1、内蒙古赤峰二中2021届高三数学第三次统一模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知集合Qx|x22x0，xN，且PQ，则满足条件的集合P的个数（）A8B9C15D162复数z45i（其中i为虚数单位），则z+2i的虚部为（）A5B6C7D33在边长为2的等边ABC中，则（）A0BC1D24已知sin2sin（+），则tan2（）ABCD5十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若ab0，则下列结论错误的是（）ABlog2（ab）0CD3a3b6中国是
2、发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（）ABCD7已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点（）A（2，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）8如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）A98颗B106颗C1
3、20颗D126颗9“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形或涌泉声音超大，涌起的泉水越高已知听到的声强m与标准声强m0（m0均为1012，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即Llg，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）米A0.7B7C50
4、D6010若直角坐标平面内A、B两点满足点A、B都在函数f（x）的图象上；点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x），则f（x）的“姊妹点对”有（）A0个B1个C2个D3个11下列说法中，正确的有（）个各个面都是三角形的几何体是三棱锥；过球面上任意两点只能作球的一个大圆；三棱锥的四个面都可以是直角三角形；梯形的直观图可以是平行四边形A1B2C3D412定义在上的函数f（x），满足，且当时，f（x）lnx，若函数g（x）f（x）ax在上有零点，则实数a的取值范围是（）ABln，0CD二、填空题（共4小
5、题）.13函数yf（x）的图象在点M（2，f（2）处的切线方程是y2x6，则 14ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B30，ABC的面积为，那么b 15函数y（x2+2x3）的单调递减区间是 16如图，双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点若等腰PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an是公差不为0的
6、等差数列，a13，a1a4a22（）求an的通项公式an及前n项和Sn；（）bn，求数列bn的通项公式18如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB3BC6，BFCFAEDE2，EF4，EFAB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM2（）证明：AF面BDG；（）证明：面BGM面BFC；（）求三棱锥FBMC的体积V19松山区教研室某课题组对“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用”这一课题进行专项研究为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在
7、试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如表所示：60分以下617071808l909l100甲班（人数）36111812乙班（人数）48131510现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀（）试分别估计两个班级的优秀率；（）由以上统计数据填写下面22列联表，并问是否有75%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.400.250.150.1000.0500.0250.010k00.7081.3
8、232.0722.7063.8415.0246.63520已知曲线E上的点到F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1（1）求曲线E的方程；（2）过E作斜率为k的直线交曲线E于A、B两点；若，求直线l的方程；过A、B两点分别作曲线E的切线l1、l2，求证：l1、l2的交点恒在一条定直线上21已知函数f（x）x23，g（x）2xlnxax（）若函数f（x）与g（x）在x1处的切线平行，求函数g（x）在（1，g（1）处的切线方程；（）当x（0，+）时，若g（x）f（x）恒成立，求实数a的取值范围(二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐
9、标系与参数方程22直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos21直线l与曲线C交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）若P点的极坐标为（1，），求AB中点M到P的距离选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23设函数f（x）|x2|+2x3，记f（x）1的解集为M（）求M；（）当xM时，证明：xf（x）2x2f（x）0参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Qx|x22x0，xN，且PQ，则满足条件的集合P的个数（）A8B9C15D16解：由x22x0，解得0x2，又xN，x0，1，2Q0，1，2，
10、PQ，则满足条件的集合P的个数为238，故选：A2复数z45i（其中i为虚数单位），则z+2i的虚部为（）A5B6C7D3解：复数z45i，则z+2i45i+2i43i，其虚部为3故选：D3在边长为2的等边ABC中，则（）A0BC1D2解：因为等边ABC，由可知，N为BC的中点，所以ANBC（等腰三角形三线合一）故，所以故选：A4已知sin2sin（+），则tan2（）ABCD解：sin2sin（+）2cos，tan2，则tan2，故选：A5十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式
11、的发展影响深远若ab0，则下列结论错误的是（）ABlog2（ab）0CD3a3b解：令a2，b1，得选项B错误，故选：B6中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（）ABCD解：由这组勾股数组成没有重复数字的三位数有345，354，435，453，543，534共6种等可能结果，能被2整除的有354，534两种结果，故概率P故选：B7已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点（）
12、A（2，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）解：设动圆的圆心到直线x1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y24x上，且抛物线的准线方程为x1，所以动圆圆心到直线x1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）故选：B8如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）A98颗B106颗C120颗D126颗解：作出轴截面如图，由题意，OP8，O1P4，OA3，设O1A1x，则，即x则放
13、入珍珠的最大体积一颗珍珠的体积是由，得最多可以放入珍珠126颗，故选：D9“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形或涌泉声音超大，涌起的泉水越高已知听到的声强m与标准声强m0（m0均为1012，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即Llg，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，则B同
14、学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）米A0.7B7C50D60解：设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为100m，喷出泉水高度为70，lgmlgm00.2x，2+lgmlgm014，两式相减得：2140.2x，解得x60，故选：D10若直角坐标平面内A、B两点满足点A、B都在函数f（x）的图象上；点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x），则f（x）的“姊妹点对”有（）A0个B1个C2个D3个解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称可作出函数yx2+
15、2x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y（x0）交点个数即可如图所示：当x1时，01观察图象可得：它们有2个交点故选：C11下列说法中，正确的有（）个各个面都是三角形的几何体是三棱锥；过球面上任意两点只能作球的一个大圆；三棱锥的四个面都可以是直角三角形；梯形的直观图可以是平行四边形A1B2C3D4解：考查所给的各个说法：两个同底的三棱锥构成的六面体各个面都是三角形，不是三棱锥，故错误，过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确，因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故梯形的直观图不
16、可以是平行四边形，综上可得，正确的说法有一个，故选：A12定义在上的函数f（x），满足，且当时，f（x）lnx，若函数g（x）f（x）ax在上有零点，则实数a的取值范围是（）ABln，0CD解：因为当时，f（x）lnx，所以x（1，时，所以f（）lnx，此时，故f（x）lnx，x（1，所以f（x）在上的图象如图，要使函数g（x）f（x）ax在上有零点，只要直线yax与f（x）的图象有交点，由图象可得，kOAa0，其中，所以使函数g（x）f（x）ax在上有零点，则实数a的取值范围是ln，0故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数yf（x）的图象在点M（2，f（2）处的切线
17、方程是y2x6，则1解：函数yf（x）的图象在点M（2，f（2）处的切线方程是y2x6，可得f（2）462，f（2）2，所以1故答案为：114ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B30，ABC的面积为，那么b解：a，b，c成等差数列，2ba+c平方得a2+c24b22ac又ABC的面积为，且B30，故由SacsinBacsin30ac，得ac6，a2+c24b212由余弦定理cosB解得b24+2又b为边长，b1+故答案为：1+15函数y（x2+2x3）的单调递减区间是（1，+）解：由x2+2x30解得 x3，或x1，故函数的定义域为（，3）（1，+）在（，3
18、）上，函数tx2+2x3是减函数，由复合函数的单调性得是增函数在（1，+） 上，函数tx2+2x3是增函数，由复合函数的单调性得是减函数故函数的单调递减区间是 （1，+），故答案为 （1，+）16如图，双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点若等腰PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为解：连结QF1，由条件知QF1PF2，且|QF2|由双曲线定义知|QF1|2a+，在RtF1QF2中，（2a+）2+（）2（2c）2，即8a2+4ac7c20，即8+4e7e20解得C的离心率e，故答案为：三、解答题：解答应写出文
19、字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an是公差不为0的等差数列，a13，a1a4a22（）求an的通项公式an及前n项和Sn；（）bn，求数列bn的通项公式解：（）数列an是公差d不为0的等差数列，a13，a1a4a22所以，解得d3或0，（0舍去），故an3+3（n1）3n（）由于，所以，所以18如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB3BC6，BFCFAEDE2，EF4，EFAB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM2（）证明：AF面BDG；（）证明：面BGM面BFC；
20、（）求三棱锥FBMC的体积V解：（）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG点G为CF中点，OG为AFC的中位线OGAF，AF面BDG，OG面BDG，AF面BDG，（）连接FM，BFCFBC2，G为CF的中点，BGCFCM2，DM4EFAB，ABCD为矩形，EFDM，又EF4，EFMD为平行四边形FMED2，FCM为正三角形，MGCF，MGBGG，CF面BGM，CF面BFC，面BGM面BFC（），三棱锥FBMC的体积V19松山区教研室某课题组对“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用”这一课题进行专项研究为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加强语文阅读理解训练对提高数
21、学应用题得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如表所示：60分以下617071808l909l100甲班（人数）36111812乙班（人数）48131510现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀（）试分别估计两个班级的优秀率；（）由以上统计数据填写下面22列联表，并问是否有75%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：K2，其中na
22、+b+c+dP（K2k0）0.400.250.150.1000.0500.0250.010k00.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635解：（）由题意可得：甲乙两班的人数均为50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为：60%；乙班优秀人数为25人，优秀率为：50%；（）由以上统计数据填写下面22列联表，优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100K21.0102.706故没有75%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮助20已知曲线E上的点到F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1（1）求曲线E的方程；（2）过E作斜率为k
23、的直线交曲线E于A、B两点；若，求直线l的方程；过A、B两点分别作曲线E的切线l1、l2，求证：l1、l2的交点恒在一条定直线上解：（1）设曲线E上的点P（x，y），由题可知：P到F（0，1）的距离与到直线y1的距离相等，所以，P点的轨迹是以F（ 0，1）为焦点，y1为准线的抛物线，E的方程为：x2 4y（2）设：过F的斜率为k的直线方程为：ykx+1由消y可得x24kx40令A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x24k ，x1x24由题可知：若，即：（x2 ，1y2 ）3（x1，y11），即得：x23x1由消去x1，x2得：k2，k，所求直线l的方程为：yx+1证明由题知：y，yx，令
24、A（x1，x12），A（x2，x22），设l1与l2相交于点Ql1方程为：yx12x1（xx1），l1方程为：yx22x2（xx2），相减得：x2k，代入相加得：2yk（x1+x2）（x12+x22）4k2（x1+x2）22x1x24k2（16k2+8）2，y1，Q（2k，1），：l1、l2的交点恒在一条定直线y1上21已知函数f（x）x23，g（x）2xlnxax（）若函数f（x）与g（x）在x1处的切线平行，求函数g（x）在（1，g（1）处的切线方程；（）当x（0，+）时，若g（x）f（x）恒成立，求实数a的取值范围解：（）f（x）x23的导数为f（x）2x，可得函数f（x）与g（x）在x
25、1处的切线的斜率均为2，g（x）2xlnxax的导数为g（x）2（1+lnx）a，可得2（1+ln1）a2，解得a4，g（x）2xlnx4x，g（1）4，所以函数g（x）在（1，g（1）处的切线方程为y（4）2（x1），即为2x+y+20；（）g（x）f（x）即为2xlnxaxx23，即ax+2lnx+对x0恒成立，设h（x）x+2lnx+，h（x）1+，当x1时，h（x）0，h（x）递增；当0x1时，h（x）0，h（x）递减所以h（x）在x1处取得最小值4，则a4，即a的取值范围是（，4(二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：
26、坐标系与参数方程22直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos21直线l与曲线C交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）若P点的极坐标为（1，），求AB中点M到P的距离解：（1）曲线C的极坐标方程为2cos21，2（cos2sin2）1，即x2y21，而直线l的参数方程为（t为参数），带入x2y21，得：t22t40，设A、B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t22，t1t24，则|AB|t1t2|2；（2）P点的极坐标为（1，），直角坐标是（0，1），P（0，1）在直线l上，AB的中点M对应的参数为：1，|PM|1选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23设函数f（x）|x2|+2x3，记f（x）1的解集为M（）求M；（）当xM时，证明：xf（x）2x2f（x）0解：（）由已知，得，当x2时，由f（x）x11，解得，x0，此时x0当x2时，由f（x）3x51，解得，显然不成立，故f（x）1的解集为Mx|x0（）证明：当xM时，f（x）x1，于是，函数在（，0上是增函数，g（x）g（0）0，故xf（x）2x2f（x）0
