1、第二章3A组素养自测一、选择题1点C在直线AB上，且3，则等于(D)A2BCD2解析32.2(多选)下列说法中错误的是(ABC)Aa与a的方向不是相同就是相反B若a，b共线，则baC若|b|2|a|，则b2aD若b2a，则|b|2|a|解析对于A，0时，结论不成立；对于B，a0时，结论成立；对于C，|b|2|a|时，b与a不一定共线；对于D，利用平面向量共线定理可知正确3已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则(A)A()(0,1)B()C()(0,1)D()解析设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平行线，设，则(0,1)，于是()，(0,
2、1)4如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么(D)ABCD解析.5在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则等于(A)ABCD解析(方法一)：由2，可得2()，所以.故选A(方法二)：()，所以，故选A6(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是(AB)A2a3b4e且a2b2eB存在相异实数，使ab0Cxayb0(其中实数x，y满足xy0)D已知梯形ABCD，其中a，b解析由2a3b2(a2b)得到b4a，故A可以；ab0，ab，故B可以；xy0，有xayb0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对
3、边平行，故D不可能二、填空题7已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa(8y)b4xb3(y9)a，则x 3 ；y 4 .解析因为a与b不共线，根据向量相等得解得8已知e1，e2是两个不共线的向量，而ak2e1e2与b2e13e2是两个共线向量，则实数k 2或 .解析由题设知，所以3k25k20，解得k2或.9设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，ADAB，BEBC若12(1，2为实数)，则12的值为 .解析由已知()，1，2，从而12.三、解答题10已知两个非零向量e1、e2不共线，若2e13e2，6e123e2，4e18e2.求证：A、B、D三点共线证明B2e13e26e123e24
4、e18e212e118e26(2e13e2)6A，.又AD和AB有公共点A，A、B、D三点共线B组素养提升一、选择题1设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是(C)Aa与a的方向相反B|a|a|Ca与2a的方向相同D|a|a解析A错误，因为取负数时，a与a的方向是相同的；B错误，因为当|1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为2(0)一定是正数，故a与2a的方向相同故选C2.在ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若a，b，则(D)AabBabCabDab解析解法1：aa()aa(ba)ab.
5、解法2：ab，又，选D3如图所示，向量、的终点A、B、C在一条直线上，且3.设p，q，r，则以下等式中成立的是(A)ArpqBrp2qCrpqDrq2p解析，33，.()rq(rp)rpq.4O为平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，动点P满足，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的(B)A外心B内心C重心D垂心解析由，则，则.而是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB1P1C1，易得平行四边形AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分B1AC1，且，所以，则.由0，)，可知点P在BAC的平分线上，即动点P的轨迹经过ABC的内心二、填空题5已知在AB
6、C所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是 23 .解析因为，所以2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以PBC和ABC的面积之比为23.6设点O在ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|2|1，则|23| 2 .解析如题图所示，易知|23|2()|24|2|2|2.三、解答题7如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形证明在BCD中，G，F分别是CD，CB的中点，.同理.，即与共线又G，F，H，E四点不在同一条直线上，GFHE，且GFHE.四边形EFGH是平行四边形8在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且t，求t的值解析，32，即22.2，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示A，M，Q三点共线，设x(1x)(x1)，又，.又，且t，t.解得t.