1、第6讲 立体几何中的向量方法()证明平行与垂直一、填空题1已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为_解析由条件知(2，1,3)，(1，3,2)，设a(x，y，z)则有解可得a(1,1,1)答案(1,1,1)或(1，1，1)2已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为_解析由已知得c(m4，m2n4，mn1)，故ac3mn10，bcm5n90.解得答案1,23已知a，b满足ab，则等于_解析由，可知.答案4若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，在下列四组向量中能使l的是_
2、(填序号)a(1,0,0)，n(2,0,0)；a(1,3,5)，n(1,0,1)；a(0,2,1)，n(1,0，1)；a(1，1,3)，n(0,3,1)解析若l，则an0.而中an2，中an156，中an1，只有选项中an330.答案5设a(1,2,0)，b(1,0,1)，则“c”是“ca，cb且c为单位向量”的_条件解析当c时，ca，cb且c为单位向量，反之则不成立答案充分不必要6若|a|，b(1,2，2)，c(2,3,6)，且ab，ac，则a_.解析设a(x，y，z)，ab，x2y2z0.ac，2x3y6z0.|a|，x2y2z217.联立得x18z，y10z，代入得425z217，z.a
3、或.答案或7已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为_解析，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得答案，48设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)确定的平面上，则a_.解析(1，3,2)，(6，1,4)根据共面向量定理，设xy(x，yR)，则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.答案169我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中利用动点轨迹的方法，可以
4、求出过点A(2,1)且法向量n(1,2)的直线(点法式)方程为(x2)2(y1)0，化简得x2y0，类比以上求法在空间直角坐标系中，经过点A(3，1,3)且法向量为n(1，2,1)的平面(点法式)方程为_(请写出化简后的结果)解析设P(x，y，z)是平面内的任意一点，则n，n(3x，1y,3z)(1，2,1)0，即x2yz80.答案x2yz8010. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_解析正方体棱长为a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，0，.又MN平面B1BCC1，MN平面B
5、1BCC1.答案平行二、解答题11. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为、(0,0,1).又点A、M的坐标分别是(，0)、.且与不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(，1)，B(0，0)，(0，1)，(，0,1)，0，0，AMDF，AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.12. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，设AD1，D1D
6、(0)，若棱C1C上存在点P满足A1P平面PBD，求实数的取值范围解如图，以点D为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0，)，设P(0,1，x)，其中x0，则(1,1，x)，(1,0，x)A1P平面PBD，0，即(1,1，x)(1,0，x)0，化简，得x2x10，x0，故判别式240，且0，解得2.的取值范围是2，)13. 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1内若D1P平面PCE，试求线段D1P的长解建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，E(2
7、,1,0)，C(0,2,0)设P(x，y,2)，则(x，y,0)，(x2，y1,2)，(2,1,0)D1P平面PCE，D1PEP，D1PEC，即，0，0，故解得(舍去)或即P，D1P .14如图(1)，在RtABC中，C90，BC3，AC6.D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图(2)(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由(1)证明ACBC，DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，DE平面A1DC，又A
8、1C平面A1DC，DEA1C.又A1CCD，A1C平面BCDE.(2)解如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，令y1，则x2，z，n(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.(0,1，)，sin |cosn，|.CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)解线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面A1DP的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0.又(0,2，2)，(p，2,0)，令x2，则yp，z，m.平面A1DP平面A1BE，当且仅当mn0，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.
