1、44对数函数44.2对数函数的图象和性质第2课时对数函数的图象及性质的应用课程目标 1.了解反函数的概念及它们的图象的特点；2.掌握对数型复合函数的单调性、奇偶性、最值等的求解方法 知识点一反函数的概念对数函数ylogax(a0，且a1)和指数函数_yax(a0，且a1)_互为反函数研读通过作图，可以发现函数yax与ylogax(a0，且a1)的图象关于直线yx对称 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)函数y的反函数是ylogx.()(2)函数y2x与ylog2x的图象关于直线yx对称()(3)若点(m，n)在函数yax(a0，且a1)的图象上，则点(n，m)在函数ylogax的图象上(
2、)(4)函数y3x与ylog3x的定义域与值域是互换的.()【解析】 (4)函数y3x的定义域为R，值域为(0，)，ylog3x的定义域为(0，)，值域为R，即它们的定义域和值域互换 知识点二ylogaf(x)型函数性质的研究1定义域：由f(x)0解得x的取值范围，即为函数的定义域2值域：在函数ylogaf(x)的定义域中确定tf(x)的值域，再由ylogat的单调性确定函数的值域3单调性：在定义域内考虑tf(x)与ylogat的单调性，根据_同增异减_法则判定(或运用单调性定义判定).4奇偶性：根据奇偶函数的定义判定5最值：在f(x)0的条件下，确定tf(x)的值域，再根据a确定函数ylog
3、at的单调性，最后确定最值 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)函数ylog(x2)在(2，)上单调递增()(2)函数ylog3(x2)的值域是(0，).()(3)函数ylg (x21)是偶函数()(4)函数yln 是奇函数()【解析】 (1)函数ylog(x2)在(2，)上单调递减(2)因为x2，所以函数ylog3(x2)的值域是.(3)函数ylg (x21)的定义域为(，1)(1，)，因为f(x)lg (x21)f(x)，所以函数ylg (x21)是偶函数(4)函数yln 的定义域为x|3x0，且a1，b0，且b1，则a与b的关系为(A)Aab1 Bab1Cab Dab1【解析】 y
4、logbx的反函数为ybx，所以函数ybx与函数y是同一个函数，所以b，即ab1.故选A. 活学活用若点(2，4)在函数f(x)logax的反函数的图象上，则f等于(C)A2 B2 C1 D1【解析】 因为点(2，4)在函数f(x)logax的反函数的图象上，所以点(4，2)在函数f(x)logax的图象上，所以2loga4，即a24，得a2，所以flog21.故选C. 函数f(x)|log4x|的图象大致是(A)【解析】 先作出函数f(x)log4x的图象，然后把x轴下方的图象翻到x轴上方即得函数f(x)|log4x|的图象，故选A. 活学活用函数f(x)ln (x21)的图象大致是(A)【
5、解析】 因为xR，f(x)ln (x)21ln (x21)f(x)，所以该函数为偶函数，排除选项C；又f(0)0，排除选项B，D.故选A.规律方法1对数型函数的图象，一般以函数ylogax的图象为基础，通过平移、对称变换得到2两种常见的对称变换：含有绝对值的函数的图象变换一般地，y|f(x)|的图象是保留yf(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的；yf(x)的图象与yf(x)的图象关于y轴对称，yf(x)的图象与yf(x)的图象关于x轴对称【迁移探究】函数f(x)1log2x与g(x)2x1在同一坐标系中的图象大致是(C)【解析】 函数f(x)1l
6、og2x为增函数且图象过点，排除A；函数g(x)2x1为减函数且图象过点(0，2)，排除B，D.故选C. 已知f(x)log为奇函数，a为常数(1)确定a的值；(2)用定义法证明：f(x)在(1，)上单调递增；(3)若对于区间3，4上的每一个x值，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为f(x)是奇函数，所以定义域关于原点对称，由0，得(x1)(1ax)0.令(x1)(1ax)0，解得x11，x2，所以1，解得a1.(2)证明：由(1)得f(x)log，令u(x)1，设任意x1，x2(1，)，且x1x2，则u(x1)u(x2)，因为1x1x2，所以x110，x210，x2x10
7、，所以u(x1)u(x2)0，即u(x1)u(x2).所以u(x)1在(1，)上单调递减又ylogu(x)为减函数，所以f(x)在(1，)上单调递增(3)由题意知logm在x3，4时恒成立，令g(x)log，x3，4，由(2)知ylog在3，4上单调递增，又y在3，4上也单调递增，故g(x)在3，4上单调递增，所以g(x)的最小值为g(3)，所以m，故实数m的取值范围是. 活学活用函数f(x)的单调递增区间是(D)A B(0，1C(0，) D1，)【解析】 f(x)当x1时，tlogx单调递减，f(x)logx单调递增所以f(x)的单调递增区间为1，).规律方法1求形如ylogaf(x)的函数
8、的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)0，先求定义域2求此类型函数单调性的两种思路：利用定义求证；借助函数的性质，研究函数tf(x)和ylogat在定义域上的单调性，从而判定ylogaf(x)的单调性 求函数ylog3(x24x7)的值域解：因为x24x7(x2)230，所以函数ylog3(x24x7)的定义域为R令tx24x7(x2)23，则ylog3t，t3，)，因为函数ylog3t在3，)上单调递增，所以ylog3tlog331，即y1，).所以函数ylog3(x24x7)的值域是1，). 活学活用已知函数ylogax(a0，且a1)，当x3，9时，函数的最大值比最小值大1，则
9、a_3或_【解析】 当0a1时，函数ylogax在3，9上单调递增，由题意得loga9loga3loga31，所以a3.综上可知a或3.规律方法求对数型函数的值域或最值时，主要有两种方法：利用对数函数的单调性；若函数是与二次函数复合的函数，要考虑二次函数的最值情况【迁移探究】 已知函数f(x)lg (ax22x1).(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 解：(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax22x10的解集为R当a0时，x，这与xR相矛盾，所以a0；当a0时，由题意得解得a1.即实数a的取值范围为.(2)若f(x)的
10、值域为R，则ax22x1能取遍所有的正数，所以a0或解得0a1.即实数a的取值范围为a|0a1 已知函数fkxloga(ax1)(a0且a1)的图象关于y轴对称，求k的值解：由题意可知函数f(x)为偶函数，故fkxlogakxlogaxlogakxloga，所以kk1k. 活学活用函数f(x)lg |xa|是偶函数，则a_0_【解析】 依题意，得lg |xa|lg |xa|，所以当xa时，|xa|xa|总成立，所以a0.规律方法判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称对于类似于f(x)logag(x)的函数，利用f(x)f(x)0来判断奇偶性较简便1已知函数f(x)log2x，若
11、函数g(x)是f(x)的反函数，则fg(2)(B)A1 B2 C3 D42函数f(x)lg (|x|1)的大致图象是(B)A. B.C.D.【解析】 由f(x)lg (|x|1)lg (|x|1)f(x)且定义域关于原点对称得，f(x)是偶函数，由此C，D错误；又当x1时，f(x)lg (x1)在(1，)上单调递增，故选B.3已知f(x)是函数ylog2x的反函数，则yf(1x)的图象是(C)A.B.C.D.【解析】 函数ylog2x的反函数为y2x，故f(x)2x，于是f(1x)21x，此函数是R上的减函数，其图象经过点(0，2)，只有选项C中的图象符合要求4若函数ylog(x2axa)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围是_2，22_. 【解析】 令ux2axa，则ylogu显然为减函数，则要使函数在区间(，)上单调递增，则ux2axa在区间(，)上应单调递减，且恒大于0，则解得2a22，故a的取值范围是2，22.5函数ylog的值域是_1，)_【解析】 因为4x20，所以x24，得2x2，所以函数的定义域为(2，2).令t，则0t2.因为ylogt是减函数，所以ylog21.所以所求函数的值域为1，).
