1、2007年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学 试 题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分150分. 考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号对应填在答题卷上的表格内；答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.参考公式：事件A、B互斥，则.事件A、B
2、独立，则.如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.台体的体积公式，其中、分别是台体的上、下底面面积，是台体的高.球的表面积公式、体积公式，其中表示球的半径.处理相关变量x、y的公式：相关系数；回归直线的方程是：，其中；相关指数，其中是与对应的回归估计值.第一部分选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1 已知为实数集，则( )A B C Dx11-1-1第3题图Oy2 若复数，则( )A B C1 D 3 设是图中的四边形内的点或四边形边界上的点，则的最大值是( )俯视图主
3、视图左视图第4题图A B C D4 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )A B . C. D . 5 设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线与的位置关系是( )A.平行B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直6 如图，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播. 若D是DFE弧与x 轴的交点，设OD=x)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为(图中阴影部分)，则函数的图象大致是( )x第6题图OyDEFABCayyyxOxOxOxOyABCDaaaaxyF1F2BA第7题图7 已知点F1、F2分
4、别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率是( )A B. C. D. 8 已知函数，则方程的实根共有( )A5个 B6个 C7个 D8个第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷题中横线上）9 的展开式中的常数项是 （用数字作答）.10用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为.11函数与的图象所围成封闭图形的面积为.12考察下列一组不等式：.否结束开始k=12 , s=1输出ss=skk=k-1是将上
5、述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是_.13若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是 .第13题图14等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当（）时，有（填“”、“”、“=”）.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分12分）已知：，（）.(1) 求关于的表达式，并求的最小正周期；(2) 若时的最小值为5，求的值.16（本小题满分12分）第16题图CDBAPE如图，四边形为矩形，且，为上的动点.(1) 当为的中点时，求证：；(
6、2) 设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的大小为. 试确定点E的位置.17、（本小题满分14分）设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.(1) 求数列的通项公式；(2) 若，为数列的前项和. 求证：.18.（本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.19（本小题满分14分） 为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排是60、65、70、 75、80、85、 90、
7、95，物理分数从小到大排是72、 77、 80、84、88、90、93、95.(1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；(2) 若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395化学分数z6772768084879092(2) 用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；(3) 求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果.参考数据：，.20（本小题满分14
8、分）已知函数(1) 若在上单调递增，求的取值范围；(2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试证当时，为“凹函数”. 2007学佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题参考答案和评分标准（理科）一、选择题（每题5分，共40分）序号12345678答案ABDBCADC二、填空题（每题5分，共30分）9. 103m与1.5m. 11.12（或为正整数）.注：填以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分；若填或可给3分.13. 14.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15. 解：(1) 2分 4分. 6分的最小正周期是. 7分(
9、2) ，8分当即时，函数取得最小值是. 10分，. 12分16. 方法一：(2) 证明：当为中点时，从而为等腰直角三角形，则，同理可得，于是，2分又，且，4分，又，. 6分（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）(2) 如图过作于，连，则，为二面角的平面角. 8分设，则.于是10分，有解之得。点在线段BC上距B点的处. 12分 方法二、向量方法.以为原点，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图. 1分（1）不妨设，则，从而，4分于是，所以所以 6分（2）设，则，则.8分易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则应有 即解之得，令则，从而，10分依题意，即，解之得（舍去），所以
10、点在线段BC上距B点的处.12分 17. 解：（1）由，令，则，又，所以.，则. 2分当时，由，可得. 即. 4分所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. 5分（2）数列为等差数列，公差,可得. 7分从而. 8分 10分. 11分从而. 14分18.（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， 2分即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 动点的轨迹方程为 5分（2）由题可设直线的方程为，由得 ， 7分设，则，9分 由，即 ，于是，11分即， ，解得或（舍去），13分又， 直线存在，其方程为 14分19. 解：(1)这8位
11、同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是。根据乘法原理，满足条件的种数是。4分这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有。5分故所求的概率.6分(2) 变量y与x、z与x的相关系数分别是、.可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. 8分(3) 设y与x、z与x的线性回归方程分别是、.根据所给的数据，可以计算出，. 10分所以y与x和z与x的回归方程分别是、. 11分又y与x、z与x的相关指数是、.13分故回归模型比回归模型的拟合的效果好. 14分20. （）由，得 2分函数为上单调函数. 若函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立. 4分令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. 6分（）证明：由 得 7分 8分 而 10分 又， 11分 ， 13分由、得即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. 14分