1、4二次函数性质的再研究41二次函数的图像,学生用书P31)1二次函数的解析式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标是(h，k)，则f(x)a(xh)2k(a0)(3)两点式：设二次函数图像与x轴的两个交点分别是(x1，0)，(x2，0)，则f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图像变换及参数a，b，c，h，k对其图像的影响(1)函数yx2和yax2(a0)的图像之间的关系二次函数yax2(a0)的图像可由yx2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到，参数a的取值不同，函数及其图像也有区别，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小当a0
2、时，二次函数yax2的图像开口向上，当a0时，a的值越大，函数yax2的图像开口越小，a的值越小，函数yax2的图像开口越大；当a0)或向右(h0)或向下(k0)平移|k|个单位得到h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”可简记为“左加右减，上加下减”由于只进行了图像的平移变换，所以函数ya(xh)2k(a0)的图像与函数yax2(a0)的图像形状相同，只是位置不同1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)ax2bxc是二次函数()(2)在同一坐标系中，yx2图像的开口比y2x2图像的开口大()(3)只通
3、过左右平移可由yx2的图像变换出y2x2x1的图像()(4)f(x)ax2bxc(a0)的图像不一定与x轴有公共点()答案：(1)(2)(3)(4)2函数y2x(3x)的图像可能是()解析：选B.由2x(3x)0得x0或x3，可知图像与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除A，C.又y2x(3x)2x26x，所以图像开口向下，故排除D，因此选B.3若二次函数yf(x)的图像如图所示，则此函数的解析式为_解析：设f(x)a(x2)(x2)，将(0，3)代入得a，故y(x2)(x2)(4x2)答案：f(x)(4x2)4. 已知yax2bxc的图像如图所示，则使y0的x的取值范围是_解析：观察图像
4、易知使y0的x满足0x2.答案：0，2二次函数的图像变换规律(1)左右平移：只改变x，如y2x2y2(x1)2.规律：左加右减(2)上下平移：只改变y，如y2x2y2x21.规律：上加下减(3)纵向伸缩：只改变y，如yx21y2(x21)(4)横向伸缩：只改变x，如yf(x)ax2bxcyabc.二次函数图像的草图画法学生用书P32画出函数y2x24x6的草图【解】y2x24x62(x22x)62(x22x11)62(x1)2162(x1)28.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x1.令y0得2x24x60，即x22x30，所以x1或x3，故函数图像与x轴的交点坐标为(1，
5、0)，(3，0)画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，8)、(1，0)、(3，0)，画出直线x1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，8)，(1，0)，(3，0)，在连线的过程中，要保持关于直线x1对称，即得函数y2x24x6的草图，如图所示画二次函数的图像时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便、使图像更准确 1.画出yx2x1的草图解：yx2x1，开口向上，顶点，
6、与x轴无公共点，令x0，则y1，图像如图所示二次函数图像的变换学生用书P32将二次函数yx2bxc的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数yx22x1的图像，则b_，c_【解析】yx22x1(x1)2，所以yx22x1的顶点为(1，0)根据题意把此抛物线反向平移，得抛物线yx2bxc的图像则点(1，0)(3，3)，所以抛物线yx2bxc的顶点为(3，3)，所以yx2bxc(x3)23x26x6.所以b6，c6.【答案】66你能把函数yx26x6变换为yx2吗？试指出变换过程解：因为yx26x6(x3)23，所以yx26x6 yx23yx2.(1)平移变换不改变图像的形状，只改变图
7、像在坐标系中的位置x轴上平移，即把x换成(xk)(k0，左正右负)； y轴上平移，即把y换成(yh)(h0，下负上正)(2)伸缩变换改变图像的形状把横坐标变化到原来的(0且1)倍，即把x换成.把纵坐标变化到原来的(0且1)倍，即把y换成.2.若把函数yx26x6图像的横坐标缩小到原来的倍，得到图像C1，再把C1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图像为C2，试写出图像C2的解析式解：yx26x6y(2x)212x64x212x64x212x6，即y8x224x12.所以图像C2的解析式为y8x224x12.待定系数法求二次函数的解析式学生用书P33已知二次函数图像的顶点坐标是(1，3)，且经过点P(
8、2，0)，求这个函数的解析式【解】法一：设所求函数的解析式为ya(x1)23(a0)，由图像经过点P(2，0)，得a(21)230，解得a3.所以所求函数的解析式为y3(x1)23，即y3x26x.法二：设所求函数的解析式为yax2bxc(a0)，由题意，得解得所以所求函数的解析式为y3x26x.法三：因为二次函数的图像的顶点坐标为(1，3)，所以其对称轴为直线x1.又因为图像与x轴的一个交点坐标为P(2，0)，所以由对称性可知，图像与x轴的另一个交点坐标为(0，0)所以可设所求函数的解析式为ya(x0)(x2)(a0)因为图像的顶点坐标是(1，3)，所以a(10)(12)3，解得a3.所以所
9、求函数的解析式为y3x(x2)，即y3x26x.用待定系数法求二次函数解析式的设法技巧求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式的形式，用待定系数法求之(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，然后列出三元一次方程组求解(2)当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值时，则设所求二次函数为顶点式ya(xh)2k其顶点是(h，k)，a0(3)当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)时，则设所求二次函数为两点式ya(xx1)(xx2)(a0) 3.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)
10、1，f(x1)f(x)2x，则f(x)_解析：设所求的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，因为f(0)1，所以c1，则f(x)ax2bx1.又因为f(x1)f(x)2x对任意xR成立，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x.由恒等式性质，得所以所以所求二次函数为f(x)x2x1.答案：x2x1规范解答二次函数图像的应用(本题满分12分)已知关于x的函数y(m6)x22(m1)xm1的图像与x轴总有交点(1)求m的取值范围；(2)当函数图像与x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于4时，求m的值【解】(1)当m60时，m6，函数y14x5与x轴有一个交点符合题意；(2分
11、)当m60时，m6，4(9m5)0，解得m，即当m且m6时，抛物线与x轴有一个或两个交点(4分)综上可知，当m时，此函数的图像与x轴总有交点(6分)(2)设x1，x2是方程(m6)x22(m1)xm10(m60)的两个根，则x1x2，x1x2.(8分)因为4，即4，所以4，解得m3.当m3时，m60，0，符合题意(11分)所以m的值是3.(12分)(1)处易忽略隐含条件二次项系数是否为零的讨论，是关键点也是失分点(2)处易忽略对判别式的检验(3)此类题目注意要分类讨论1已知二次函数f(x)x2x，则其图像开口方向和与x轴交点的个数分别是()A向上2B向上0C向下1 D向下2解析：选A.x2的系
12、数为1，开口向上，令f(x)x2x0得x0，1，故选A.2已知f(x)x2pxq，满足f(1)0，f(2)0，则pq等于()A5 B5C6 D6解析：选D.由题意知1，2是方程x2pxq0的两根，所以，所以pq6.3函数yx22x1的图像可由函数yx2的图像平移得到，其方法是通过()A向左平移1个单位长度B向右平移1个单位长度C向上平移1个单位长度D向下平移1个单位长度解析：选B.yx2y(x1)2.4已知yx24xh的顶点A在直线y4x1上，则二次函数解析式为_解析：配方得y(x2)2h4，顶点为(2，h4)，代入直线y4x1，得h49，所以h5.所以所求函数解析式为yx24x5.答案：yx
13、24x5,学生用书P109(单独成册)A基础达标1用配方法将函数yx22x1写成ya(xh)2k的形式是()Ay(x2)21By(x1)21Cy(x2)23 Dy(x1)23解析：选A.yx22x1(x24x4)1(x2)21.2. 已知函数yax2bxc的图像如图，则此函数的解析式可能为()Ayx2x3Byx2x3Cyx2x3Dyx2x3解析：选A.由图像可知，抛物线开口向上，a0，顶点的横坐标为x0，故b0，图像与y轴交于负半轴，故c0.3已知二次函数yax2bxc的图像的顶点坐标为(2，1)，与y轴交点坐标为(0，11)，则()Aa1，b4，c11Ba3，b12，c11Ca3，b6，c1
14、1Da3，b12，c11解析：选D.由题意c11，2，1，所以a3，b12.4函数yax1与yax2bx1(a0)的图像可能是()解析：选C.当a0时，yax2bxc开口向上，yax1递增且过(0，1)点，D不符合，C符合要求当a0时，yax2bxc开口向下，yax1递减且过(0，1)点，A、B不符合，故选C.5. 二次函数f(x)ax2bxc(a0)图像如图所示，有下列结论：abc0；abc0；b2a.其中正确结论的个数是()A1B2C3 D4解析：选D.由题图可得f(1)abc0，顶点的横坐标为1，所以b2a，ab0，又f(0)c0，所以abc0.故选D.6如果函数f(x)(4a2)x24
15、(a2)x4的图像恒在x轴下方，则实数a的取值范围是_解析：当4a20即a2时，a2，f(x)4，符合题意，a2，f(x)16x4不合题意；当4a20时，需解得a2.答案：2，)7把f(x)2x2x1的图像向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为_解析：由题意有g(x)f(x1)12(x1)2(x1)112x23x1.答案：g(x)2x23x18将抛物线y3(x1)2向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，如果xx，那么k_解析：将抛物线y3(x1)2向上平移k个单位，得抛物线y3(x1)2k3x26x3k.可知
16、x1，x2是方程3x26x3k0的两实数解所以，x1x22，x1x2.又xx(x1x2)22x1x24，解得k.答案：9已知a，b为常数，且a0，函数f(x)ax2bx，f(2)0，方程f(x)x有两个相等的实数根求函数f(x)的解析式解：因为方程f(x)x有两个相等的实数根，且f(x)ax2bx，所以(b1)20，所以b1，又f(2)0，所以4a20，所以a，所以f(x)x2x.10画出函数yx22x3的图像，并根据图像回答：(1)方程x22x30的根是什么？(2)x取何值时，函数值大于0？函数值小于0?解：由yx22x3，得y(x1)24.显然开口向上，顶点(1，4)，与x轴交点(3，0)
17、，(1，0)，与y轴交点为(0，3)，图像如图(1)由图像知x22x30的根为x1或x3.(2)当y0时，就是图中在x轴上方的部分，这时x3或x1；当y0时，即抛物线在x轴下方的部分，这时1x3.B能力提升11已知xR，f(x)是函数y2x2与yx中的较小者，则函数f(x)的最大值为()A2B1 C1D2解析：选C.在同一直角坐标系中，画出函数y2x2与yx的图像，两函数的交点坐标为(2，2)，(1，1)，f(x)的图像为图中实线部分，故其最大值为1，故选C.12直线y3与函数yx26|x|5图像的交点有_个解析：yx26|x|5其图像如图，所以与y3有4个交点答案：413已知二次函数yax2
18、bxc(a0)的图像与x轴相交于点A(3，0)，顶点的横坐标为x1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式解：因为二次函数图像的对称轴是x1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为M(1，2)或M(1，2)，故设二次函数的解析式为ya(x1)22或ya(x1)22.因为图像过点A(3，0)，所以0a(31)22或0a(31)22，解得a或a.故所求二次函数的解析式为y(x1)22x2x，或y(x1)22x2x.14(选做题)已知函数g(x)kxb(k0)，当x1，1时，g(x)的最大值比最小值大2，又f(x)2x3.是否存在常数k，b使得f(g(x)g(f(x)对任意的x恒成立？如果存在，求出k，b；如果不存在，请说明理由解：因为f(g(x)2(kxb)3，g(f(x)k(2x3)b，又f(g(x)g(f(x)，所以b33k.因为函数g(x)kxb(k0)，当x1，1时，g(x)的最大值比最小值大2，当k0时，g(1)g(1)2，即kbkb2，又有b33k，所以k1，b0.当k0时，g(1)g(1)2，即kbkb2，又有b33k，所以k1，b6.综上所述，存在或使得f(g(x)g(f(x)对任意的x恒成立
