1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年四省名校高考数学第三次大联考试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1已知集合AxN|x22x0，B0，2，3，4，则集合AB（）A0，1B0，2C2D1，22已知复数，则它的共轭复数等于（）A2iB2+iC2+iD2i3设随机变量X，Y满足Y2X+b（b为非零常数），若E（Y）4+b，D（Y）32，则E（X）和D （X）分别等于（）A4，8B2，8C2，16D2+b，164已知向量（1，2），（3，2），则cos，为（）ABCD5已知等比数列an中，a2+a430，a1a39，则公比q（）A9或11B3或11C3或D3或36设O为坐标原点，直线l过定点
2、（1，0），且与抛物线C：y22px（p0）交于A，B两点，若OAOB，则抛物线C的准线方程为（）AxBxCx1Dx27已知函数f（x）sin（2x+）+cos（2x+）为奇函数，且存在x0（0，），使得f（x0）2，则的一个可能值为（）ABCD8如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A1B2CD9某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉现环保局要求其整改，降低声强已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L10lg（aI）已知I1013W/m2时，L10dB若整改后的施工噪音的声强为原声强的102，则整改
3、后的施工噪音的声强级降低了（）A50dBB40dBC30dBD20dB10已知（）mlog3m，（）nlogn，pcos+，0，），则m，n，p的大小关系为（）AnpmBnmpCmnpDmpn11已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若（+）0，则此双曲线的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx12设函数f（x）ex2x，直线yax+b是曲线yf（x）的切线，则2a+b的最大值是（）Ae1B1C2e4De24二、填空题：本题共4小题，毎小题5分。13已知点（x，y）满足不等式组，则z5x+y的最大值为 14（2x2）n的展开
4、式中所有二项式系数之和为8，则该展开式中的常数项为 .（用数字作答）15设数列an满足a16，an+1an2n+4，bn为an的个位数字，则b1+b2+b3+b2021的值为 16已知在三棱锥PABC中，BAC90，ABAC4，APC30，平面PAC平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC（1）求角B；（2）若ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求ABC的面积18某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工A隶属于甲部门现在医务室通过血检进行一
5、种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立（1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工A被抽到的概率；（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验记X为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X的分布列和期望19已知四边形ABCD，ABAD2，BAD60，BCD30现将ABD沿BD边折起使得平面ABD平面BCD，此时ADCD点P为线段AD的中点（1）求证：BP
6、平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值20已知F是椭圆C：1（ab0）的左焦点，焦距为4，且过点P（，1）（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由21已知函数f（x）exkx2，其中k为实数，e为自然对数的底数（1）若k，证明：当x0时，f（x）x+1恒成立；（2）当x0时，f（x）2x+1sinx恒成立，求k的取值范围请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
7、计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）1（1）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；（2）已知点M的直角坐标为（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|+|MB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a21|+|x6|（1）当a0时，解不等式f（x）12；（2）记集合Mx|f（x）2b0，若存在aR使M，求实数b的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A
8、xN|x22x0，B0，2，3，4，则集合AB（）A0，1B0，2C2D1，2解：集合AxN|x22x0xN|0x20，1，2，B0，2，3，4，集合AB0，2故选：B2已知复数，则它的共轭复数等于（）A2iB2+iC2+iD2i解：复数 z所以它的共轭复数 2+i故选：B3设随机变量X，Y满足Y2X+b（b为非零常数），若E（Y）4+b，D（Y）32，则E（X）和D （X）分别等于（）A4，8B2，8C2，16D2+b，16解：随机变量X，Y满足Y2X+b（b为非零常数），若E（Y）4+b，D（Y）32，则E（Y）2E（X）+b4+b所以 E（X）2；D（Y）4D （X）32，所以D （X）
9、8故选：B4已知向量（1，2），（3，2），则cos，为（）ABCD解：根据题意，向量（1，2），（3，2），则+（2，4），（4，0），则有|+|2，|4，（+）（）8，则cos，故选：B5已知等比数列an中，a2+a430，a1a39，则公比q（）A9或11B3或11C3或D3或3解：由a2+a430，a1a39，可得，解得q3，故选：D6设O为坐标原点，直线l过定点（1，0），且与抛物线C：y22px（p0）交于A，B两点，若OAOB，则抛物线C的准线方程为（）AxBxCx1Dx2解：当直线lx轴时，可得A（1，），B（1，），由AOBO，得12p0，所以p，当直线l与x轴不垂直时，设l
10、的方程为yk（x1）代入y22px，得ky22py2pk0（k0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y22p，x1x21，由OAOB，得x1x2+y1y20，即12p0，可得p，综上所述p故抛物线C的标准方程为y2x，抛物线C的准线方程为x故选：A7已知函数f（x）sin（2x+）+cos（2x+）为奇函数，且存在x0（0，），使得f（x0）2，则的一个可能值为（）ABCD解：f（x）sin（2x+）+cos（2x+）2sin（2x+），f（x）为奇函数，+k，kZ，即k，kZ，排除选项B和D，存在x0（0，），使得f（x0）2，2x0+2k，kZ，即x0+k，kZ，当时，x0+k
11、，kZ，无论k取何值，x0（0，），即选项A错误，故选：C8如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A1B2CD解：由题意几何体是四棱锥PABCD，过P作PEAD于E，在正方体中有CD平面PAD，所以CDPE，又因为ADCDD，所以PE平面ABCD，所以四棱锥的高为PE，由三视图可知，PE22，解得PE所以该四棱锥的高为：故选：D9某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉现环保局要求其整改，降低声强已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L10lg（aI）已知I1013W/m2时，L10dB若整改后的施工噪
12、音的声强为原声强的102，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）A50dBB40dBC30dBD20dB解：由题意可知，L10lg（aI），当I1013W/m2时，L10dB，有1010lga1013，解得a1012，故有L10lg1012I，当变为原声强的102时，I1011W/m2，有L10lg10121011，可得I10dB，由此可知降低了10dB（10dB）20dB，故选：D10已知（）mlog3m，（）nlogn，pcos+，0，），则m，n，p的大小关系为（）AnpmBnmpCmnpDmpn解：设f（x），x（0，+），则函数f（x）在（0，+）上单调递减，f（1）0，f（2）0，x
13、0（1，2）使得f（x0）0，f（m）0，1m2，0，0n1，0，），cos（0，1，pcos+22，当且仅当cos，即cos1，0时取等号，p2，pmn故选：B11已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若（+）0，则此双曲线的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx解：若（+）0，即（+）（）0，可得 22，即有|AF2|F2F1|2c，由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c，在等腰三角形AF1F2中，tanAF2F1，cosAF2F1，化为3c5a，即ac，bc，可得a：b3：4，故此双曲线的渐近线方程为yx，故选：D12
14、设函数f（x）ex2x，直线yax+b是曲线yf（x）的切线，则2a+b的最大值是（）Ae1B1C2e4De24解：设切点为（m，n），f（x）ex2x的导数为f（x）ex2，可得切线的斜率为em2，由切线方程yax+b，可得em2a，且am+bem2m，则b（a+2）1ln（a+2），2a+b2a+（a+2）1ln（a+2），设g（a）2a+（a+2）1ln（a+2），a2，g（a）2ln（a+2），当2ae22时，g（a）0，g（a）递增，当ae22时，g（a）0，g（a）递减，可得g（a）的最大值为g（e22）e24，即2a+b的最大值为e24，故选：D二、填空题：本题共4小题，毎小题5
15、分。13已知点（x，y）满足不等式组，则z5x+y的最大值为26解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，6），由z5x+y，得y5x+z，由图可知，当直线y5x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为26故答案为：2614（2x2）n的展开式中所有二项式系数之和为8，则该展开式中的常数项为6.（用数字作答）解：（2x2）n的展开式中所有二项式系数之和为2n8，n3，则该展开式的通项公式为 Tr+1（1）r23rx63r，令63r0，可得r2，故展开式中中的常数项为26，故答案为：615设数列an满足a16，an+1an2n+4，bn为an的个位数字，则b1+b2+b3+b202
16、1的值为4046解：a16，an+1an2n+4，a2a121+4，a3a222+4，a4a323+4，anan12（n1）+4，累加可得ana12（1+2+3+n1）+4（n1）（n1）（n+4）n2+3n4，ann2+3n+2（n+1）（n+2），a1236，a23412，a34520，a45630，a56742，a67856，a78972，a891090，a91011110，a101112132，bn为an的个位数字，b16，b22，b30，b40，b52，b66，bn是以5为周期的周期数列，b1+b2+b3+b2021（6+2+0+0+2）404+64046，故答案为：404616已知
17、在三棱锥PABC中，BAC90，ABAC4，APC30，平面PAC平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为80解：由题意可知，P点在圆周上运动，则PAC的外接圆的半径为r，2r8，解得r4，如图，因为平面PAC平面ABC，BAC90，ABAC4，所以ABC的外接圆的圆心是BC的中点，几何体的外接球的球心是ABC外心的中垂线与圆PAC的圆心的中垂线的交点O，由题意可得R，所以三棱锥PABC外接球的表面积为：4R280故答案为：80三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC（1）求角B；（2）若ABC外接圆的半径为，
18、且AC边上的中线长为，求ABC的面积解：（1）由cosC，可得2bcosC2ac，由正弦定理可得2sinBcosC2sinAsinC，即2sinBcosC2sin（B+C）sinC，可得sinC2sinCcosB，又sinC0，所以cosB，因为B为三角形内角，所以B（2）由正弦定理可得2，可得b3，设D为AC边上的中点，则AD，BD，2+，两边平方，可得422+2+2，即17c2+a2+ac，由余弦定理可得b2a2+c22accosB，即9a2+c2ac，两式相减可得82ac，即ac4，所以SABCacsinB18某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工A隶属于甲部门现
19、在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立（1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工A被抽到的概率；（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验记X为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X的分布列和期望解：（1）由题意知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为6：9：122：3：4，所以分层抽样抽取的9人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数
20、分别为2人，3人，4人，记事件M为“员工A被抽到”，则P（A）（2）甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记“每组血样化验结果呈阴性”为事件B，则P（B），所以X的所有可能取值为2，5，8，P（X2）（P（B）2，P（X5）P（B）2（1），P（X8）（1）2，所以X的分布列如下， X 2 5 8 P 所以数学期望E（X）2+5+819已知四边形ABCD，ABAD2，BAD60，BCD30现将ABD沿BD边折起使得平面ABD平面BCD，此时ADCD点P为线段AD的中点（1）求证：BP平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为ABAD，BA
21、D60，所以ABD为等边三角形，因为P为AD的中点，所以BPAD，取BD的中点E，连结AE，则AEBD，因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以AE平面BCD，又CD平面BCD，所以AECD，又因为CDAD，ADAEA，AE，AD平面ABD，所以CD平面ABD，因为BP平面ABD，所以CDBP，又因为CDADD，CD，AD平面ACD，所以BP平面ACD；（2）解：由（1）可知CDBD，取BC的中点F，则EFDE，即EA，EF，ED两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面BPC的法向量为，则，即，令x1，则，故，又，所以，故MP与平面BPC所成角的正弦
22、值为20已知F是椭圆C：1（ab0）的左焦点，焦距为4，且过点P（，1）（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由解：（1）由题意可知，解得，椭圆C的方程为：（2）由题意知，当直线l1，l2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN的方程为y0，当直线l1，l2斜率都存在时，设l1：xmy2（m0），设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，化简可得（m2+3）y24my20，且0，所以，y1
23、y2，则x1+x2m（y1+y2）4，M（，），同理由可得N（，），则kMN，所以直线MN的方程为y，化简得：y，此时直线MN过定点（，0），易知当直线l1，l2其中一条的斜率不存在时，直线MN的方程为y0，亦过点（，0），综上所述，直线MN恒过定点（，0）21已知函数f（x）exkx2，其中k为实数，e为自然对数的底数（1）若k，证明：当x0时，f（x）x+1恒成立；（2）当x0时，f（x）2x+1sinx恒成立，求k的取值范围解：（1）证明：当k时，设g（x）exx2x1（x0），g（x）exx1，（1分）则g（x）ex10，故g（x）在0，+）上单调递增故当x0时，g（x）g（0）0，故
24、g（x）在0，+）上单调递增，故当x0时，g（x）g（0）0，故当x0时，f（x）x+1恒成立；（2）设h（x）exkx22x1+sinx（x0），则h（x）min0，注意到h（0）0，则h（x）ex2kx2+cosx（x0），则h（0）0h（x）ex2ksinx，h（0）12k，h（x）excosx0，则h（x）在0，+）上单调递增，当k时，h（0）12k0，由于h（x）在0，+）上单调递增，则当x0时，h（x）h（0）0，则h（x）在0，+）上单调递增，故h（x）h（0）0，则h（x）在0，+）上单调递增，故h（x）h（0）0，符合题意；当k时，h（0）12k0，利用（1）中已证结论可得由
25、于h（x）在0，+）上单调递增，h（1+2k）e1+2k2ksin（1+2k）1+（1+2k）2k10，故必然存在x0（0，1+2k），使得x（0，x0）时，h（0）0，则h（x）在（0，x0）上单调递减，故当x（0，x0）时，h（x）h（0）0，则h（x）在（0，x0）上单调递减，则当x（0，x0）时，h（x）h（0）0，不符合题意；综上，k的取值范围为（，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）1
26、（1）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；（2）已知点M的直角坐标为（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|+|MB|的值解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），整理得x2+y22直线l的极坐标方程为cos（）1，根据，整理得xy+10所以直线的倾斜角为（2）把直线的方程转换为参数方程（t为参数），代入x2+y22，得到：，整理得，t1t21，所以|MA|+|MB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a21|+|x6|（1）当a0时，解不等式f（x）12；（2）记集合Mx|f（x）2b0，若存在aR使M，求实数b的取值范围解：（1）a0时，f（x）12即|x1|+|x6|12，当x1时，1x+6x12，解得：x，当1x6时，x1+6x12，则512，无解，当x6时，x1+x612，解得：x，故不等式f（x）12的解集是x|x或x；（2）f（x）|x+a21|+|x6|x+a21（x6）|a2+5|，当且仅当（x+a21）（x6）0时取“”，则可知f（x）mina2+5，即f（x）的值域是a2+5，+），存在aR，使得M，故2b（a2+5）min5，则b，故实数b的取值范围是，+）- 19 - 版权所有高考资源网
