1、2021年高考数学模拟测试卷一单项选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】集合是的取值范围，是函数的值域，分别求出再求交集.【详解】解：，故选：A【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.【详解】因为，所以对应的点为，代入直线可得，解得，故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.若（且），则（ ）A. ，B. ，C. ，D
2、. ，【答案】B【解析】【分析】先由得，又由，可得，而，可得【详解】解：因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选：B【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题4.我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B. 春分和秋分两个节气的晷长相同C. 立冬的晷长为一丈五寸D. 立
3、春的晷长比立秋的晷长短【答案】D【解析】【分析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，可求出，利用等差数列知识即可判断各选项.【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列,其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列,首项，末项，公差（单位都为寸）.故选项A正确；春分的晷长为，秋分的晷长为，所以B正确；立冬的晷长为，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；立春的晷长，立秋的晷长分别为，故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑
4、子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（ ）A. 从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B. 从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C. 从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D. 从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签【答案】C【解析】【分析】若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法
5、判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.6.已知向量，将绕原点逆时针旋转到的位置，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设向量与轴的夹角为，结合三
6、角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得，得到点的坐标，进而求得.【详解】由题意，向量，则，设向量与轴的夹角为，则，所以，可得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.7.已知函数对任意，都有，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用赋值法再结合条件，即可得答案；【详解】由所求式子可得，令可得：，令可得：，令可得：，令可得：，故选：B.【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求
7、解能力，求解时注意将抽象函数具体化.8.已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别在正四棱柱中找到和，将和放在同一个平面图形中找关系即可.【详解】作正四棱柱如下图：在正四棱柱中，平面， 底面是正方形又平面是直线与平面所成的角，即是直线与直线所成的角，即，平面故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.二多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业
8、报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男女300100女A. 甲专业比乙专业的录取率高B. 乙专业比甲专业的录取率高C. 男生比女生的录取率高D. 女生比男生的录取率高【答案】BC【解析】【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为，乙专业的录取率为，所以乙专业比甲专业的录取率高.男生的录取率为，女生的录取率为，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明
9、确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.10.已知函数，将的图像上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图像. 若为偶函数，且最小正周期为，则（ ）A. 图像关于点对称B. 在单调递增C. 在有且仅有个解D. 在有且仅有个极大值点【答案】AC【解析】【分析】根据题意求得，进而求得，然后对选项逐一判断即可.【详解】解：将的图像上所有点向左平移个单位后变为：，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的后变为：，所以.因为的最小正周期为，所以，解得：.所以，又因为为偶函数，所以，所以.因为，所以.所以，.对于选项，因为，所以图像关于点对称，故正确.对于选项，
10、因为时，设，则，因为在不是单调递增，所以在不单调递增，故错误.对于选项，画出在图像如图所示:从图中可以看出：在图像有三个交点，所以在有且仅有个解，故正确.对于选项，在的图像如图所示：从图中可以看出在有且仅有2个极大值点，故选项错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.11.已知抛物线上三点，为抛物线的焦点，则（ ）A. 抛物线的准线方程为B. ，则，成等差数列C. 若，三点共线，则D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】把点代入抛物线即可得到本题答案；根据抛物线的定义
11、，以及，可得，从而可证得；由A，F，C三点共线，得，结合，化简即可得到本题答案；设AC的中点为，由，结合，即可得到本题答案.【详解】把点代入抛物线，得，所以抛物线的准线方程为，故A正确；因为，所以，又由，得，所以，即，成等差数列，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线斜率，即，所以，化简得，故C不正确；设AC的中点为，因为，所以，得，即的中点到轴距离的最小值为2，故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.12.已知函数的定义域为，导函数为，且，则（ ）A. B. 在处取得极大值C. D. 在单调递增【答案】ACD
12、【解析】分析】根据题意可设，根据求，再求判断单调性求极值即可.【详解】函数的定义域为，导函数为，即满足可设（为常数），解得，满足C正确，且仅有B错误，A、D正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三填空题13.的展开式中的系数为_【答案】【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数【详解】，故它的展开式中的系数为，故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14.已知是平面，外的直线，给出下列三个论断，；以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：_
13、（用序号表示）【答案】若，则或若，则（填写一个即可）；【解析】【分析】利用空间直线与平面的位置关系进行判断，时，与可能平行或者相交.【详解】因为，时，与可能平行或者相交，所以作为条件，不能得出；因为，所以内存在一条直线与平行，又，所以，所以可得，即作为条件，可以得出；因为，所以或者，因为是平面外的直线，所以，即即作为条件，可以得出；故答案为：若，则或若，则（填写一个即可）；【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15.已知双曲线过左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，以，为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切
14、，若两圆的半径之和为，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】首先求两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得，最后再求双曲线的离心率.【详解】设，当，代人双曲线方程，解得：，设， 根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是，则两点到渐近线的距离，上式去掉绝对值为，即，那么.双曲线的离心率.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点、的连线恰好经过拐角内侧顶点（点、在同一水平面内），设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则的长为_（用表示）米要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于_米【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】分别计算出、，相加可得的长；设，利用导数求得的最小值，即可得解.【详解】如下图所示，过点分别作，则，在中，则，同理可得，所以，令，则，令，得，得，由，解得，当时，；当时，.则.故答案为：；.【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.