1、 1.7 定积分的简单应用探究点一 不分割型图形面积的求解思考探究(1)如图是由一条曲线 yf(x)和直线 xa，xb(aa)所围成的平面图形，如何利用定积分求图形的面积 S?名师指津：图中 Sabf(x)g(x)dx；图中 Sabf(x)g(x)dx.典例精析计算曲线 yx22x3 与直线 yx3 所围成图形的面积解 由yx3，yx22x3，解得 x0 或 x3.如图因此所求图形的面积为S03(x3)dx03(x22x3)dx03(x3)(x22x3)dx03(x23x)dx13x332x2 3092.类题通法 求不分割型图形面积的一般步骤同时，要注意被积函数是图形上边界对应的函数与下边界对
2、应的函数的差否则，有可能得面积是负的针对训练1求曲线 yex，yex 及 x1 所围成的图形面积解：作图，并由yex，yex，解得交点(0,1)所求面积为01(exex)dx(exex)10e1e2.探究点二 分割型图形面积的求解思考探究下图是由三条曲线 yf(x)、yg(x)和 yh(x)围成的图形，且在a，c上，f(x)g(x)，在c，b上，f(x)h(x)还能用探究点一的方法求该图形的面积吗？如果不能，该如何求解？名师指津：不能Sacf(x)g(x)dxcbf(x)h(x)dx.典例精析求曲线 y x，y2x，y13x 所围成的图形的面积解 画出草图，如图所示解方程组y x，xy2，y
3、x，y13x，及xy2，y13x，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)法一：S01x13x dx132x13x dx01x13x dx13223x dx23x3216x2)102x13x2 3123166139213136.法二：若选y为积分变量，则三个函数分别为xy2，x2y，x3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)所以S-10 (2y)(3y)dy01(2y)y2dy-10 (22y)dy01(2yy2)dy(2yy2)|0-12y12y213y3 10(21)21213136.类题通法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方
4、的曲线有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由上减下若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，被积函数改为y的函数，同时更改积分的上下限针对训练2求曲线xy1及直线yx，y3所围成图形的面积解：如图所示，由xy1，yx，得A点坐标为(1,1)；由xy1，y3，得B点坐标为13，3；由yx，y3，得C点坐标为(3,3)法一：以x为积分变量，所求阴影部分的面积为SS1S213131x dx13(3x)dx(3xln x)1133x12x2 312ln 324ln 3.法二：以y为积分变量，所求阴
5、影部分的面积为S13y1y dy12y2ln y 314ln 3.探究点三 求变速直线运动的路程思考探究若做变速直线运动的物体的速度函数为vv(t)(v(t)0)，则它在ta到tb(ba)的时间段内所经过的路程s是多少？提示：sabv(t)dt.典例精析有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)P从原点出发，当t6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值解(1)由 v(t)8t2t20 得 0t4，即当 0t4 时，P 点向 x 轴正方向运动，当 t4 时，P 点向 x 轴负方向运动故 t
6、6 时，点 P 移动的路程 s104(8t2t2)dt46(8t2t2)dt4t223t3 404t223t3 641283.当 t6 时，点 P 的位移为06(8t2t2)dt4t223t3 600.(2)依题意0t(8t2t2)dt0，即 4t223t30，解得 t0 或 t6，t0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，t6 是从原点出发，又返回原点所用的时间类题通法做变速直线运动的物体，从时刻ta到时刻tb(ab)所经过的路程s和位移s情况如下：(1)若v(t)0，则sabv(t)dt；sabv(t)dt.即ss.(2)若v(t)0，则sabv(t)dt；sabv(t)dt.即ss.(
7、3)若在区间a，c上v(t)0，在区间c，b上v(t)0，则sacv(t)dtcbv(t)dt，sabv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间针对训练3做变速直线运动的物体的速度为v(t)1t2，初始位置为x01，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置解：当0t1时，v(t)0，当1t2时，v(t)0.所以前2秒钟内所走的路程s01(1t2)dt12(1t2)dt2，2秒末所在的位置x1x002v(t)dt102(1t2)dt1tt33 20128313.所以物体在 2 秒钟内所走的路程为 2，所在的位置为 x113.探究点四 求变力做功思考探究如果物体在变力F(x)的作用下做直
8、线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所作的功为多少？提示：WabF(x)dx.典例精析由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N的力能使一个弹簧伸长3 cm，试求要把弹簧拉伸0.4 m所需的功解 由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)kx，其中x为伸长量所以20.03 k，得k2003(N/m)，于是F(x)2003 x.故将弹簧拉长0.4 m所做的功为：W00.42003 xdx1003 x20.40163(J)因此将弹簧拉伸0.4 m所做的功为163 J.类题通法 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物
9、体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WabF(x)dx计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳 针对训练4若2 N的力能使一个弹簧伸长5cm，则把弹簧拉伸0.4 m所需的功是多少？解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)kx，其中x为伸长量所以20.05 k，得k40(N/m)，于是F(x)40 x.故将弹簧拉长0.4 m所做的功为：W00.4xdx20 x2 0.403.2(J)因此将弹簧拉伸0.4 m所做的功为3.2 J.课堂归纳领悟1本节课的重点是定积分的几何应用，即用定积分求平面图形的面积，难点是分割型图形面积的求法2本节课要重点掌握的规律方法(1)不分割型图形面积的求法，见探究点一；(2)分割型图形面积的求法，见探究点二；(3)求变速直线运动的路程，见探究点三；(4)求变力做功，见探究点四3在求由曲线围成的平面图形的面积时，准确画出示意图，求出曲线的交点，确定积分上、下限是解决此类问题的关键，也是本节课的易错点 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十一)”(单击进入电子文档)
