1、 2.3 数学归纳法一、预习教材问题导入根据以下提纲，预习教材 P92P95 的内容，回答下列问题(1)阅读教材 P92 的多米诺骨牌游戏，思考以下问题：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？提示：能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件：()第一块骨牌倒下；()任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下你认为第二个条件的作用是什么？提示：条件()给出了一个递推关系：当第 k 块倒下时，相邻的第 k1 块也倒下(2)教材 P92 有如下问题：对于数列an，已知 a11，an1 an1an(n1,2,3，)，通过对 n1,2,3,4 前 4 项的归纳，猜出其通项公式为
2、an1n.而在 P93，根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明，说明猜想是正确的，其证明步骤是什么？提示：验证 n1 时，猜想成立；假设 nk 时，猜想成立，然后证明 nk1 时，猜想也成立，从而证明原猜想正确二、归纳总结核心必记1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取时命题成立；(2)(归纳递推)假设 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对的所有正整数 n 都成立上述证明方法叫做数学归纳法nk1第一个值 n0(n0N*)从 n0 开始2数学归纳法的框图表示三、综合迁移深化思维(1
3、)数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为 1?提示：不一定，如证明 n 边形的内角和为(n2)180时，第一个值为 n03.(2)数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤而缺少步骤就作出判断，可能得出不正确的结论因为单靠步骤，无法递推下去，即 n 取 n0 以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤而缺少步骤，也可能得出不正确的结论，缺少步骤这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤也就没有意义了探究点一 用数学归纳法证明等式思考探究利用数学归纳法证明问题的两个步骤是什么？名师指津：典例精析用数学归
4、纳法证明：112 13412n12n 1n1 1n21nn(nN*)解(1)当 n1 时，左边 11212，右边12，等式成立(2)假设当 nk(kN*)时，等式成立，即 112 13412k12k 1k1 1k2 12k.则 当 n k 1 时，112 134 12k12k 12k12k2 1k1 1k2 12k12k12k2 1k21k3 12k12k112k2 1k1 1k2 1k3 12k12k1 12k2 1k11 1k12 1k1k 1k1k1.即当 nk1 时，等式也成立根据(1)(2)可知，对一切 nN*，等式都成立 类题通法 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起
5、点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 nk 到 nk1 时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项(3)利用假设是核心：在第二步证明 nk1 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk 时命题成立”作为条件来导出“nk1时命题也成立”在书写 f(k1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法 针对训练 1用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1
6、)2(其中 nN*)证明：(1)当 n1 时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当 nk(kN*)时等式成立，即 1427310k(3k1)k(k1)2.那么，当 nk1 时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当 nk1 时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何 nN*都成立探究点二 用数学归纳法证明不等式典例精析 若数列an的通项公式为 an2n1，bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的 nN*，不等式b11b1 b21b2 bn1bn n1成立解 由于 an2n1
7、，故 bn2n(nN*)，所证不等式为212 414 2n12n n1.(1)当 n1 时，左式32，右式 2，左式右式，结论成立(2)假 设 当 n k(k N *且 k1)时 结 论 成 立，即212 414 2k12k k1，则当nk1时，212 414 2k12k 2k32k1 k1 2k32k1 2k32 k1，要证当 nk1 时结论成立，只需证 2k32 k1 k2，即 证 2k32k1k2，由 基 本 不 等 式 知 2k32k1k22 k1k2成立，故 2k32 k1 k2成立，所以当 nk1 时，结论成立由(1)(2)可知，对任意的 nN *时，不等式b11b1 b21b2
8、bn1bn n1成立类题通法 用数学归纳法证明不等式应注意两点(1)证明不等式的第二步即从 nk 到 nk1 的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；(2)用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要用到比较法、分析法和配凑法等针对训练 2证明不等式 1 12 13 1n2 n(nN *)证明：(1)当 n1 时，左边1，右边2 12.显然命题成立(2)假设 nk 时命题成立，即 1 12 13 1k2 k.则当 nk1 时，1 12 13 1k1k12 k1k12 k k11k1kk11k12k1k1 2 k1，即当 nk1 时，不等式也成立根据(1)(2)，可知不等
9、式对任意正整数 n 都成立探究点三 归纳猜想证明典例精析 已知数列an满足 a1a，an112an，(1)求 a2，a3，a4；(2)推测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明思路点拨(1)将 n 依次赋值 1,2,3 即可求出 a2，a3，a4 的值；(2)猜想an的通项公式，然后利用探究点一的方法证明，要注意 an 一定要正确解(1)由 an112an可得 a212a1 12a，a312a212 12a 2a32a，a412a312 2a32a32a43a.(2)推测 ann1n2ann1a.下面用数学归纳法证明：当 n1 时，左边a1a，右边1112a111aa，结论成立假设 nk 时，
10、有 akk1k2akk1a成立，则 nk1 时，ak112ak12k1k2akk1akk1a2kk1ak1k2akk1ak1ka.故当 nk1 时，结论也成立由可知，对 nN*，都有 ann1n2ann1a.类题通法 数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的因此归纳猜想证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：(1)计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；(2)猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；(3)如果猜想出来的结论与正整数 n 有关，一般用数学归纳法
11、证明针对训练 3已知数列an的前 n 项和为 Sn，其中 anSnn2n1且 a113.(1)求 a2，a3;(2)猜想数列an的通项公式，并证明解：(1)a2S22221a1a26，a113，则 a2 115，类似地求得 a3 135.(2)由 a1 113，a2 135，a3 157，猜得：an12n12n1.证明：当 n1 时，由(1)可知等式成立；假设当 nk 时猜想成立，即 ak12k12k1，那么，当 nk1 时，由题设 anSnn2n1，得 akSkk2k1，ak1Sk1k12k1，所以 Skk(2k1)akk(2k1)12k12k1k2k1，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak
12、1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1k2k1.因此，k(2k3)ak1k2k1，所以 ak112k12k312k112k11，这就证明了当 nk1 时命题成立由可知命题对任何 nN *都成立课堂归纳领悟1本节课的重点是数学归纳法在证明等式和不等式中的应用，难点是利用数学归纳法解决“归纳猜想证明”问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，见探究点一；(2)用数学归纳法证明不等式问题，见探究点二；(3)用数学归纳法解决“归纳猜想证明”问题，见探究点三3在利用数学归纳法证明问题时，从 nk 到 nk1 的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十六)”(单击进入电子文档)
