1、3.1函数的概念及其表示31.2函数的表示法课程目标 1.掌握函数的三种表示法解析法、图象法、列表法；2.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 知识点一函数的三种表示法表示法定义解析法用_数学表达式_表示两个变量之间的对应关系图象法用_图象_表示两个变量之间的对应关系列表法通过_列出表格_来表示两个变量之间的对应关系 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)任何一个函数都有解析式()(2)任何一个函数都能够用图象表示()(3)函数yf(x)的图象与直线xa可以有两个交点()(4)如果函数有解析式，则解析式是唯一的()【解析】 (1)
2、不是所有函数都能够用解析式表示，例如，一天内气温随时间变化的关系，只能够用图象表示，不能用解析式表示(2)不一定如函数的对应关系是：当x为有理数时，函数值等于1；当x为无理数时，函数值等于0.此函数就无法用图象法表示(3)由函数的概念知，自变量确定，则函数值唯一确定，所以yf(x)的图象与直线xa最多只有1个交点(4)一个函数可以有多个解析式，这些解析式是等价的 知识点二分段函数对于一个函数来说，对应关系_由几个解析式共同_构成，它的图象_由几条曲线共同_组成，这样的函数称为分段函数 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)分段函数各段的定义域区间是不可以相交的()(2)分段函数各段的对应关
3、系不同，所以分段函数是由几个不同的函数构成的()(3)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式求值()【解析】 (1)分段函数各段的定义域区间的交集为空集，定义域是各段的定义域区间的并集(2)分段函数是一个函数，只不过在定义域的不同区间上的对应关系不同(3)由自变量与函数值的对应关系知，说法正确 给定函数f(x)x1，h(x)，xR且x0.用M(x)表示f(x)，h(x)中的最大者，记为M(x)maxf(x)，h(x)，试分别用图象法和解析法表示M(x).解：如图所示，在同一坐标系中分别作出函数f(x)x1，h(x)的图象，根据函数M(x)的定义知，函数M(x)的图象是
4、图中的实线部分由x1得x2x20，解得x2或x1.所以函数M(x)的解析式为M(x) 活学活用用m(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最小者，记为m(x)minf(x)，g(x)，h(x)已知f(x)x2，g(x)x，h(x)x2，试作出函数m(x)的图象，并写出m(x)的解析式解：如图所示，在同一坐标系中分别作出函数f(x)x2，g(x)x，h(x)x2的图象，根据函数m(x)的定义知，函数m(x)的图象是图中的实线部分. 由x2x得x1，由xx2得x3.所以函数m(x)的解析式为m(x)规律方法作函数图象的三个步骤：(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相
5、对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；(2)描点，把表中一系列的点(x，f(x)在坐标平面上描出来；(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来【迁移探究】如图所示，函数yax2bxc与yaxb(a0)的图象可能是_(填序号).【解析】 由抛物线的对称轴是y轴，可知b0，而此时直线应该过原点，故不可能；由抛物线可知，a0，而此时由直线的图象得，a0，故不可能；由抛物线可知，a0，故不可能；由抛物线可知，a0，满足直线图象，可知可能是两个函数的图象 (1)若一次函数f(x)满足3f(x1)f(x)2x9，求f(x)的解析式；(2)设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)，
6、且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式解：(1)由题意，设f(x)axb(a0).因为3f(x1)f(x)2x9，所以3a(x1)3baxb2x9，即2ax3a2b2x9，比较对应项系数，得解得所以f(x)x3.(2)方法一：设f(x)ax2bxc(a0).由f(x2)f(x2)，得4ab0.又因为|x1x2|2，所以b24ac8a2；又由已知得c1.由解得b2，a，c1，所以f(x)x22x1.方法二：因为f(x2)f(x2)，所以yf(x)的图象的对称轴为直线x2，又|x1x2|2，所以yf(x)的图象与x轴的交点为(2，0)，(2，0)，故可设f(x)a
7、(x2)(x2).因为f(0)1，所以a，所以f(x)(x2)22x22x1. 求下列函数的解析式(1)已知f(x)x22x，求f(2x1)；(2)已知f(1)x2，求f(x)；(3)设f(x)是定义在(1，)上的一个函数，且有f(x)2f1，求f(x).解：(1)易知f(2x1)(2x1)22(2x1)4x21.(2)令t1，则t1，且t1，所以f(t)(t1)22(t1)t24t3.故所求的函数为f(x)x24x3(x1).(3)因为f(x)2f1，所以用代换x，得f2f(x)1.消去f，解得f(x)4f(x)21，所以f(x).又因为x(1，)，所以f(x)，x(1，). 活学活用已知f
8、(x)3f(x)2x1，则f(x)的解析式是(C)Af(x)x Bf(x)2xCf(x)x Df(x)x【解析】 因为f(x)3f(x)2x1，所以把中的x换成x，得f(x)3f(x)2x1.由3，可得f(x)x.规律方法求函数解析式的几种常用方法：(1)待定系数法：当已知函数类型时，常用待定系数法(2)代入法：已知yf(x)的解析式，求函数yfg(x)的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换yf(x)中的x.(3)换元法：已知yfg(x)的解析式，求yf(x)的解析式，可用换元法，即令g(x)t，反解出x，然后代入yfg(x)中，求出f(t)，即得f(x).(4)构造方程组法：当同一个对应关
9、系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时，构造方程组求解 已知函数f(x)若f(x)10，则x_5或3_【解析】 当x0时，f(x)x2110，解得x3(舍去)或x3；当x0时，f(x)2x10，解得x5.综上知x5或x3.规律方法(1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，逐段用不同的函数解析式求解，求解最后检验所求结果是否适合条件(3)实际问题中的分段函数，以自变量在不同区间上的对应关系不同进行分段，求出在各个区间上的对应关系(解析式或图象). 活学活用设函数f
10、(x)若f(a)a，则实数a的值是_1_【解析】 当a0时，f(a)1a，得a2(舍去)；当a0时，f(a)a，得a1，a1不满足a0，舍去，所以a1. 设函数f(x)|x22x|.(1)在给出的平面直角坐标系中作出yf(x)的图象；(2)若方程f(x)a有三个不相等的实根，求实数a的值；(3)在同一坐标系中作直线yx，观察图象写出不等式f(x)x的解集解：(1)f(x)|x22x|可得函数f(x)的图象如图所示(2)方程f(x)a有三个不相等实根yf(x)的图象与ya有三个交点，结合图象可知a1.(3)结合图象可知f(x)x的解集为(1，3). 活学活用已知函数f(x)的图象如图所示，则f(
11、x)的解析式是_f(x)_【解析】 因为函数的图象由两条线段组成，所以由一次函数解析式求法，可得f(x)【迁移探究】 若某汽车以52 km/h的速度从A地驶向260 km远处的B地，在B地停留h后，再以65 km/h的速度返回A地则汽车离开A地后行驶的路程s(km)关于时间t(h)的函数解析式为s_【解析】 因为260525(h)，260654(h)，所以s1已知函数f(x1)x23，则f(2)的值为(B)A2 B6 C1 D0【解析】 令x12，则x3，得f(2)3236.2设函数f(x)则ff(3)等于(D) A B3 C D【解析】 因为f(3)，所以ff(3)f1.3已知函数f(2x1
12、)6x5，则f(x)的解析式是(A)Af(x)3x2 Bf(x)3x1Cf(x)3x1 Df(x)3x4【解析】 令2x1t，则x.所以f(t)653t2，所以f(x)3x2.4若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为(A)A BC(1，3) D(2，1)【解析】 设一次函数的解析式为ykxb(k0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得解得所以该函数的解析式为y2x4，检验知A选项正确5已知函数f(x1)x24x5，则f(x)的解析式是_f(x)x26x_【解析】 方法一：设tx1，则xt1.因为f(x1)x24x5，所以f(t)(t1)24(t1)5t26t，即f(x)的解析式是f(x)x26x.方法二：因为f(x1)x24x5(x1)26(x1)，所以f(x)的解析式是f(x)x26x.