1、考点70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1设函数，其中（1）讨论极值点的个数；（2）设，函数，若，（）满足且，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析 2已知数列的前项和为，（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）当时，解得；当时，解得当时，以上两式相减，得， 3已知函数f(x)|x1|.(I) 解不等式f(2x)f(x4)8；(II) 若|a|1，|b|1，a0，求证： .【答案】() (II)证明见解析【解析】 ()f(2x)f(x4)|2x1|x3| 当x3时，由3x28，解得x ； 当3x 时，x48无解； 当x时，由3x28
2、，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集为 (II)证明：等价于f(ab)|a|，即|ab1|ab|. 因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0， 所以|ab1|ab|.故所证不等式成立4选修4-5：不等式选讲()如果关于x的不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围；()已知正实数a，b，且，求证：。【答案】(1);(2)见解析. 5设函数.（I）当时，解不等式；（II）若的解集为， （， ），求证： .【答案】 (1) (2)见解析 6已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正实数，
3、满足，证明：.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】（1）由已知可得，所以， 7选修4-5：不等式选讲设且.（1）求证：；（2）求证：.【答案】(1)见解析.(2)见解析. 8已知，证明：（）；（）【答案】见解析【解析】（1）因为 所以 （2）由（1）及得因为，于是 9选修4-5：不等式选讲已知函数d的最小值为4.（1）求的值； （2）若，且，求证：.【答案】(1) 或.(2)见解析. 10已知函数（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）此不等式等价于或或，即不等式解集为（2），即，当且仅当即时取等号， ，当且仅当即时取等号，11已知函数
4、， 为不等式的解集.（1）求集合；（2）若， ，求证： .【答案】（1）.（2）见试题解析. 12选修4-5：不等式选讲（1）已知，且，求证：（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围【答案】(1)见解析.(2) . 13选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若（）对任意恒成立，求证：.【答案】() ；()见解析.【解析】() 或或或或或所以不等式的解集为. ()当时，当时，所以的最小值为，因为对任意恒成立，所以，又，且等号不能同时成立，所以，即14选修4-5：不等式选讲设，且，求证：（）；（）【答案】（）见解析.()见解析. 15选修4-5：不等式选讲已知函数.（）解不等式；
5、（）若，且，证明：.【答案】（）.（）见解析. 16【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（）当时，解不等式；（）设为正实数，且，其中为函数的最大值，求证： .【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）时， ， ，所以或或， 所以解集为 . （）由绝对值不等式得，所以最大值， 当且仅当时等号成立. 17选修4-5：不等式选讲已知均为正实数，且.（1）求的最大值；（2）求的最大值.【答案】(1)12;(2). ，当且仅当，即时，取等号所以原式，故原式的最大值为.18（选修45：不等式选讲）已知关于的不等式的解集为（1）求实数的取值范围；（2）已知且，当最大时，求的最小值及此时实数的值【答案】（1）,
6、（2）易得时，取得最小值为 19已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值【答案】（1）或.(2) . 20选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）或（2） 21选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）等价于， 22已知均为实数.（1）求证： ；（2）若，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】证明：（1）法一： ，所以.法二： ，所以. （2）证明：因为 (由柯西不等式得）所以，当且仅当即时， 有最小值.23函数，其最小值为.（1）求的值；（2）正实数满足，求证：.【答案】（1）3；（2） 24已知函数，若恒成立，实数的最大值为（）求实数（）已知实数、满足，且的最大值是，求的值【答案】（1）（2）【解析】（）根据题意可得，若恒成立， 25已知，且.（1) 的最小值；(2)证明： .【答案】（1）最小值为9；（2）见解析.【解析】(1)由柯西不等式，得，当且仅当时，取等号.所以的最小值为9.(2)由，
