1、第3讲 几何概型一、填空题1点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为_解析 如图，以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内的面积为，故P.答案 2在区间0，1上任取两个数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为_解析 要使该函数无零点，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，a2b0.作出的可行域，易得该函数无零点的概率P.答案 3在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是_解析设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为.答案4如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个
2、角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是_解析所求概率为P1.答案15扇形AOB的半径为1，圆心角为90.点C，D，E将弧AB等分成四份连结OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是_解析 依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为的扇形共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于.答案 6 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则PAB的面积大
3、于等于的概率是_解析 主要考查几何概型的概率计算如图，由题知AB1，分别取AD与BC的中点E、F，则EF綊AB，要使SABP，只需P在矩形CDEF中，所求概率为.答案 7 ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为_解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P1.答案18分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为_解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为2，则阴影区域的面
4、积为24，所以所求概率为P.答案9在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为_解析 面积为36 cm2时，边长AM6，面积为81 cm2时，边长AM9，P.答案 10若m(0,3)，则直线(m2)x(3m)y30与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为_解析令x0得y，令y0得x，由于m(0,3)，S，由题意，得，解得1m2，由于m(0,3)，m(0,2)，故所求的概率为P.答案二、解答题11已知关于x的一次函数ymxn.(1)设集合P2，1,1,2,3和Q2,3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求
5、函数ymxn是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件求函数ymxn的图象经过一、二、三象限的概率解(1)抽取的全部结果的基本事件有：(2，2)，(2,3)，(1，2)，(1,3)，(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A).(2)m、n满足条件的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m0，n0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，所求事件的概率为P.12已
6、知等腰RtABC中，C90.(1)在线段BC上任取一点M，求使CAM30的概率；(2)在CAB内任作射线AM，求使CAM30的概率解(1)设CMx，则0xa.(不妨设BCa)若CAM30，则0xa，故CAM30的概率为P.(2)设CAM，则045，若CAM30，则030，故CAM30的概率为P.13已知集合A2,0,2，B1,1，设M(x，y)|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素(x，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21上的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：内(含边界)的概率解(1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21上”为事件A，则基本事件总数为6.因落
7、在圆x2y21上的点有(0，1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2，所以P(A).(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内”为事件B，则基本事件总数为6，由图知位于区域D内(含边界)的点有：(2，1)，(2，1)，(0，1)，(0,1)共4个，即B包含的基本事件数为4，故P(B).14已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2，0，Q0，1，2，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0，3，y0，4，求点M落在不等式组；来源:Z|xx|k.Com所表示的平面区域内的概率解 (1)记“复数z为纯虚数”为事件A，组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i，0，i，2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型其中事件A包含的基本事件共2个：i，2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线 x2y30与x轴、y轴的交点分别为A(3，0)、D，三角形OAD的面积为S13.所求事件的概率为P.
