1、第二章一元二次函数、方程和不等式21等式性质与不等式性质课程目标 1.了解等式的性质;2.掌握不等式的基本性质;3.能用不等式的基本性质解决一些简单问题 知识点一等式的性质性质文字表述性质内容注意1对称性abba2传递性ab,bcac3可加、减性abacbc4可乘性abacbc5可除性ab,c0 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)由3a22b,得3a2b2.()(2)由12y3,得x14y6.()(3)由,得xy2ab.()(4)x24x7,得x3.() 知识点二不等式的性质性质文字表述性质内容注意1对称性abba2传递性ab,bcac3可加性abacbc4可乘性ab,c0acbcab
2、,c0acbcc的符号5同向可加性ab,cdacbd同向6同向同正可乘性ab0,cd0acbd同向7可乘方性ab0,那么anbn(nN,n2)同正研读将不等式的性质与等式的性质进行比较,可以加深对不等式的理解性质4、性质6、性质7强调数或式的符号,性质3、性质5表明不等式只能同向相加,不能同向相减 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)若ab,则acbc一定成立()(2)若acbc,则abd,则ab,cd.()(4)若ab,cd,则.()【解析】 (1)由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘一个正数时,不等号方向不变,因此若ab,则acbc不一定成立,故此说法是错误的(2)在不等式acbc两
3、边同时加上c,可得abd,但不满足ab,故此说法错误(4)取a2,b1,c1,d2,满足ab,cd,但不成立所以此说法错误 教材拓展已知a,b为正数,且ab,比较a3b3与a2bab2的大小解:(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab).因为a0,b0,且ab,所以(ab)20,ab0,所以(a3b3)(a2bab2)0,即a3b3a2bab2.规律方法作差比较法比较两个数(式)大小的步骤:(1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差(2)变形:对差进行变形,常见的变形技巧是:因式分解,配方(3)判断差的符号:结合变形的结果及
4、题设条件判断差的符号(4)作出结论 活学活用设x,yR,比较x2y2与xyxy1的大小解:x2y2(xyxy1)(x22xyy2)(x22x1)(y22y1)(xy)2(x1)2(y1)20,x2y2xyxy1. 已知abc,求证:a2bb2cc2aab2bc2ca2.证明: (a2bb2cc2a)(ab2bc2ca2)a2(bc)(b2c2)a(bc)bc(bc)a2(bc)abc(ab)(bc)(ac)0,所以a2bb2cc2aab2bc2ca2. 活学活用设x,y,zR,比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小解:5x2y2z2(z22z1)(y22xyx2)(4x24x1)(z1)2
5、(yx)2(2x1)20,5x2y2z22xy4x2z2. 若a,b,c为实数,判断下列命题的真假:(1)若ab,则acb,ab0,则;(3)若ababb2;(4)若cab0,则.解:(1)因为c可以是正数、负数或零,不等式两边都乘c,所以ac与bc的大小关系不确定,所以为假命题(2)当a0b时,不等式不成立,所以为假命题(3)由a2ab,又abb2,所以a2abb2,所以为真命题(4)因为ab0,所以ab,所以caab0,所以0.在不等式ca0,又ab0,所以,所以为真命题 活学活用已知a,b,cR,那么下列命题中正确的是(C)ABabC D【解析】 对于A,若ab0,c0,d0,有,故A错
6、;对于B,当c0时,有ab,故B错;对于C,由a3b3ab,又ab0,所以,故C正确;对于D,若a2,b1,满足a2b2,ab0,但,故D错 已知10a30,15b20,则3ab的取值范围是_103ab75_【解析】 依题意,303a90,20b15,所以30203ab9015,即103ab75,所以3ab的取值范围是103ab75.【迁移探究1】在本例的前提下,a(b10)的取值范围是_50a(b10)300_; 的取值范围是_2_【解析】 因为10a30,15b20,5b1010,所以105a(b10)3010,即50a(b10)300.又,所以,即2,所以a(b10)的取值范围是50a(
7、b10)300,的取值范围是2.【迁移探究2】 将本例的条件变为“10ab30,15ab20”,求3ab的取值范围解:令abm,abn,则10m30,15n20,由abm,abn,得a,b,所以3abm2n.而10m30,15n20,所以40m2n70,即403ab70.规律方法利用不等式的性质求参数取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质求解切记想当然,以免出现错误,如两个不等式相减,不等式两边同乘(或除以)一个实数,会导致错误结果 活学活用已知xy,试求的取值范围解:因为xy,所以,所以,所以. 又因为xy,所以0,故0. 已知12a60,15b36,求,的取值范围解:由
8、12a60,15b364.记tt4,所以1,所以1,所以bc,且abc0,则的取值范围是_20,abacc2.1若mamb,那么下列等式不一定成立的是(A)Aab Bma3mb3C mamb D ma8mb8【解析】 当m0时,由mamb得ab,当m0时,ab不一定成立故选A.2下列方程的变形中,正确的是(C)3x60变形为x20;x753x变形为4x2;4x2变形为x2;3变形为2x15.A B C D 【解析】 根据等式的性质可知,只有4x2变形为x2是错误的,其余都正确故选C.3如果a0,那么下列不等式中正确的是(A)A BCa2|b|【解析】 因为a0,所以0,所以b,则ac2bc2B若ab,则abC若acbc,则abD若ab,则acbc【解析】 当c0时,选项A错误;将ab两边同乘1,得ab,选项B错误;当cb BabCab Dab【解析】 ab(3x2x1)(2x2x)x22x1(x1)20,所以ab.6已知1ab2且2ab4,求4a2b的取值范围解:令abx,aby,则2x4,1y2.由解得所以4a2b42x3y.而2x4,33y6,则5x3y10,所以54a2b10.