1、第一章 计数原理1.2.2 组 合第 1 课时 组合与组合数公式第一章 计数原理考点学习目标核心素养组合的概念理解组合的概念，能正确区别排列与组合数学抽象组合数公式能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用组合数公式与组合数性质进行运算数学运算简单的组合问题能利用组合数公式解决简单的组合应用题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材 P21P24 的内容，并思考下列问题：1.组合的概念是什么？2.什么是组合数？组合数公式是什么？3.组合数有哪些性质？1.组合的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素_，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
2、合成一组名师点拨对组合概念的三点说明(1)组合的特点组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素也是不同的，即从 n 个不同的元素中进行 m 次不放回地取出(2)组合的特性元素的无序性，即取出的 m 个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合2.组合数的概念、公式、性质组合数定义从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数表示法_Cmn所有不同组合组合数公式乘积式Cmn_阶乘式Cmn_性质Cmn_，Cmn1_备注n，mN*且 mn；规定 C0n
3、1AmnAmmn（n1）（n2）（nm1）m！n！m！（nm）！CnmnCmnCm1n判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为 C23.()(2)从 1，3，5，7 中任取两个数相乘可得 C24个积()(3)C3554360.()(4)C2 0162 017C12 0172 017.()若 C2n10，则 n 的值为()A10 B5C3 D4答案：B从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A504 种B729 种C84 种D27 种答案：C计算 C37C47C58C69_.答案：210
4、甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有_种.解析：车票的票价有 C233(种).答案：3 判断下列问题是排列问题，还是组合问题.(1)从 1，2，3，9 九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从 1，2，3，9 九个数字中任取 3 个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从 a，b，c，d 四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？组合概念的理解【解】(1)当取出 3 个数字后，如果改变 3 个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的排列顺序有关，是排列问题.(2)取出
5、 3 个数字之后，无论怎样改变这 3 个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的排列顺序无关，是组合问题.(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题.判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题 判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把 5 本不同的书分给 5 个学生，每人一本；(2)从 7 本不同的书中取
6、出 5 本给某个同学；(3)10 个人互相写一封信，共写了几封信；(4)10 个人互相通一次电话，共通了几次电话.解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题.(2)从 7 本不同的书中，取出 5 本给某个同学，在每种取法中取出的 5 本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题.(4)因为互通电话一次没有顺序之分故它是组合问题.计算下列各式的值.(1)3C382C25；(2)C34C35C36C310；(3)C5nnC9nn1.组合数公式、性质的应用【解】(1)3C382C25387632125421148.
7、(2)利用组合数的性质 Cmn1CmnCm1n，则 C34C35C36C310C44C34C35C310C44C45C35C310C44C4111329.(3)由题意知，5nn，5n0，9nn1，9n0，解得 4n5.又因为 nN*，所以 n4 或 n5.当 n4 时，原式C14C555.当 n5 时，原式C05C4616.变条件若将本例(2)变为：C55C56C57C58C59C510，如何求解？解：原式(C66C56)C57C58C59C510(C67C57)C58C59C510C610C510C611C511111098754321 462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉 及 具 体
8、数 字 的 可 以 直 接 用nnm Cmn1 nnm（n1）！m！（n1m）！n！m！（nm）！Cmn进行计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式 Cmnn！m！（nm）！计算.(3)计算时应注意利用组合数的性质 CmnCnmn简化运算 1.C58C98100C77_.解析：C58C98100C77C38C210018763211009921 564 9505 006.答案：5 0062.若 C23C24C25C2n363，则正整数 n_.解析：由 C23C24C25C2n363，得 1C23C24C25C2n364，即 C33C23C24C25C2n364.又 CmnCm1nCmn1，则 C33
9、C23C24C25C2nC34C24C25C2nC35C25C26C2nC3n1，所以 C3n1364，化简可得（n1）n（n1）321364，又 n 是正整数，解得 n13.答案：133.解方程：C3n618C4n218.解：由原方程及组合数性质可知，3n64n2 或 3n618(4n2)，所以 n2 或 n8，而当 n8 时，3n63018，不符合组合数定义，故舍去.因此 n2.现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名.(1)现要从中选 2 名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各 2
10、 名去参加会议，有多少种不同的选法？简单的组合问题【解】(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即 C21010921 45(种).(2)可把问题分两类情况：第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法；第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法.根据分类加法计数原理，共有 C26C2415621(种)不同的选法.(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2名的选法有 C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法 C26C246521432190(种).变问法本例其他条件不变
11、，问题变为从中选 2 名教师参加会议，至少有 1 名男教师的选法是多少？最多有 1 名男教师的选法又是多少？解：至少有 1 名男教师可分两类：1 男 1 女有 C16C14种，2 男 0 女有 C26种.由分类加法计数原理知有 C16C14C2639(种).最多有 1 名男教师包括两类：1 男 1 女有 C16C14种，0 男 2 女有 C24种.由分类加法计数原理知有 C16C14C2430(种).解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基
12、本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.注意 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏 1.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件.(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有 C31001009998123161 700(种).(2)从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C12种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 C298种，因此抽出的 3 件
13、中恰好有 1 件次品的抽法有 C12C2989 506(种).(3)法一：抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有2 件次品两种情况在第(2)小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 C12C298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有 C22C198C12C2989 604(种).法二：抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即 C3100C398161 700152 0969 604(种).2.由 13 个人组成的课外活动小组，其中 5 个人只会
14、跳舞，5 个人只会唱歌，3 个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出 4 个会跳舞和4 个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解：对 3 个既会唱歌又会跳舞的人进行分类：第一类：若 3 人都不参加，共有 C03C45C4525(种)；第二类：若 3 人都跳舞或都唱歌，共有 2C33C15C4550(种)；第三类：若 3 人中有两人唱歌或跳舞，共有 2C23C25C45300(种)；第四类：若 3 人中有一人唱歌或跳舞，共有 2C13C35C45300(种)；第五类：若 3 人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌，共有 2C23C11C25C35600(种).第六类：若 3 人中只有一人唱歌
15、，又有一人跳舞有 C13C12C35C35600(种).由分类加法计数原理得不同选法共有 25503003006006001 875(种).1.下面几个问题属于组合的是()由 1，2，3，4 构成双元素集合；5 支球队进行单循环足球比赛的分组情况；由 1，2，3 构成两位数的方法；由 1，2，3 组成无重复数字的两位数的方法.A BCD解析：选 C由集合元素的无序性可知属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故是组合问题；，中两位数顺序不同数字不同为排列问题.2.若 Cn12C2n312，则 n 等于()A3 B5C3 或 5 D15解析：选 C由组合数的性
16、质得 n2n3 或 n2n312，解得 n3 或 n5，故选 C3.若集合 Aa1，a2，a3，a4，a5，则集合 A 中含有 4 个元素的子集共有_个.解析：共有 C455 个.答案：54.10 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组种数为_(用数字作答)解析：从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有 C410210 种分法.答案：2105.平面上有 9 个点，其中 4 个点在同一条直线上(4 个点之间的距离各不相等)，此外任何三点不共线.(1)过每两点连线，可得几条直线？(2)以每三点为顶点作三角形可作几个？解：(1)从 9 个点任取 2 个点，除去共线的情况，再把多减的一条直线加回来，有 C29C24131(条).(2)从 9 个点任取 3 个点，除去共线的情况有 C39C3480(个).按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
