1、第11课时 求函数的解析式【学习目标】1掌握求函数解析式的基本方法；2培养抽象概括能力和分析解决问题的能力【课前导学】1函数表示的方法有哪三种方法？最常用的方法是什么？答：函数表示方法有解析式法列表法图象法三种解析式法是最常用的表示方法2二次函数的形式有几种？解：（1）一般式： ；（2）交点式： ，其中，分别是的图象与轴的两个交点的横坐标；（3）顶点式：，其中是抛物线顶点的坐标；3已知函数类型，求函数解析式，常用什么方法？答案：待定系数法例如，求二次函数解析式的基本步骤是：（1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）；（2）代入已知条件，列方程（组）；（3）通过解方程（组）确定未知系数；3分别求
2、满足下列条件的二次函数 的解析式：（1）图象与轴的两交点为，且；（2）图象的顶点是，且经过原点答案：（1）；（2）【课堂活动】一建构数学：根据题设的条件选择相应的方法求函数解析式【据条件定方法】二应用数学：例1 已知f(x)是一次函数, 且ff(x)=4x-1, 求f(x)的解析式解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x-1则 或 ，或【解后反思】已知函数类型求函数的解析式时常用待定系数法例2 设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.解：设,图象过点(0,3),有f(0)=c=3,故c=3；又f(x)满足且=0的两实根平方和为10，得对称轴x=2且
3、=10，即且，a=1，b=-4，例3 若,求f(x) 解法一（换元法）：令t=则x=t-1, t1代入原式有 ， （x1）解法二（配凑法）：， 由1， (x1) 【解后反思】1已知f(g(x)表达式，求f(x)的表达式常用换元法配凑法；2用换元法时要注意新元范围例4 已知f(x)满足，求解：已知 将中x换成得 2-得 .（）【解后反思】当作用对象互为相反数、倒数、负倒数时，常用方程组法求函数的解析式例5 已知f(x)=x2-1，g(x)=求fg(x) 解：fg(x)=（）2-1=x+2【解后反思】求复合函数解析式，注意整体思想的应用例6 一直角三角形ABC，AC = 3，BC = 4，动点 P
4、 从直角顶点C 出发沿CBBAAC 运动回到C，设路程PC = x ，写出线段AP的长度与 x 的函数式 F ( x ).解： 【解后反思】注意分类讨论思想的应用三理解数学：1 已知：=x-x+3，求f(x+1), f()解：f()=()-+3； f(x+1)=(x+1)-(x+1)+3=x+x+32 若 求f(x) 解： 令 则 (t0) 则 f(x)= (x0且x1)3函数在闭区间上的图象如下图所示，则求此函数的解析式【解】由图象可知，当时，；当时，所以【课后提升】1已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5ab=_.答案：5或12 已知函数=4
5、x+3，g(x)=x,求ff(x)，fg(x)，gf(x)，gg(x).解：ff(x)=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15； fg(x)=4g(x)+3=4x+3；gf(x)=f(x)=(4x+3)=16x+24x+9； gg(x)=g(x)=(x)=x.3根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函数，若，求；（2）若满足求解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设，由于得，又由，即，因此：(2)由于为抽象函数，可以用消参法求解用代可得：与联列方程组可消去得：.【点评】求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合
6、法；（3）若为抽象函数，常采用代换后解方程组法.4某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，再把车速表示为时间的函数解：从地到地所需时间为，从地到地所需时间为，所以，当时，；当时，；当时，；所以， 5设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.解法一：由，设，得，所以解法二：令，得，即，又将用代换到上式中得【点评】所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.思考题：已知一个函数的解析式为，它的 值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数答案：无数个，如定义域为，等