1、北京市石景山区2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 直线过点，倾斜角为，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由直线的倾斜角为，得其斜率为又过点，方程为，即故选D考点：直线的点斜式方程2. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义
2、可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2故选C【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系4. 两条平行线与间的距离为( )A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】利用两直线间的距离公式，计算出两条平行直线间的距离.【详解】直线，所以两条平行线间的距离为.故选：A【点睛】本小题主要考查两条平行直线间的距离的计算，属于基础题.5. 在正方
3、体中，为棱的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论【详解】画出正方体，如图所示对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确对于选项C，连，则连，则得，所以平面，从而得，所以所以C正确对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确故选C【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题6. 用数字1，2，3
4、，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A. 24B. 48C. 60D. 72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置7. 如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：取的中点，则由三角形的中位线的性质可得平行且等于
5、的一半，故或其补角即为异面直线与所成的角设正方体的棱长为1，则，故为等边三角形，故EGH=60考点：空间几何体中异面直线的所成角【思路点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想取的中点，由三角形的中位线的性质可得或其补角即为异面直线与所成的角判断为等边三角形，从而求得异面直线与所成的角的大小8. 直线与圆相切，则的值是（ ）A. 2或12B. 2或12C. 2或12D. 2或12【答案】D【解析】【分析】求得圆心到直线距离，根据，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆的方程，可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，解得或故选：D.
6、【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记直线与圆相切的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.9. 若圆与圆外切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆心距等于两圆半径之和可解得结果.【详解】因为圆可化为，所以圆的圆心为，半径，又，半径，因为两圆外切，所以，所以，解得.故选：C10. 如图，P是正方体ABCDA1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正方体棱长为1，连接交于点，连接，则是等腰的高，故的面积为，
7、在中，利用余弦定理得出，最后得出的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，连接交于点，连接，则是等腰的高，故的面积为， 在中，=,，,，图象为以为中心，焦点在直线上的双曲线在的一部分.故选：. 考点：1、二次函数；2、分段函数【点晴】本题主要考查的是空间中三角的面积与二次函数的最值问题，属于难题.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分 11. 在的二项展开式中，常数项等于_（用数字作答）【答案】-160【解析】【分析】的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：-16012. 已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线
8、的距离为_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】焦点坐标，渐近线方程，则点到直线距离.故答案为：1.13. 已知平面给出下列三个论断：；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【答案】或【解析】【分析】根据面面平行和面面垂直的性质，得到线面垂直，从而得到答案.【详解】由，可得故，由，可得故，由，则平面与平面可以平行和可以相交，故.故答案为：或【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定，面面关系有关的命题，属于简单题.14. 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P
9、为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为_【答案】60【解析】【分析】作PO平面ABC，则O为ABC的中心，连接AP，AO， OAP即为所求，根据体积计算得OP，进而可得tanOAP，从而得解.【详解】如图所示，作PO平面ABC，则O为ABC的中心，连接AP，AO.SABCsin 60.VABCA1B1C1SABCOPOP，OP.又OA1，tanOAP，又0OAP90，OAP60.【点睛】本题主要考查了线面角的求解，考查了三棱柱的几何特征，属于基础题.15. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则_.【答案】3；【解析】【分析】由题意得：，又因为为的
10、中点，且点在轴上，设点，所以点为，又因为点在抛物线上，代入抛物线便可得出，进而求得 .【详解】根据题意画出图象，如下图所示：因为是抛物线：的焦点，所以点坐标为.设点为 ，因为为的中点，所以点为 ，因为点在抛物线上，则.则 .故： .故答案为：3.【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题目.三、解答题：本大题共5个小题，共40分应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程【答案】【解析】【分析】根据题意求出曲线与坐标轴的交点，设出圆的一般式方程，代入求出相关量即可得出圆的方程.【详解】解：曲线与轴的交点为与轴的交点为，设圆的方程为，
11、则，解得. 故圆的方程为【点睛】求圆的方程的两种方法：（1）几何法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；（2）待定系数法:根据题意，选择标准方程与一般方程；根据条件列出关于或的方程组；解出或，代入标准方程或一般方程.17. 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BD的中点.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）只要证明，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）只要证明平面即可得出结论【详解】（1）点E，F分别是AB，BD的中点，又面，面，直线平面；（2），点F是BD的中点，又，平面，面，平面平面.【点睛】本
12、题考查平面与平面垂直的判定，考查直线与平面平行的判定，考查逻辑思维能力和空间想象能力，属于常考题.18. 已知ABC的三个顶点是，（1）求边的高所在直线的方程；（2）若直线过点，且，到直线距离相等，求直线的方程【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之积为-1，点斜式即可写出方程.（2）利用斜率计算公式、中点坐标公式、点斜式即可得出.【详解】（1）因为 ，且直线与垂直， 所以直线的斜率， 所以直线的方程是，即.（2）因为直线过点且，到直线的距离相等，所以直线与平行或过的中点M，因为，所以直线的方程是，即.因为的中点M的坐标为，所以，所以直线的方程是，
13、即.综上，直线的方程是或.【点睛】本题主要考查直线方程求法以及斜率公式，求斜率是关键，属于基础题.19. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是 的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的大小【答案】（）证明见解析；（）.【解析】分析】（）通过证明和，结合线面垂直的判定定理证明出平面；（）先求解出平面和平面的法向量，然后求解出法向量夹角的余弦值，由此确定出锐二面角的余弦值，从而锐二面角的大小可求.【详解】（）因为是正三角形，是的中点，所以，又因为平面，平面，所以，平面，所以面；（）如图，以点为原点分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向
14、量为因为，所以，令，则， 又平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为 ，所以.所以平面与平面所成锐二面角为.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.20. 已知椭圆：()的右焦点为，离心率为.直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（1）求椭圆的方程；
15、（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.【答案】（1）.（2）证明见解析.（3）直线的斜率：【解析】【分析】（1）由题意知 ，可得，.故得到椭圆方程.（2）设直线的方程为()，将直线与椭圆进行联立，利用中点坐标公式，结合韦达定理得到，进而得解.（3）四边形为平行四边形，则.所以，又因为点在圆上，把点坐标代入椭圆方程，即可得出答案.【详解】（1）由已知， 又，解得， 所以椭圆方程为.（2）设直线的方程为()联立消去得，不妨设， 则，因为为线段的中点所以， 所以 所以为定值.（3）若四边形为平行四边形，则所以因为点在椭圆上，所以 解得，即所以当四边形为平行四边形时，直线的斜率为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题目.- 16 -
