1、22.2 反 证 法一、预习教材问题导入根据以下提纲，预习教材 P89P91 的内容，回答下列问题著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”王戎的论述运用了什么推理思想？提示：反证法思想二、归纳总结核心必记1反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法2反证法常见
2、矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与矛盾，或与矛盾等正确的推理假设错误原命题成立假设定义、公理、定理、事实三、综合迁移深化思维(1)反证法解题的实质是什么？提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确(2)用反证法证明命题时，“a、b、c 都是偶数”的否定是什么？提示：a、b、c 不都是偶数探究点一 用反证法证明“否定性”命题典例精析 已知 f(x)axx2x1(a1)，证明方程 f(x)0 没有负实根解 假设方程 f(x)0 有负实根 x0，则 x00 且 x01 且 ax0 x02x01，由 0ax010 x02x011，
3、解得12x02，这与 x00 矛盾故方程 f(x)0 没有负实根类题通法(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤针对训练 1设 a，b，c，dR，且 adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.证明：假设 a2b2c2d2abcd1.因为 adbc1，所以 a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以 ab0，cd0，ad0，bc0，则 abcd0，这与已知条件 adbc1 矛盾故假设不成立，所以
4、 a2b2c2d2abcd1.探究点二 用反证法证明“至多”、“至少”型命题典例精析 已知 a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实数解解 假设三个方程都没有实数解，则三个方程的判别式都小于 0，即4a244a30，a124a20，2a242a032a13或a1，2a032a1，这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解 类题通法 证明时常见的“结论词”与“反设词”结论词至少有一个至多有一个对所有x成立对任意x不成立至少有n个至多有n个 p或q 綈p且綈q反设词一个也没有至少有两个存在某个x0不成立存在某
5、个x0成立至多有n1个至少有n1个p且q綈p或綈q针对训练 2已知函数 yf(x)在区间(a，b)上是增函数求证：函数 yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明：假设函数 yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1x2)为函数 yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则 f(x1)f(x2)0.因为函数 yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且 x1x2，所以 f(x1)f(x2)，与 f(x1)f(x2)0 矛盾，假设不成立，故原命题正确探究点三 用反证法证明“唯一性”命题典例精析 已知：一点 A 和平面.求证：经过点 A 只能有一条
6、直线和平面 垂直解 根据点 A 和平面 的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点 A 在平面 内，假设经过点A 至少有平面 的两条垂线 AB，AC，那么AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面，平面 和平面 相交于经过点 A 的一条直线 a.因为 AB平面，AC平面，a，所以 ABa，ACa，在平面 内经过点 A 有两条直线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图，点 A 在平面 外，假设经过点 A 至少有平面 的两条垂线 AB，AC(B，C 为垂足)，那么 AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面，平面 和平面 相交于直线 BC，因为
7、AB平面，AC平面，BC，所以 ABBC，ACBC.在平面 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点 A 只能有平面 的一条垂线 类题通法 证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性针对训练 3若函数 f(x)在
8、区间a，b上的图象连续不断开，且 f(a)0，f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点证明：由于 f(x)在a，b上的图象连续不断开，且 f(a)0，即 f(a)f(b)m，则 f(n)f(m)，即 00，矛盾；若 nm，则 f(n)f(m)，即 00，矛盾因此假设不正确，即 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点课堂归纳领悟1本节课的重点是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)用反证法证明“否定性”命题，见探究点一；(2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见探究点二；(3)用反证法证明“唯一性”命题，见探究点三3要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十五)”(单击进入电子文档)
