1、高考资源网（） 您身边的高考专家上海市静安区2015届高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知集合M=y|y=2x，x0，N=x|y=lg（2xx2），则MN=_2设（1x）8=a0+a1x+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+|a7|+|a8|=_3不等式10的解集是_4如图，在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD，PA=1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是_5文：已知数列an的通项公式an=22n+2n+1（其中nN*），则
2、该数列的前n项和Sn=_6已知两个向量，的夹角为30，为单位向量，若=0，则t=_7已知f（x）=x|x1|+1，f（2x）=（其中x0），则x=_8已知ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（1，3），则ABC的内角BAC的大小是_（结果用反三角函数值表示）9若，是一二次方程2x2+x+3=0的两根，则=_10已知tan，tan是方程x2+3x+4=0的两根，（，）则+=_11直线l经过点P（2，1）且点A（2，1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是_12已知实数x、y满足|x|y|+1，则的取值范围是_13一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是_14两
3、名2014-2015学年高一年级的学生被允许参加2014-2015学年高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分两名2014-2015学年高一年级的学生共得8分，且每名2014-2015学年高二年级的学生都得相同分数，则有_名2014-2015学年高二年级的学生参加比赛（结果用数值作答）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+）上是增函数的是( )Ay=x2BCD1
4、6已知直线l1：3x（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k3）y+2=0，记D=0是两条直线l1与直线l2平行的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件17已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )AMBNCPDQ18到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( )A1个B4个C7个D8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19在锐角ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足（1）求B的大小；（2）若b=，ABC的面积SABC=，求a+c的值20某
5、地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且cb），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定（1）若取a=14，b=2.4，c=3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）21如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包
6、括端点）PM平面ABCD交AD于点M，MNBD于点N（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）22（16分）已知函数（其中a1）（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断（其中m，nR且m+n0）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间p，q上恒满足|F（x）G（x）|2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间p，q上是分离的试判断y=f（x）的反函数y=f1（x）与g（x）=ax在闭区间1，2上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由23（16分）在数列a
7、n中，已知a2=1，前n项和为Sn，且（其中nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1pq），使得b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由上海市静安区2015届高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知集合M=y|y=2x，x0，N=x|y=lg（2xx2），则MN=（0，2）考点：交集及其运算 专题：集合分析：利用交集的定义和对数函数的性质求解解答：解：集合M=y|y=2x，x0=y|y0，N
8、=x|y=lg（2xx2）=x|2xx20=x|0x2，MN=（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用2设（1x）8=a0+a1x+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+|a7|+|a8|=256考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：由题意可得 （1+x）8=|a0|+|a1|x+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+|a7|+|a8|的值解答：解：由题意可得 （1+x）8=|a0|+|a1|x+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+|a7|+|a8
9、|=28=256，故答案为：256点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题3不等式10的解集是（，4）考点：其他不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：原不等式即为或，分别解出它们，再求交集即可解答：解：不等式10即为0，即为或，即有x或x4，则解集为（，4）故答案为：（，4）点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题4如图，在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD，PA=1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四
10、棱锥的体积是考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的性质得出RtPAC中，PA=1，PCA=，AC=，运用体积公式求解即可解答：解：PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，RtPAC中，PA=1，PCA=，AC=，底面ABCD是正方形，AB=，V=1=故答案为：；点评：本题考查了空间直线平面的几何性质，夹角，体积计算问题，属于中档题5文：已知数列an的通项公式an=22n+2n+1（其中nN*），则该数列的前n项和Sn=考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用等比数列的前n项和公式
11、进行求解解答：解：数列数列an的通项公式：整理得：则：+2（21+22+2n）=4+2=故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，等比数列前n项和的应用属于基础题型6已知两个向量，的夹角为30，为单位向量，若=0，则t=2考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的数量积的定义，求得向量a，b的数量积，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到解答：解：向量，的夹角为30，为单位向量，则有=|cos30=，由于，若=0，则t+（1t）=0，即有t+1t=0，解得，t=2故答案为：2点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考
12、查运算能力，属于基础题7已知f（x）=x|x1|+1，f（2x）=（其中x0），则x=考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由已知得，由此能求出解答：解：f（x）=x|x1|+1，f（2x）=（其中x0），x0，（2x）22x=0，解得2x=，故答案为：点评：本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用8已知ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（1，3），则ABC的内角BAC的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）考点：余弦定理 专题：解三角形分析：由三点坐标，利用两点间的距离公式求出a，b，c的值，利用余弦定理求出cosBAC的值，即可确定出BAC的
13、度数解答：解：ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（1，3），|AB|=c=5，|AC|=b=3，|BC|=a=4，cosBAC=，则BAC=arccos，故答案为：arccos点评：此题考查了余弦定理，两点间的距离公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键9若，是一二次方程2x2+x+3=0的两根，则=考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：由已知结合韦达定理，可得+=，=，进而根据=代入可得答案解答：解：，是一二次方程2x2+x+3=0的两根，+=，=，=，故答案为：点评：本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题10已知tan，tan是方程x2+3x+4
14、=0的两根，（，）则+=考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数 专题：计算题分析：此题运用根与系数的关系求出tan+tan的值和tantan的值，根据两角和与差的正切公式即可求出+，但一定要注意，的范围解答：解：tan，tan是方程的两根，tan+tan=3，tantan=4，tan（+）=又、（，），+（，）又tan+tan=3，tantan=4，、同为负角，+=故答案为点评：此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意，的角度范围，这是本题容易出错的地方11直线l经过点P（2，1）且点A（2，1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或考点：点到直线的距离
15、公式 专题：直线与圆分析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；kxy+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程解答：解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y1=k（x+2），即kxy+2k+1=0，点A（2，1）到直线l的距离等于1，=1，解得k=，直线l的方程为：或故答案为：或点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用12已知实数x、y满足|x|y|+1，则的取值范围是2，2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条件的
16、平面区域，设z=，则y=zx+2，将问题转化为求直线的斜率的范围，通过图象求出答案解答：解：画出满足条件|x|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：2，2z2，故答案为：2，2点评：本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，考查了转化思想，是一道中档题13一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是1S2考点：等比数列的前n项和 专题：计算题分析：设等比数列的公比为q，则q0，由题意可得S=，可得0，从而可求S的范围解答：解：设等比数列的公比为q，则q0各项和为S，1q0，S=1，01
17、S2故答案为：1S2点评：本题主要考查了无穷等比数列的各项和公式的应用，属于基础试题14两名2014-2015学年高一年级的学生被允许参加2014-2015学年高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分两名2014-2015学年高一年级的学生共得8分，且每名2014-2015学年高二年级的学生都得相同分数，则有7或14名2014-2015学年高二年级的学生参加比赛（结果用数值作答）考点：组合及组合数公式 专题：概率与统计分析：设2014-2015学年高二学生有n名则共比赛场，每名2014-2015学年高二年级的
18、学生都得相同分数为k可得化为n2+（32k）n14=0，通过对14分解质因数，利用根与系数的关系即可得出解答：解：设2014-2015学年高二学生有n名则共比赛场，每名2014-2015学年高二年级的学生都得相同分数为k化为n2+（32k）n14=0，14=27=2（7）=114=1（14）当2k3=72时，可得k=4，此时n=7，当2k3=141时，可得k=8，此时n=14而2k3=27或2k3=114，k0，舍去综上可得：n=7或14故答案为：7或14点评：本题考查了组合的计算公式、分类讨论思想方法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、选择题（本大题满分20
19、分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+）上是增函数的是( )Ay=x2BCD考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由幂函数的奇偶性和单调性，以及定义，对选项加以判断，即可得到是偶函数且在（0，+）上是增函数的函数解答：解：对于A有f（x）=f（x），是偶函数，但在（0，+）上递减，则A不满足；对于B定义域为0，+），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C有f（x）=f（x），为奇函数，则C不满足；对于D定义域R关于原点对称，f（x）=f（x）
20、，则为偶函数，且在（0，+）上递增，则D满足故选D点评：本题考查幂函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义和性质，属于基础题和易错题16已知直线l1：3x（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k3）y+2=0，记D=0是两条直线l1与直线l2平行的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据3（2k3）+（k+2）k=0得出k=9或k=1，分别判断当k=1时，直线l1：xy+2=0，直线l2：xy+2=0，l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：9x21y+
21、2=0，l1l2，根据充分必要条件的定义判断即可解答：解：直线l1：3x（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k3）y+2=0，记3（2k3）+（k+2）k=0k2+8k9=0，k=9或k=1，当k=1时，直线l1：xy+2=0，直线l2：xy+2=0，l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：9x21y+2=0，l1l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件故选：B点评：本题考查了直线与直线平面的平行条件，充分必要条件的定义，属于中档题17已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )AMBNCPD
22、Q考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由图可知：z=3+i利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答：解：由图可知：z=3+i复数=2i表示的点是Q（2，1）故选：D点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题18到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( )A1个B4个C7个D8个考点：平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与距离分析：对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解解答：解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个
23、截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C点评：本题考查了空间四点问题，当不共面时构成三棱锥，由几何体的特征再分类讨论进行判断，考查了分类讨论思想和空间想象能力三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19在锐角ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足（1）求B的大小；（2）若b=，ABC的面积SABC=，求a+c的值考点：正弦定理；余弦定理
24、 专题：解三角形分析：（1）由正弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）由三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，即可确定出a+c的值解答：解：（1）由正弦定理：=，得=，sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）SABC=acsinB=，sinB=，ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c22accosB=7+3=10，（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键20某地的出租车价格规定：起步费a元，可行
25、3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且cb），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定（1）若取a=14，b=2.4，c=3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）考点：分段函数的应用；函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）由题意可知，这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以
26、内每公里按2.4元计价，则83=5公里的收费是52.4=12元，两者相加即是小明应付的车费；（2）分三种情况：前3公里、超过3公里而10公里以内、大于10公里，分别写出函数的表达式，最后用分段函数表示解答：解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则83=5公里的收费是52.4=12元，总共收费14+12=26（元）故他应付出出租车费26元（2）3公里以内价是a元，即0x3时，y=a（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3x10时，收费y=a+（x3）b=bx+a3b（元）；大于10公里时，即x10
27、时，收费y=a+7b+（x10）c=cx+a+7b10c（元），点评：本题考点是分段函数的应用，分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型，其特点是在不同的自变量取值范围内，函数解析式不同21如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）PM平面ABCD交AD于点M，MNBD于点N（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法 专题：计算题；函数的性质及应用；空间角分析：（1）求出PM，A
28、M，运用余弦定理，求得PN；（2）求出PN的最小值，由于MNAC，又A1C1AC，PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，通过解直角三角形PMN，即可得到解答：解：（1）在APM中，； 其中； 在MND中，在PMN中，；（2）当时，PN最小，此时因为在底面ABCD中，MNBD，ACBD，所以MNAC，又A1C1AC，PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在PMN中，PMN为直角，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小点评：本题考查空间异面直线所成的角的求法，考查二次函数的性质和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题22（16分）已知函数（其中a1）（1）判断函数y=f（x）的奇
29、偶性，并说明理由；（2）判断（其中m，nR且m+n0）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间p，q上恒满足|F（x）G（x）|2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间p，q上是分离的试判断y=f（x）的反函数y=f1（x）与g（x）=ax在闭区间1，2上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：本题（1）先研究函数的定义域，看定义域是否关于0对称，然后再研究解析式，比较f（x）与f（x），看它们相等还是相反数，然后根据函数奇偶性定义判断出函数的奇偶性；（2）利用函数的奇偶性将函数值的差经及对应自变量的
30、差的形式，然后通过对函数的单调性的研究，得到本题结论；（3）利用两函数“分离”的定义，通过参变量分离、换元后，求出所得函数的最值，得到本题结论解答：解：（1），函数y=f（x）的定义域为实数集R；又，f（x）=f（x），函数y=f（x）是奇函数（2）a1，在0，+）上递增，以下给出证明证明：任取0x1x2，设，则=，0u1u2，即，又为奇函数，f（n）=f（n）且在（，+）上递增m+n=m（n）与f（m）+f（n）=f（m）f（n）同号，当a1时，（3），xR，在区间1，2上恒成立，即，在区间1，2上恒成立，令ax=ta1，ax=ta，a2，在ta，a2递增，解得；点评：本题考查了函数奇偶性的
31、判断、函数单调性的应用、参变量分离求函数最值，本题综合性强，运算量较大，属于中档题23（16分）在数列an中，已知a2=1，前n项和为Sn，且（其中nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1pq），使得b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由考点：数列递推式；数列的求和 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）先令n=2，求出a1=0利用递推关系式，得到Sn+1=，作差得（n1）an+1=nan ，从而有nan+2=（n+1）an+1 ，+，根据等差数列中项公式即可证明；（2）利用（1）的结论直接求出极
32、限（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程进行求解即可得到结论解答：解：（1）因为，令n=2，得，所以a1=0；Sn+1=，得（n1）an+1=nan ，于是，nan+2=（n+1）an+1 ，+，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1，又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以an=n1 （ 6分）（2）an=n1，Sn=0+1+2+n1=，=（ 9分）（3）假设存在正整数p、q，使得b1，bp、bq成等比数列，则lgb1，lgbp、lgbq成等差数列，故，（*）（ 11分）由于右边大于，则，即因为，所以数列为单调递减数列（ 14分）当p=2时，代入（*）式得，解得q=3；当p3时，（舍）综上得：满足条件的正整数组（p，q）为（2，3）（ 16分）点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，极限的应用，存在性问题的应用属于中等题型高考资源网版权所有，侵权必究！
