1、赤峰二中2018级高一下学期第一次月考试题（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若 ，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简，再根据平方差公式以及二倍角余弦公式得结果.【详解】因为，所以,因此,选D.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力.属基本题.2.函数的最大值为A. 2B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式得：，由三角函数的有界性得：，可得解【详解】，因为，所以，故函数的最大值为2，故选：A【点睛】本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简
2、单题3.已知数列是等比数列，其前项和为，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。【详解】由题意得，公比，则，故选A。【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。4.若sin=，是第二象限角，则sin（2+）=（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，求出的值，再将所求式子展开，转化成关于和的式子，然后代值得出结果。【详解】因为且为第二象限角，根据得，再根据二倍角公式
3、得原式=，将，代入上式得，原式=故选D。【点睛】本题考查三角函数给值求值，在已知角的取值范围时可直接用同角公式求出正余弦值，再利用和差公式以及倍角公式将目标式转化成关于和的式子，然后代值求解就能得出结果。5.已知为三角形的一个内角，若，则这个三角形的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 无法确定【答案】B【解析】由已知为三角形的一个内角，则 又 且 故为钝角三角形选B6.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A. 55986只B. 4
4、6656只C. 216只D. 36只【答案】B【解析】【分析】先由题得到an是公比为6的等比数列，再利用等比数列的通项求出a6得解.【详解】设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂，则有an16an，a16，则an是公比为6的等比数列，则a6a1q566546656.故答案为：B【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.7.已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则（）A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】B【解析】【分析】由等差数列an的通项公式和等比中项的性质，化简得da1，即可求出【详解】在等差数列an中，成等比数
5、列，(3d)(d)(7d)，dd，d0，d，3.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比中项的性质，也考查了学生的计算能力，属于基础题8.在中，内角，所对应的边分别为，若，且，则（ ）A. B. C. 2D. 0【答案】D【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，由求得，由两角和的余弦公式可得，由两角差的余弦公式可得，可得，从而可得结果.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，即，因为 ，因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，以及正弦定理的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一
6、边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题意，得；故选A.10.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简函数f（x）acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可【详解】函数f（x）acosx+sinxsin（x+），其中tana，其图象关于直线对称，所以，所以tana，故答案为：D【点睛】本题考查正弦函数的对称
7、性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题11.等差数列中，若其前项和为，且有，那么当取最大值时，的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】【分析】根据 S14=S8，可得a9+a10+a14=0，故有a11+a12=0再由 a10，可得d0，故a110，a120，可得S11最大【详解】S14=S8，a9+a10+a14=0，a11+a12=0再由 a10，d0，故a110，a120，S11最大故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，数列的函数特性，属于基础题12.已知数列：；，；，；，；，则此数列的前2036项之和为（ ）A. 1
8、024B. 2048C. 1018D. 1022【答案】C【解析】【分析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组个数，第二组个数，第组个数，分别计算出各组数的和.计算出组数的项数和，令这个项数和等于列方程，解方程求出组数为.然后求出前组数的和得出正确选项.【详解】将此数列分组，第一组：；第二组：；第三组：；第组：.而由，得，所以.因此前2036项之和正好等于前10组之和，由于.故选C.【点睛】本小题主要考查数列求和，考查观察能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题.13.莱因德纸草书(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100个面包分
9、给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的大小是_【答案】【解析】设此等差数列为an，公差为d，则 （a3+a4+a5）=a1+a2，即，解得a1=，d=最小一份为a1，故答案为：14.已知的内角 的对边分别为 ，若，且的面积为，则的周长为_【答案】【解析】【分析】先由余弦定理，结合，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.【详解】因为，由余弦定理可得：；又的面积为，所以，所以，所以,所以周长为.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解，属于基础题型.15.在中，A60，则c_.【答案】
10、6【解析】【分析】利用三角形的面积公式直接计算即可得到答案.【详解】,解得c=6,故答案为：6【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，属于简单题.16.数列中， （2，且），且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值_【答案】【解析】由，变形为：an+1=，a1+1=2数列an+1是等比数列，首项为2，公比为an+1=，可得an=，Sn=n=n，则，当n为偶数时，恒成立，而，1当n为奇数时，恒成立，而，综上所述，即的最大值为故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.的内角，所对的边分别为，且的面积.（1）求；（2）若、成等差数列，的面积为，求.【答案】（1）
11、；（2）.【解析】分析：（1）可得，求得B值；（2）由a、b、c成等差数列，可得2b=a+c，两边同时平方得：a2+c2=4b2-2ac，又由，可得ac=6，a2+c2=4b2-12，由余弦定理cosB即可求得b.详解：（1），即，.（2）、成等差数列，两边同时平方得：，又由（1）可知：，由余弦定理得，解，.点睛：本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.一支车队有辆车，某天依次出发执行运输任务。第一辆车于下午时出发，第二辆车于下午时分出发，第三辆车于下午时分出发，以此类推。假设所有的司机都连续开车，并都在下午时停下来休息.（1）到下午时
12、，最后一辆车行驶了多长时间？（2）如果每辆车的行驶速度都是,这个车队当天一共行驶了多少?【答案】（1）到下午时，最后一辆车行驶了小时分钟；（2）这个车队当天一共行驶了 【解析】第一问中，利用第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟即小时出发一辆则第15辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时第15辆车行驶时间为：小时（1时40分）第二问中，设每辆车行驶的时间为:,由题意得到是以为首项，为公差的等差数列则行驶的总时间为：则行驶的总里程为：运用等差数列求和得到。解：（1）第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟即小时出发一辆则第15辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时第15辆车行驶时间为：小时（1
13、时40分） 5分（2）设每辆车行驶的时间为:,由题意得到是以为首项，为公差的等差数列则行驶的总时间为：10分则行驶的总里程为：19.如图，在中，已知点D在边BC上，且，求BD长；求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求的值，利用余弦定理即可计算BD的长由可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可求的值，根据诱导公式可求的值【详解】（1）由题意，因为，在中，由余弦定理得，即，得由，得，在中，由正弦定理，得：，【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化
14、思想，属于中档题20.已知公差不为零的等差数列中，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）an112n(nN*)（2）见解析【解析】【分析】(1)S216，成等比数列，解得首项和公差进而得到通项；（2）当n5时，Tna1a2an, 直接按照等差数列求和公式求和即可, n6,Tna1a2a5a6a7 an =n210n50,写成分段即可.【详解】（1）由S216，成等比数列，得解得所以等差数列an的通项公式为an112n(nN*) （2）当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7 an2
15、S5Sn2(52105)(n210n)n210n50，故Tn【点睛】数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。21.在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰,在A处收到某商船在航行中发出求救信号后,立即测出该商船在方位角方位角(是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)为45、距离A处为10 n mile的C处,并测得该船正沿方位角为105的方向,以9 n mile/h的速度航行,“徐州”舰立即以21 n mile/h的速度航行前去营救.(1)“
16、徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船?(2)在营救时间最少的前提下,“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进?(角度精确到0.1,时间精确到1min,参考数据:sin68.20.9286)【答案】（1）最少需要40min才能靠近商船；（2）前进的方位角约为【解析】【分析】(1) 由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在B处靠近商船，从A处到靠近商船所用的时间为x h根据余弦定理，可得,解方程即得x的值，即得“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船.(2)由余弦定理可得大小，再求“徐州”舰前进的方位角.【详解】（1）由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在B处靠近商船，从A处到靠近商船所用的时间
17、为x h则，又，根据余弦定理，可得，即，即，解得，（舍去）故“徐州”舰最少需要40min才能靠近商船（2）由（1）知，由余弦定理可得，故“徐州”舰前进的方位角约为【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22.已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，求的前n项之和；（3）设数列满足：，为的前n项和，求证：【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.【解析】【分析】（I）根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，解方程求得的值，进而求得通项公式.（II）利用错位相减求和法求得数列的前项和.（III）利用裂项求和法求得的值，由此证得.【详解】（）由于，成等比数列，所以，故，由于，解得，所以.（II）由（I）得，故，两式相减得 ，即.（III）由（I）得，故 .【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算以及等差数列通项公式的求解，考查错位相减求和法，考查裂项相消求和法.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列所构成，那么可以利用错位相减法求得前项和.如果一个数列的分母是由两个公差相同的等差数列相乘所得，可以考虑用裂项求和法求和.
