1、函数的概念与基本初等函数1判断两个函数是否为同一函数【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少2函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围 求解函数定义域的常规方法：分母不等于零；根式（开偶次方）被开方式0；对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；指数为
2、零时，底数不为零实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集若函数定义域为空集，则函数不存在（4）抽象函数的定义域：对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“xa”所要满足的范围是一样的；函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中
3、的x的范围【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题3函数的值域【知识点的认识】函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域A是函数的定义域【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强（3）运用函数的值域解决实际问题此类问
4、题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型4函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法例1：已知
5、曲线yx2+2x在点（1，f（1）处的切线为l求l的方程 解：yx2+2x，y2x+2，当x1时，y4得切线的斜率为4，所以k4；所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：y34（x1），即4xy10故l的方程为：4xy10 我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出（当然还有其他的，比方说截距式）例2：若函数yf（x）与yex+1的图象关于直线yx对称，则f（x） 解：函数yex+1的图象与函数yf（x）的图象关于直线yx对称，所以f（x）是yex+1的反函数
6、，xlny1（y0）即f（x）lnx1，（x0）故答案为：lnx1，（x0） 本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于yx对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考是基础题5函数的表示方法【知识点的认识】1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法 2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上这种由图形表示函数的方法叫作图象法3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述
7、出来，yf（x）；这种方法叫做解析法图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质【解题方法点拨】函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象【命题方向】函数的表示方法的选择，与集合以及映射，函数的定义域与值域，考题一般是基础题6函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表
8、； （2）描点； （3）连线解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题【图象的变换】1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线2利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：yf（x）a0，右
9、移a个单位（a0，左移|a|个单位）yf（xa）；yf（x）b0，上移b个单位（b0，下移|b|个单位）yf（x）+b（2）伸缩变换：yf（x） yf（x）；yf（x）A1，伸为原来的A倍（0A1，缩为原来的A倍）yAf（x）（3）对称变换：yf（x）关于x轴对称yf（x）；yf（x）关于y轴对称yf（x）；yf（x）关于原点对称yf（x）（4）翻折变换：yf（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边yf（|x|）；yf（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y|f（x）|解题方法点拨1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或
10、解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图象的变化趋势，观察函数的单调性；从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观
11、察函数的周期性利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项（2）知式选图：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉
12、的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值4、方法归纳：（1）1个易错点图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错（2）3个关键点正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：正确求出函数的定义域；熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx+的函数；掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程（3）3种方法识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围
13、、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题7函数的单调性及单调区间【知识点的认识】 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间
14、D上是减函数 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间【解题方法点拨】 判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结设任意x1，x2a，b且x1x2，那么f（x）在a，b上是增函数；f（x）在a，b上是减函数（x1x2）f（x1）f（x2）0f（x）在a，b上是增函数；（x1x2）f（x1）
15、f（x2）0f（x）在a，b上是减函数 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间【命题方向】 函数的单调性及单调区间是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值
16、范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力8函数单调性的性质与判断【知识点的认识】 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间【解题方法点拨】 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值；作差；变形；确定符号；下结论 利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：
17、求函数的定义域若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域第二步：求函数f（x）的导数f（x），并令f（x）0，求其根第三步：利用f（x）0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表第四步：由f（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）maxa或f（x）mina，解不等式求参数的取值范围第六步：明确规范地表述结论【命题方向】 从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查
18、函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力9复合函数的单调性【知识点的认识】 所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性平常常见的一般以两个函数的为主【解题方法点拨】 求复合函数yf（g（x）的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性
19、；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间【命题方向】 理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性10函数的最值及其几何意义【知识点的认识】 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得【解题方法点拨】基本不等式法：如当x0时，求2x+的最小值，有2x+28；转化法：如求|x5|+|x3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x5和x3的距离之和，易知最小值为2；求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较【命题方向】 本知识点是常考
20、点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围常用方法有分离参变量法、多次求导法等11奇函数、偶函数【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称解题方法点拨：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x
21、），当x0时，f（x）x2+x那么当x0时，x0，有f（x）（x）2+（x）f（x）x2xf（x）x2+x 命题方向： 奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况求参数或者求函数的表达式【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称解题方法点拨：运用f（x）f（x）求相关参数，如yax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（2）0，周期为
22、2，那么在区间（2，8）函数与x轴至少有几个交点命题方向： 与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用12函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称【解题方法点拨】奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x
23、）f（x）解相关参数；偶函数：在定义域内一般是用f（x）f（x）这个去求解；对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：函数yx|x|+px，xR是（） A偶函数 B奇函数 C非奇非偶 D与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称因为f（x）x|x|pxx|x|pxf（x），所以f（x）是奇函数故选B 【命题方向】函数奇偶性的应用 本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率13奇偶函数图象的对称性【知识点的认识】 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x
24、）m时，f（x）m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）n时，f（x）n【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 eg：若奇函数f（x）在区间1，3内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间3，1内的最值 解：由奇函数的性质可知，f（x）在3，1上位单调递增函数，那么最小值为f（3）f（3）7；最大值为f（1）f（1）4【命题方向】 本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与
25、x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意14奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用在重复一下它们的性质 奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），其图象特点是关于（0，0）对称偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），其图象特点是关于y轴对称【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有：奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解
26、相关的未知量；奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；偶函数：在定义域内一般是用f（x）f（x）这个去求解；对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）为奇函数，那么a 解：由题意可知，f（x）的定义域为R， 由奇函数的性质可知，f（x）f（x）a1【命题方向】奇偶性与单调性的综合 不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点15抽象函数及其应用【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性
27、，使得这类问题成为函数内容的难点之一【解题方法点拨】尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）f（x）+f（y），它的原型就是ykx；可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）f（x）+f（y），求证f（1）f（1）0 令xy1，则f（1）2f（1）f（1）0 令xy1，同理可推出f（1）0 既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视16函数的周期性【知识点的认识】 函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使
28、f（x）f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数【解题方法点拨】 周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，例：求f（x）的最小正周期 解：由题意可知，f（x+2）f（x2）T4与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数 思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值【命题方向】 周期函数、奇偶函数都
29、是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主17函数恒成立问题【知识点的认识】 恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程例：要使函数f（x）ax2+1恒大于0，就必须对a进行限制令a0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】 一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导例：f（x）x2+2x+3ax，（x0）求a的取值范围 解：由题意
30、可知：a恒成立 即ax+2a2+2【命题方向】 恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用18函数的值【知识点的认识】 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：基本不等式法：如当x0时，求2x+的最小值，有2x+28；转化法：如求|x5|+|x3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x5和x3的距离之和，易知最小值为2；求导法：通过求导判断函数的单调性进
31、而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）lnxx在（0，+）的值域 解：f（x）1易知函数在（0，1单调递增，（1，+）单调递减最大值为：ln111，无最小值； 故值域为（，1）【命题方向】 函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主19二次函数的性质与图象【二次函数】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化它的一般表达式为：yax2+bx+c（a0）【二次函数的性质】 二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面
32、的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移这里面略谈一下他的一些性质开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a0（0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x；最值为：f（）；判别式b24ac，当0时，函数与x轴只有一个交点；0时，与x轴有两个交点；当0时无交点根与系数的关系若0，且x1、x2为方程yax2+bx+c的两根，则有x1+x2，x1x2；二次函数其实也就是抛物线，所以x22py的焦点为（0，），准线方程为y，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离平移：当ya
33、（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成ya（x1+b）2+c；【命题方向】 熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点20有理数指数幂及根式【根式与分数指数幂】规定：（a0，m，nN*，n1）（a0，m，nN*，n1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义常考题型：例1：下列计算正确的是（）A、（1）01 B、a C、3 D、a（a0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案解：（1）01，A不正确；，B不正确；，C正确；D不正确故选：C点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查
34、了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题【有理数指数幂】（1）幂的有关概念：正分数指数幂：（a0，m，nN*，且n1）；负分数指数幂：（a0，m，nN*，且n1）；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义（2）有理数指数幂的性质：arasar+s（a0，r，sQ）；（ar）sars（a0，r，sQ）；（ab）rarbr（a0，b0，rQ）常考题型：例1：若a0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、 B、amanamn C、（am）nam+n D、1ana0n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案解：A中，amanamn，故不成立；B中，ama
35、nam+namn，故不成立；C中，（am）namnam+n，故不成立；D中，1ana0n，成立故选：D点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质21指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数yax（a0，且a1）的图象和性质：yaxa10a1图象定义域R值域（0，+）性质过定点（0，1）当x0时，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1 在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当al时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0al时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴底数对函数
36、值的影响如图 当a0，且al时，函数yax 与函数y的图象关于y轴对称3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值22指数型复合函数的性质及应用【知识点归纳】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：yf（ax）与yaf（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理Ug（x） yau yag（x） 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减23指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨
37、论，首先讨论a的取值范围即a1，0a1的情况再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断2、同增同减的规律：（1）yax 如果a1，则函数单调递增；（2）如果0a1，则函数单调递减3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； （2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就
38、在增大因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小反之亦然，因此可得“异减”24指数函数的实际应用【知识点归纳】指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法函数的很多性质，可以从图象上一览无余数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题25指数函数综合题【知识点
39、的认识】1、指数函数yax（a0，且a1）的图象和性质：0a1 a1 yaxa10a1图象定义域R值域（0，+）性质过定点（0，1）当x0时，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1 在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当al时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0al时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴底数对函数值的影响如图 当a0，且al时，函数yax 与函数y的图象关于y轴对称3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指
40、数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值26指数式与对数式的互化【知识点归纳】abNlogaNb；alogaNN；logaaNN指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）af（x）bf（x）logab；logaf（x）bf（x）ab（定义法）（2）af（x）ag（x）f（x）g（x）；logaf（x）logag（x）f（x）g（x）0（同底法）（3）af（x）bg（x）f（x）logmag（x）logmb；（两边取对数法）（4）logaf（x）logbg（x）logaf（x）；（换底法）（5）Alogx+Blogax+C0（A（ax）2+Bax+C0）（设tlogax或tax）（换元
41、法）27对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：N；logaaNN（a0且a1）loga（MN）logaM+logaN； logalogaMlogaN；logaMnnlogaM； logalogaM28对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数ylogax（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+），值域是R29对数值大小的比较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较（画
42、图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）30对数函数的图象与性质【知识点归纳】31对数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a1时，ylogax在（0，+）上为增函数当0a1时，ylogax在（0，+）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）32幂函数的概念、解析式、定义域、值域【知识点归纳】幂函数的定义：一般地，函数yxa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数解析式：yxa定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x
43、不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数2在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数而只有a为正数，0才进入函数的值域由于x大于0是对a的任意取值都有意义的33幂函数的单调性、奇偶性及其应用【知识点归纳】一、幂函数定义：一般地，函数yxa（aR）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是yxa，其中a是常数二、幂函数与指数函数的对比式子名称axy指数函数：y
44、ax底数指数幂值幂函数：yxa指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质（1）yx； （2）yx2； （3）yx3； （4）y； （5）yx1yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，+）x|x0值域R0，+）R0，+）y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，+）时，增x（，0时，减增增x（0，+）时，减x（，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）四、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）（2）如果a0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在0，+）上为增函数（3）如果a0
45、，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+）上为减函数（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数34分段函数的应用【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数【具体应用】 正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量
46、为11.8万件第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0p100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件（）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？ 解：（）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8p）万件，年销售收入为（11.8p）万元，政府对该商品征收的税收y（11.8p）p%（万元）故所求函数为y（11.8p）p由11.8p0及p0得定义域为0p
47、11.8（4分）（II）由y16得（11.8p）p16化简得p212p+200，即（p2）（p10）0，解得2p10故当税率在0.02，0.1内时，税收不少于16万元 （9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）（11.8p）（2p10）在2，10是减函数g（p）maxg（2）800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关我们重点看看分段函数要注意的地方第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的
48、值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论【考查预测】 修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答35利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f（x）；（3）求出f（x）0的根；（4）用f（x）0的根将
49、f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f（x）0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f（x）0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（1）2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+） C（，1）D（，+）解：f（x）2x+4，即f（x）2x40，设g（x）f（x）2x4，则g（x）f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）2，g（1）f
50、（1）+24440，则由g（x）g（1）0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：解：（）（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a0时，f（x）不是单调函数（4分）（）得a2，f（x）2lnx+2x3，g（x）3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（10分）（）令a1此时f（x）lnx+x3，所以f（1）2，由（）知f（x）lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f（x）0，在其余的点恒有f（x）0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）即在区间内f（x）0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件
