力，应用题的训练，数列与极限的综合考查。预测07年高考数列除了考查基础的等差、等比数列外，还会着重增加数表及数阵、几何图形等方面的创新探求型问题，而且将之与递推型数列相互交汇，使
6、这部分题型灵活性更强，考查面更广。预测3、已知数列满足：。解：由于是知。点评：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的。其中性质探求是关键。预测四、三角函数考纲降低了三角函数变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考命题的重点其充分运用了数形结合的思想，把图象与性质结合起来，既要能利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函
7、数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法预测4、已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.解析：由 ， 点评：三角函数的图象和性质是高考出题的重点，常以大题出现，且以基础题为主，五点画图法是解决这类问题的关键，主要有两种题型：一是已知的表达式，研究其性质；二是根据图象特征解题，这是一个难点。五、平面向量新大纲提高了平面向量的地位，高考试题逐渐加在大了对这部分内容的考查力度。向量是数学的重要概念，是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题。坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几
8、何中有广泛的应用。预测5、已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间。解析：（1）由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy，故x y（tk）(tk)0。整理得：t33t4k0，即kt3t. (2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.点评：高考对平面向量的考查题主要体现三个层次即第一层次，以选择题、填空题的形式，考查学生对平
9、面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况.这一层次的试题，一般属较简单题；第二层次，以选择题、填空题或解答题的形式，考查学生对平面向量知识的简单运用，如定比分点、坐标平移、复数的向量表示、平面几何问题的向量解决等.这一层次的问题也多属简单题，即使在解答题中，也仅起点缀作用，但也有部分题属稍难题；第三层次，以解答题的形式，把平面向量与三角、解析几何、导数等章节交汇、融合形成综合题，考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是近年高考平面向量题命题的一种趋向. 六、不等式不等式的命题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑
10、思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，是一个不变的热点问题。均值不等式的考查往往不是单独进行的，是不等式的最热点问题，在应用题中是最常见的考题之一。预测6、已知二次函数（a、b、cR且a0）满足条件：当xR时，且f(x)x；当x（0，2）时，f(x)；f(x)在R上的最小值为0。求最大的m（m1），使得存在实数t，只要x1,m，就有f(x+t)x恒成立。解析：由可得函数的对称轴为x1，得b2a由条件，当x1时，y0得：abc0由得f(1)1，由条件得f(1)1，f(1)1即abc1，假设存在实数t，只要x1,m，就有f(x+t)x恒成立即：
11、0对任意x1,m恒成立。不妨设G(x)，则对x1,m，G(x)0分别解得：4t0和m于是就有：m9验证：当t9时，对任意的x1，9有。所以m的最大值为9。图1点评：不等式试题在高考试卷中形式活泼且多种多样，既有选择题、填空题，又有解答题从近年高考试题的综合分析情况来看，不等式内容大致有以下四类：解不等式问题、求参数的取值范围问题、不等式的证明问题和不等式的应用问题近几年高考加大了在知识交汇点处命题的力度，单独解不等式或证明不等式的题目明显减少。不等式试题更多的是与集合、函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和渗透，充分体现出不等式在知识网络中所具有的极强的辐射作用。七
12、、直线与圆直线与圆的命题着重考查用坐标法分析问题的能力，以及运用运动变化的观点解决问题的能力其中运用函数的观点处理直线方程问题时，类比思想、分类讨论思想均是此类问题的一大特色。预测7、已知,则z=x2+y2+2x+4y的最大值为 .解析:作出满足不等式组的平面区域（如图1）：目标函数z=（x+1）2+(y+2)2-5，可化为z+5=(x+1)2+(y+2)2 =看作平面区域上的点P(x,y)到定点C（-1，-2）的距离的平方，以点C（-1，-2）为圆心作圆C，使该圆经过平面区域内的点，由图知，当圆C与圆（x-2）2+(y-2)2=1相外切时，圆的半径最小，即z最小，当圆C过点A或点B时，两圆的
13、半径有一个最大。圆C与圆(x-2)2+(y 2)2=1相外切的充要条件为：+1=5，即z=11,所以zmin=11.解方程组,由两点间的距离公式得: ,点评：线性规划是新增内容，也是近几年高考必考内容，且考查愈来愈活跃，利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，实际上是对数学形结合思想的提升。这类问题的求解关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利用非线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。八、圆锥曲线圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，因而是高考重点考查的内容，主要考查的
14、内容是圆锥曲线的概念和性质，求曲线方程和求轨迹，直线与圆锥的位置关系，坐标轴平移或平移化简等，对于求曲线方程和求轨迹的问题，考题中一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法预测8、如图1，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.（1）求椭圆的“左特征点”M的坐标；（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.解析： （1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.设，则，被轴平分，.即.即，.于
15、是.，即.（2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点.证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.据椭圆第二定义：于是即.，又均为锐角，.的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.点评：圆锥曲线问题常涉及到圆锥曲线的性质、线段的中点、弦长、垂直问题。其命题倾向注意对数学思想、方法进行归纳提炼，从而优化解题思路、简化解题过程。其中：参数思想是辩证思维在数学中的反映。根据预测，此部分的内容在填空部分不会有大的难度。近年高考关于圆锥曲线的解答题常作为把关题或压轴题，综合考查考生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.本题背景新颖，而
16、且考查了考试大纲所要求的研究性学习能力，是一道压轴水平的综合能力题. 九、立体几何立体几何命题的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，其突出了空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力多面体和旋转体的命题仍应在柱、锥、球为代表的最基本的几何体的概念、性质、各主要元素间的关系、直观图画法、侧面展开图以及表面积和体积的求法等问题上它是“直线和平面”问题的延续和深化预测9、如图3 ,在正四棱锥 S ABCD中 , E 是 B C 的中点 ,P点在侧面 SCD内及其边界上运动 ,并且总是保持 PE A C.
17、(1)指出动点 P 的轨迹 (即说明动点 P在满足给定的条件下运动时所形成的图形) ,证明你的结论 ;(2)以轨迹上的动点 P 为顶点的三棱锥P - CD E的最大体积是正四棱锥 S - AB CD体积的几分之几 ?(3)如图 3 ,设动点 P 在 G 点的位置时三棱锥 P - CD E的体积取最大值 V1,二面角 G - D E - C 的大小为,二面角 G - C大小为,求 tantan的值 ;(4) 若将“ E 是 B C 的中点”改B C 上异于 B 、C 的一定点”,其它条请指出点 P 的轨迹 ,证明你的结论.解析 (1) 如图4 ,分别取 CD 、S C 的中点 F、G ,连结 E
18、F、EG、FG、BD. 设 A C与 BD 的交点为 O ,连结 S O , 则动点 P的轨迹是 SCD 的中位线 FG.由正四棱锥可得SBAC , EFA C.又因为 EGSB ,所以 EG A C ,所以 A C 平面 EFG ,因为 P FG , E平面 EFG ,所以 A C PE.(2)由于 SCD E是定值 ,所以当 P 到平面 CD E 的距离最大时 , VP- CD E最大 ,易知当P与G重合时, P到平面 CD E的距离最大,故( VP- CD E)max= VG- CDE又 SCD E= S正方形AB CD, G到 平 面AB CD的距离是点 S 到平面 AB CD 的距离
19、的 ,所 以 ( VP- CD E)max=VG- CDE= VS - AB CD. (3) 令 AB = a , EF 与 A C 交于 N 点 ,连 GN ,则 GN 平面 AB CD.因此二面角 G - D E - C 和二面角 G -E - D 的平面角的正切值的比就等于 N 到E 和 CE 的距离的倒数比.因为 N 是 OC的中点 ,所以 N 到B C的距为14a.连结 D E 交 OC 于 M ,则 M 是 DB C 的重心 ,所以 MN =.又 M E =, N E = ,在 Rt M N E 中 , 容易求得 N 到 D E 的距离为 .故 tantan = 5 1.(4)动点
20、 P在侧面 S CD 内部及其边界上运动 ,且总保持 PE A C , 那么这些相交于定点 E 的直线应位于某个与直线 A C 垂直的平面内 ,而由正四棱锥的性质可知 , A C 平面 SBD ,因此动直线 PE 集中在过 E 且平行于平面 SBD 的一个平面内. 过 E 作 EGSB , EF BD ,分别交 S C 于 G,交 CD 于F,则平面 EFG平面 SBD ,从而 A C 平面 EFG,故点 P 的轨迹是线段 FG.点评 ：每年高考必有一个立体几何解答题、主要通过几何量（特别与角与距离）的计算，来考查直线与平面的位置关系问题为支持中学课程改革的需要，设置成“一题两用”（用空间向量
21、和传统几何法均可解答），体现在两种方法的灵活运用本题全方位地考查了立体几何中的主要内容 ,如线面与线线的位置关系、体积问题、二面角问题等. 在立体几何的问题中给出了探求点的轨迹问题 ,与平面几何、解析几何紧密联系 , 体现了对综合运用知识的能力要求 ,考查的知识点丰富 ,具有相当的难度和深度 ,达到了压轴题水平 ,是一道优秀的创新型试题.预测十、排列、组合与概率排列、组合的应用性概念强，并充满思辨性和解法的多样性，易于考查考生的能力，一般以实际应用题形式出现高考对二项式定理的考查，以二项式展开式及其通项公式内容为主，考查目标意识和构造意识，要注意展开式的通项公式正、反两方面的应用高考对统计、概
22、率内容的考查，往往以实际应用题出现这既是这类问题的特点，也符合高考发展方向，考生要以课本概念和方法为主，以熟练技能，巩固概念为目标，查找知识缺漏总结解题规律预测10、多项飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由抛靶机把碟靶（射击的目标）在一定范围内从不同的方向飞出，每抛出一个碟靶，就允许运动员射击两次.一运动员在进行训练时，每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S（米）成反比，现有一碟靶抛出后S（米）与飞行时间t（秒）满足S=15（t+1），（0t4）.假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击，且命中的概率为0.8，如果他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后经过0.5秒进行第二次射击
23、，求他命中此碟靶的概率？解析：设P=（K为非0常数），则P=。t=0.5秒时，P1=0.8 ,代入上式得K=18 ， P= 当t=1秒时，P2=0.6因此 P= P1+（1- P1）P2=0.8+（1-0.8）0.6=0.92点评：众观近几年高考概率题，不难发现，概率知识与各章知识交汇的学科内综合问题，由于其新颖性、综合性体现能力立意及在知识网络交结点处设计命题的精神而深受命题者的青睐.下面分类说明这类题型解法。十一、极限与导数极限、导数的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位函数的连续性把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起，在高考中，一般是将这一块内容融人到函数内容中去考查的利用求导法
24、解决一些实际应用问题是这部分与函数内容相结合的继续与延伸这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考的又一热点。预测11、已知函数其中为参数，且（I）当时，判断函数是否有极值；（II）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。解析：（I）当时则在内是增函数，故无极值。（II）令得由及（I），只需考虑的情况。当变化时，的符号及的变化情况如下表：000极大值极小值因此，函数在处取得极小值且要使必有可得所以。（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数在内是增函数，则须满
25、足不等式组或由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有综上，解得或所以的取值范围是点评：导数是新增内容在解题中的独特功能的具体体现。导数融数形于一体，既有求导的运算，又有其几何意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具，它常与函数、不等式、数列、向量、解析几何等内容交叉渗透、自然交汇，使得以导数为载体的数学问题丰富多彩、新颖别致，且自然流畅。本题借助于导数研究函数的单调性，巧妙地把导数知识揉入到函数中。主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。十二、统计与复数统计的考查每年难度均不大，其主要通过对样
26、本的研究来估计总体的相关情况，其以图形信息为主，考查考生对信息的提取与加工复数高考中考查的难度仍呈下降趋势，运用数形结合思想处理复平面问题是高考考查的热点之一。这类问题在高考中多以选填题出现。总之，函数的基础理论应用，不等式的求解、证明和综合应用，数列的基础知识和应用；三角函数和三角变换；直线与平面，平面与平面的位置关系；曲线方程的求解，直线、圆锥曲线的性质和位置关系等都是07年高考数学试题命制的重点。函数的性质、导数的运用及数形结合的思想方法仍为主要考查内容；文科对简单参数不等式的解法要引起重视，理科要注意函数、不等式的应用题。数列通项、求和、性质及递推数列仍是考查的重点；文科是否会与导数综
27、合作为压轴题呢，理科应注意与不等式综合命题，其次是数列与导数的综合题。三角函数的图像与性质（与向量相结合并化简）被行家们预测为今年高考命题的热点，但与三角函数相关的应用题也是值得我们关注的。对向量与解析几何综合问题，命题者趋之若鹜，暂时冷不下来；解答题估计会以向量为切入点求轨迹方程，同时与双曲线相关联，定量问题不能忽视。 空间图形位置关系的判断与证明及空间向量是每年高考的必考内容，对求距离不能掉以轻心；同时要注意充分运用空间向量的强大功能。概率以贴近生活的实际问题为命题背景，理科二项分布的期望或方差应该会在小题中出现，二项式定理、排列组合为必考内容。理科的难度维持在去年的水准，但压轴题的难度会
28、有所降低；文科整体难度会降低，但最后的一道或两道题的难度较前两年会有所增大。六个大题，六个大题肯定要出一道立体几何题。应用题也跑不了，应用题按照常规很多人认为都是概率题，可能出现贴近生活的，必须有社会意义，比如绿化率、成长率、成本降低率、生产增长率等等这样的一些问题往上靠一些，那么在这点也可以注意，一般的几何问题会不会在这儿出现，也是把几何问题用应用题形式来解决也有可能，这就两个大题了。解析几何是强化图形，强化数形结合，是以形解数，以数反形的，两大问题，一个从曲线到方程，一个从方程到曲线，这点还是要注意综合性，还是会出现第一问是可以做的，也就是说求曲线方程是好办的，后面从方程再到曲线，可以把它
29、和向量，和存在性，和导数结合，比如得到曲线是一个椭圆曲线，那么就可以问是否存在一条直线和椭圆相切，就出现了导数问题。也可以探究一个确定的性质，给定什么关系，那么如果这条直线平行移动以后，问截出来的弦满足什么性质？所以第一问容易，第二问难，第三问更难，所以解析几何出现在第五大题可能性比较大。由于立体几何的改变，我们认为逻辑推理能力的考核减弱了，在考纲上明确提出来四大能力为首的就是逻辑推理能力，哪儿证明？平面几何是初中的，高中的立体几何用空间向量坐标法改成计算了，拿计算代替了证明，那么这个地方在哪儿加强？因此很可能在最后一题一个抽象型的函数，没有具体表达式，再结合不等式，这个题的难度不是谁都能做出
30、来的，这是肯定的。三角函数去年有些地方出了大题，出的是图像性质，今年可能会把三角与向量结合，从高等数学中运用这一个角度考查三角函数也应引起重视。还剩一个题，很可能就是函数数列的问题，因为函数是整个我们中学的宏线、主流，函数我强调了最后一个题，它很可能是一个抽象型的函数，这点就可以出一个具体的函数，可以和数列结合起来，数列是自然数为自变量的函数，是特殊的函数，以这种形式出现都有可能，在这个过程中把导数、概率都揉在一起，那么小题主要还是按照通行通法抓主要问题。这里有一点我想强调一下，今年高考数学试题可能会增大出些有新意，新背景，新设想，新解法，新问题的力度。我还想最后强调一点，由于考卷篇幅的限制，只能考两个小时，只能考2021个题，所以考试试题的综合性要强，要大。要注意小题的综合化、小题的大题化，别认为小题就是简单题，就是白给分的题，甚至第一个题觉得他都会让你动动脑子，不会说上来就白给分，因为这个考卷是高考，不是随便的考试，因此，我认为从一开始到最后结束都会加强综合能力的考核。
