1、1频率/组距 0.07 0.06 0.04 0.02 0.01 020 25 30 35 40 45 年龄(岁)图 1 江门市 2022 年普通高中高二调研测试 数 学（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，测试用时 120 分钟。不能使用计算器 注意事项：1 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上 2 做选择题时，必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上 4 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效 5
2、考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回 参考公式：锥体的体积公式hSV31，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 方差公式)()()(1222212xxxxxxnsn 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 若复数)1(1immz是纯虚数（i 是虚数单位），则实数m A1 B 1 C 1 D0 已知)2,1,3(a，),4,2(xb，且ba，则x A5 B4 C3 D2 na是等比数列，首项11 a，前3 项和33 S，则公比q A1 B2 C1或2 D3 某地为了解参加培训教师的年龄结构，随机 调查了
3、 100 名教师的年龄，得到如图 1 所示的 频率分布直方图，则年龄在)40,30的频率为 A0.06 B0.07 C0.13 D0.65 在 ABC中，已知向量)72cos,18(cos00AB，)27cos2,63cos2(00AC，则BAC A045 B0135 C081 D099 空间中有 A、B、C、D、E、F 共 6 个点，其中任何 4 个点都不在同一平面上，则以其中 4 个点为顶点的三棱锥共有 A30 个 B24 个 C20 个 D15个 M、N 是正方体1111DCBAABCD 的棱11BA、11DA的中点，如图 2 是用过M、N、A和 D、N、1C 的平面截去两个角后所得几何
4、体，该几何体的主视图是 2ABCD图 2ABCD1B1CMN否是开始1,1iS)1(iSS4i1 ii输出 S结束图 3 已知)(xf、)(xg都是定义在 R 上的函数，0)(xg，)()()()(/xgxfxgxf，)()(xgaxfx（0a且1a），且25)1()1()1()1(gfgf，对于有穷数列)()(ngnf（1n，2，10），任取正整数k（101 k），它的前k 项和大于1615 的概率是 A103 B21 C53 D52 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）已知命题 p：Rx 0，0120 x，则命题 p
5、的否定为p：1033)212(xx 的展开式中，常数项是 执行如图 3 所示的程序框图，输出的 S 的值 为 若 x，y 满足约束条件00301yyxyx，则yxz2的最大值为 设函数)0(2)(xxxxf，观察：2)()(1xxxfxf，43)()(12xxxffxf，87)()(23xxxffxf，1615)()(34xxxffxf，由以上事实归纳推理可得：当 Nn且2n时，)()(1 xffxfnn （二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）3图 4ABCD1B1C1D1A若双曲线191622 yx上的点 P 到点)0,5(的距离为 6，则 P 到点)0,5(的距离为 一物体沿直
6、线以32 tv（t 的单位：s，v 的单位：sm/）的速度运动，则该物体在14 s 间行进的路程是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤（本小题满分 12 分）ABC的 三 个 内 角 A、B、C 对 应 的 三 条 边 长 分 别 是 a、b、c，且 满 足CaAccos3sin 求角C 的大小；若2b，7c，求a （本小题满分 14 分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，得到如下列联表：文艺节目 新闻节目 总计 20 至 40 岁 40 16 56 大于 40 岁 20 24 44 总计
7、60 40 100 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？是否有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由；已知在大于 40 岁收看文艺节目的 20 名观众中，恰有 8 名又收看地方戏节目现在从这20 名观众中随机选出 3 名进行其他方面调查，记选出收看地方戏节目的人数为，求 的分布列与数学期望 参考公式与临界值表：)()()()(22dbcadcbabcadnK，其中dcban)(2kKP 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.
8、879 10.828 （本小题满分 14 分）如图 4，1111DCBAABCD 是四棱柱，1AA底面 ABCD，CDAB/，ADAB，11 AACDAD，2AB 求证：11CA平面11BBCC；4求平面BDA1与平面11BBCC所成二面角的大小 （本小题满分 12 分）已知 na是递增的等差数列，它的前三项的和为3，前三项的积为8 求数列 na的通项公式；求数列na的前n 项和nS （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线C：xy82 的焦点为 F。椭圆 的中心在坐标原点，离心率21e，并以 F 为一个焦点 求椭圆 的标准方程；设21AA是椭圆 的长轴（1A 在2A 的左
9、侧），P 是抛物线C 在第一象限的一点，过 P 作抛物线C 的切线，若切线经过1A，求证：2tan21 PAA 21（本小题满分 14 分）已知函数xmxmxf)1()1ln()(，Rm是常数 若21m，求函数)(xf的单调区间；若函数)(xf存在最大值，求 m 的取值范围；若对函数)(xf定义域内任意1x、2x（21xx），)2(2)()(2121xxfxfxf恒成立，求 m 的取值范围 评分参考 一、选择题 BACD ADBC 二、填空题 Rx（3 分），012x 252（负号 1 分，“252”3 分）7 5 nnxx2)12(（分子 1 分，分母每项 2 分）14 m30（数值 4 分
10、，单位 1 分）5三、解答题 由 正 弦 定 理CcAasinsin 2 分，得CaAcs ins in 3 分，由 已 知 得CaCacos3sin，3tanC4 分，因为 C0，所以3C5 分 由余弦定理Cabbaccos22227 分，得3cos42)7(222aa 9 分，即0322 aa10 分，解得3a或1a11 分，负值舍去，所以3a12 分 应抽取大于 40 岁的观众人数为354024（名）3 分（列式 2 分，计算 1 分）根据列联表中的数据，得635.6926.6231160040604456)20162440(10022K 7 分（列式 2 分，计算 1 分，判断 1 分
11、）所以，有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关8 分 的可能值为 0、1、2、39 分 5711)0(320312 CCP，9544)1(32021218CCCP，9528)2(32011228CCCP，28514)3(32038 CCP 11 分（每个 0.5 分，四舍五入）的分布列为 12 分 的数学期望56285143952829544157110E14 分（每个等号 1 分）1AA底面 ABCD，所以111CACC 1 分，取11BA的中点 E，连接1EC 2 分，则111DECA是正方形，411ECA3 分，又111ECEB，411ECB，所以2111BCA，1111CBC
12、A4 分，因为1111CCBCC，所以11CA平面11BBCC5 分（法一）以 D 为原点，DA、DC、1DD 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系6 分，则)0,0,0(D，)0,0,1(A，)0,2,1(B，)1,0,1(1A，)1,1,0(1C 0 1 2 3 P 5711 9544 9528 28514 67 分，)1,0,1(1 DA，)0,2,1(DB，)0,1,1(11CA8 分，由知，平面11BBCC的 一 个 法 向 量 为)0,1,1(111CAn 9 分，设 平 面BDA1的 一 个 法 向 量 为),(2cban，则00122DAnDBn，即002c
13、aba11 分，不妨设1b，则2a，2c，从而)2,1,2(2n12 分，设所求二面角的大小为，则|cos2121nnnn13 分，22，所求二面角的大小为4 14 分（法二）取 AB 的中点 F，连接ED1、EF、DF 6 分，则1/BBEF、BCDF/，因为FEFDF，所以平面/1EFDD与平面11BBCC7 分，所以平面BDA1与平面11BBCC所成二面角等于平面BDA1与平面EFDD1所成二面角8 分。设GBAEF1，HCAED111，连接 DG，作DGMA1，垂足为 M，连接 HM，由知11CA平面EFDD1，DGCA11，111AHAMA，所 以DG平 面HMA1 9 分，HMDG
14、，MHA1是平面BDA1与平面11BBCC所成二面角10 分。设xDM，则21221221MAGMGAxDA11 分，其中21DA，252111BAGA，23)21()2(2222FGDFDG，xGM 23，代入解得1x12 分，在MHA1中，MHHA1，12211DMDAMA，221HA13 分，所以22sin111MAHAMHA，所求二面角的大小为4 14 分 设 na的公差为 d（0d），依题意，8)2()(3)2()(111111dadaadadaa2 分，即8)2(1111daada，解得341da或321da4 分，因为0d，所以341da，na的通项nan37 5 分 由得41a
15、，4|1 a；12a，1|2 a6 分；当3n时，0na，nnaa|7 分，所以41 S，52 S8 分 7当3n时，)37(25)(32naaSSnn9 分，1021123)2(2)37(252nnnn11 分，综上所述，.3,1021123,2,5,1,42nnnnnSn12 分 依题意，设椭圆 的标准方程为12222 byax（0 ba）1 分，82p，所以4p，22 p2 分，)0,2(F，2c3 分，21 ace，所以4a4 分，12222cab5 分，所以椭圆 的标准方程为1121622 yx6 分 抛物线C 在第一象限的部分可看作函数xxy228的图象7 分，依题意，不妨设),8
16、(020yyP（00 y），因为xxy22122/8 分，所以切线1PA 的斜率0/4|01yykxxPA9 分，1PA：)8(42000yxyyy10 分，由得)0,4(1 A，代入解得240 y11 分，则)24,4(P，)0,4(2A12 分，212AAPA 13分，在21tAPAR 中，821AA，242 PA，12APA是 直 角，所 以2tan22121PAAAPAA14 分 21)(xf的定义域为),1(1 分 21m时，xxxf21)1ln(21)(，)1(2221)1(21)(/xxxxf2 分 解0)(/xf得2x。当)2,1(x时，0)(/xf，即)(xf在)2,1(单调
17、递增3分；当),2(x时，0)(/xf，即)(xf在),2(单调递减4 分。11)1()1(1)(/xxmmxmxf 若1m，则0)(/xf，)(xf单调递增，不存在最大值5 分 若0m，则0)(/xf，)(xf单调递减，不存在最大值6 分 8若10 m，由0)(/xf得mx 11，当)11,1(mx时，0)(/xf，)(xf单调递增，当),11(mx时，0)(/xf，)(xf单调递减8 分，所以)(xf在mx 11取得最大值，所求 m 的取值范围为)1,0(9 分 由)2(2)()(2121xxfxfxf得)12ln(2)1ln()1ln(2121xxmxmxm 10 分，依题意011x，012x且1121xx，所以)1)(1(2)1()1(12212121xxxxxx11 分，xyln是增函数，所以)1)(1(ln)12ln(2121xxxx12 分，)1ln()1ln(21)1)(1ln(212121xxxx 13 分，所 求 m 的 取 值 范 围 为)0,(14 分
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