1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2016.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 复数 A. B. C. D.2. 已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为A. B. C. D.3. 如图, 正方形中，为的中点，若， 则的值为 A. B. C. D.4. 如图，在边长为的正方形内有区域（阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域的面积. 若每次在正方形内每次随机产生个点, 并记录落在区域
2、内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域内点的个 数平均值为个，则区域的面积约为A. B. C. D.5. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的值为1，则输出的值为 A. B. C. D.6. 若点不在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值 范围是 A. B. C. D. 7. 已知函数 则下列结论正确的是A BC函数在上单调递增 D函数的值域是8. 已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点恰好在的垂直平分线上，则的长度为 A. B. C. D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 若，则10. 已知双曲线的一条渐近线通过点, 则 其离心率为11. 某三棱柱的三视图如图所示
3、，则该三棱柱的体积为12. 直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则 13. 已知圆截直线所得的弦的长度为为，则 14. 已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形. (i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（请写出符合要求的条件的序号） ；. (ii) 若存在“友好”三角形，且，则另外两个角的度数分别为_.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分13分）等差数列的首项，其前项和为，且. （）求的通项公式；（）求满足不等式的的值. 16.（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大
4、值与最小值的和. 17.（本小题满分13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度满足：）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：）的记录如下：温度 ()根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.()设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为，估计的大小？（直接写出结论即可）.()从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率.18.（本小题满分14分）如图，四边形是菱形，平面，, ，
5、点为的中点.（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求三棱锥的体积. 19.（本小题满分13分）已知函数 （）当时，求函数单调区间和极值；（）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 20.（本小题满分14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上. （）求椭圆的方程；（）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个 交点为.（i）当时，求直线的斜率；（ii）是否存在直线，使得? 若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由. 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数 学 （文科） 2016.1阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤
6、给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ACABCBDD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号91011121314答案,或；说明：第1题少写一个减分，错的则不得分第14题第一空3分，第二空2分，第二问少或错写的都不得分三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15解：（）设数列的公差为. .1分因为，所以. .3分因为，所以，即, .5分 所以. .7分（）因为，所以, .9分所以，所以, .11分解得，所以的值为. .13分16.解：（）因为 .4分 .6分所以函数的最小正周期. .8分（）因为，所以，所以, .9分根据函数的性质，当时
7、，函数取得最小值， .10分当时，函数取得最大值. .11分因为， 所以函数在区间上的最大值与最小值的和为. .13分17解：（）农学家观察试验的起始日期为7日或8日. .3分 （少写一个扣1分）（）最高温度的方差大. .6分（）设“连续三天平均最高温度值都在27，30之间”为事件A， .7分则基本事件空间可以设为，共计29个基本事件 .9分由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件， .11分所以， .13分所选3天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率为. 18解：（）取中点，连接因为点为的中点，所以且 .1分又，且， 所以所以四边形为平行四边形. .2分所以又平面，平面, .3分
8、所以平面. .4分（）连接.因为四边形为菱形，所以为等边三角形.因为为中点，所以， .6分又因为平面，平面，所以， .7分又，平面， .8分所以平面. .9分又所以平面，又平面，所以平面平面. .10分法二：因为四边形为菱形，所以为等边三角形.因为为中点，所以， .6分又因为平面，平面，所以平面平面， .7分又平面，平面, .8分所以平面. .9分又所以平面，又平面，所以平面平面. .10分（）因为， .12分, 所以. .14分19解：（）函数的定义域为. .1分. .3分当时，,令，得， .4分所以随的变化情况如下表：极小值 .6分所以在处取得极小值, 无极大值. .7分的单调递减区间为，
9、单调递增区间为. .8分（）因为关于的方程有解,令，则问题等价于函数存在零点, .9分所以. .10分令，得.当时，对成立，函数在上单调递减，而， 所以函数存在零点. .11分当时，随的变化情况如下表： 0 + 极小值 所以为函数的最小值, 当时，即时，函数没有零点,当时，即时，注意到, 所以函数存在零点. 综上，当或时，关于的方程有解. .13分法二：因为关于的方程有解，所以问题等价于方程有解， .9分令，所以, .10分令，得当时，随的变化情况如下表：0极大值所以函数在处取得最大值，而.，所以函数存在零点. .11分当时，随的变化情况如下表：极小值所以函数在处取得最小值，而.当时，即时，函
10、数不存在零点.当，即时， 所以函数存在零点. .13分综上，当或时，关于的方程有解.法三：因为关于的方程有解，所以问题等价于方程有解， .9分设函数，所以. .10分令，得，随的变化情况如下表：0极大值 所以函数在处取得最大值，而， .11分又当时，, 所以, 所以函数的值域为, .12分 所以当时，关于的方程有解，所以. .13分20. 解：（）因为椭圆的左顶点在圆上，所以. .1分又离心率为，所以，所以, .2分所以, .3分所以的方程为. .4分（）（i）法一：设点，显然直线存在斜率，设直线的方程为， .5分与椭圆方程联立得,化简得到， .6分 因为为上面方程的一个根，所以，所以 .7分由， .8分代入得到，解得, .9分所以直线的斜率为. （ii）因为圆心到直线的距离为， .10分所以. .11分因为， .12分代入得到. .13分显然，所以不存在直线，使得. .14分法二：（i）设点，显然直线存在斜率且不为 ，设直线的方程为， .5分与椭圆方程联立得,化简得到, .6分显然上面方程的一个根，所以另一个根，即, .7分由， .8分代入得到，解得. .9分所以直线的斜率为（ii）因为圆心到直线的距离为， .10分所以. .11分因为， .12分代入得到. .13分若，则，与直线存在斜率矛盾，所以不存在直线，使得. .14分
