1、江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知集合，则_2已知复数则z 3某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为_.4根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_5在平面直角坐标亲中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_.6某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_7已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值是_8已知
2、都是锐角，则=_9在体积为9的斜三棱柱ABCA1B1C1中，S是C1C上的一点，SABC的体积为2，则三棱锥SA1B1C1的体积为_10在等差数列中，则数列的前11项和_.11三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_.12如图，在四边形中，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_13已知函数，若有两个零点，则的取值范围_.14在中，记角，所对的边分别是，面积为，则的最大值为_.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求周
3、长的取值范围.16如图，在直三棱柱中，,分别是,的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面17如图所示，为美化环境，拟在四边形空地上修建两条道路和，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点在边的三等分点处（靠近点），百米，百米，.（1）求区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过点铺设一条水管至道路上，求水管最短时的长18已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率.19已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为.若，且存在不小
4、于3的正整数，使得.（1）若，求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）若，是否存在整数，使得，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.20已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得曲线的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平
5、面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），M是曲线C上任意一点，求ABM面积的最小值C. (选修45：不等式选讲)已知x，y，z均为正数，且，求证：.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 从中任意取出 3
6、件进行检验，求至少有 件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家 件产品，其中有不合格，按合同规定 商家从这 件产品中任取件，都进行检验，只有 件都合格时才接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验出的不合格产品的件数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率23已知数列满足，其中为常数，.（1）求的值（2）猜想数列的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】【解析】因为集合，所以.故答案为：2【答案】【解析】3【答案】8【解析】设样本容量为，则高二所抽人数为.故答案为：84【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得,满足条件，执行循环体；满足条件，执行循环体； 满足条件，执行循环体；满足条件，
7、执行循环体，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为，故答案为205.5【答案】【解析】由已知可知离心率，即.双曲线的焦点在轴上该双曲线的渐近线方程为，即.故答案为：.6【答案】【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为.7【答案】7【解析】 8【答案】【解析】都是锐角，又，故答案为9【答案】1【解析】设三棱柱的底面积为，高为，则，再设到底面的距离为，则，得，所以，则到上底面的距离为，所以三棱锥的体积为故答案为110【答案】132【解析】由a9a12+6，得2a9a1212，即2a1+
8、16da111d12，a1+5d12，a612则S1111a61112132故答案为：13211【答案】2或【解析】设是的中点，连接，平面，为正三角形，平面，在平面内作，则，平面，连接，则是与平面所成的角，设，在直角三角形中，求得，平面所成的角的正弦值为，,解得或，即的长为2或，故答案为2或.12【答案】0【解析】如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则分别为的中位线，所以,所以由与共线，所以，故答案：013【答案】【解析】当时,当,综上可知：,则，有两个根，,(不妨设,当时,，当时,令,则，,设，,所以,，函数单调递减,的值域为,取值范围为,故答案为：.14【答案】【解析】因为(当且仅
9、当时取得等号)令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数，表示圆弧上一点到点点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值；故可得，又，故可得.当且仅当，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.15【答案】（1）3；（2）.【解析】（1）由及二倍角公式得，又即，所以；（2）由正弦定理得，周长：，又因为，所以.因此周长的取值范围是.16【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】证明：（1）因为,分别是,的中点，所以， .2分又因为在三棱柱中，所以. .4分又平面，平面，所以平面. .6分（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以. .8分又，
10、所以， .10分又平面，且，所以平面. .12分又平面，所以平面平面 .14分17【答案】（1）平方百米；（2）百米.【解析】（1）由题知，在中，由余弦定理得，即，所以百米所以（平方百米）.（2）记，在中，即，所以，当时，水管最短，在中，=百米.18【答案】（1）（2）或【解析】 (1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.所以，所以，故椭圆C的方程为:.（2）设直线的方程为，当时，代入，得:.设，线段的中点为，即因为，则，所以，化简得，解得或，即直线的斜率为或.19【答案】（1）（2）见解析（3）存在满足题意。【解析】（1）当时，因为，所以.（2）由，得，两式相减，得，即，
11、所以.两式相减，得，所以数列为等差数列.（3）依题意：，由得：，即，所以.因为，且，所以，又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时，所以.20【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当时，则.又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以 ，且.因为，所以.当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，所以满足条件.当时，即时，由，得，当时，则在上单调递减，所以时，这与时，恒成立矛盾.所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.当时，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：极大值极小值由于在是单调减函
12、数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以不满足条件.当时，由，得.列表如下：极小值此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.当时，函数的定义域为，且，.列表如下：极大值极小值所以存在极大值和极小值，此时 因为，所以，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.21【答案】【解析】设是曲线上的任一点，它是椭圆上的点在矩阵对应变换作用下的对应点，则，即，代入得：.即曲线的方程为.22【答案】（1）26cos8sin+210（2）92【解析】（1）曲线C的参数方程为,（为参数）,有.上下平方相加得曲线C的直角坐标方程为,化简得将与,代入得曲线C的直角坐标方程有：（2）设点到直线AB：x+y+2
13、0的距离为d,则,当sin（）1时,d有最小值,所以ABM面积的最小值S9223【答案】见证明【解析】因为x，y，z均为正数，所以均为正数，由柯西不等式得，当且仅当时，等式成立. 因为，所以，所以.24【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，； （2）该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，的分布列为： P 因为只有2件都合格时才接收这批产品，故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件B，则，商家拒收这批产品的概率为.25【答案】（1），；（2）猜想：，证明见解析【解析】（1），解得：，.（2）由，可猜想：.证明：当时，由（1）知结论成立；假设时，结论成立，则有，那么当时，.由得：=又，于是，故时结论也成立.由得，.
