1、12 应用举例(二)学习目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力知识链接 现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？要点一 测量仰角求高度问题例 1 如图所示，A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45，BAD120，又在 B 点测得ABD45，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.解
2、 由于 CD平面 ABD，CAD45，所以 CDAD.因此只需在ABD 中求出 AD 即可，在ABD 中，BDA1804512015，由 ABsin 15 ADsin 45，得 ADABsin 45sin 15 800 226 24800(31)(m)即山的高度为 800(31)m.规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解跟踪演练 1 如图，地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度 h，在地面上选一基线 AB，AB20 m，在 A 点处测得 P 点仰角OA
3、P30，在 B 点处测得 P 点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度 h.(结果保留两个有效数字)解 在 RtAOP 中，OAP30，OPh，OAOP1tan 30 3h.在 RtBOP 中，OBP45，OBOP1tan 45h.在AOB 中，AB20，AOB60，由余弦定理得 AB2OA2OB22OAOBcos 60，即 202(3h)2h223hh12，解得 h2 4004 3176.4，h13(m)答 旗杆高度约为 13 m.要点二 测量俯角求高度问题例 2 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为.已知铁塔 BC 部分的
4、高为 h，求出山高 CD.解 在ABC 中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根据正弦定理得ACsinABCBCsinBAC，即ACsin90BCsin，AC BCcos sin hcos sin.在 RtACD 中，CDACsinCADACsin hcos sin sin.答 山的高度为hcos sin sin.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化跟踪演练 2 江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部
5、连线成 30角，则两条船相距_m.答案 30解析 设两条船所在位置分别为 A、B 两点，炮台底部所在位置为 C 点，在ABC 中，由题意可知 AC30tan 3030 3，BC30tan 4530，C30，AB2(30 3)2302230 330cos 30900，所以 AB30.要点三 测量方位角求高度问题例 3 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 m 到位置 D，测得BDC45，求塔 AB 的高度解 在BCD 中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，
6、由正弦定理，得 BCsin 45 CDsin 30，BCCDsin 45sin 30 10 2.在 RtABC 中，tan 60ABBC，ABBCtan 6010 6.答 塔 AB 的高度为 10 6 m.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化跟踪演练 3 一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.答案 30 2解析 如图，由已知条件，得 AC60 km，
7、BAC30，ACB105，ABC45.由正弦定理得 BCACsinBACsin B30 2(km)1已知两座灯塔 A，B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40，灯塔B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10B北偏西 10C南偏东 10D南偏西 10答案 B解析 如右图，因ABC 为等腰三角形，所以CBA12(18080)50，605010，故选 B.2从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30，看正南方向有一只船俯角为 45，则此时两船间的距离为()A2h 米B.2h 米C.3h 米D2 2h 米答案 A解析 如
8、图所示，BC 3h，ACh，AB 3h2h22h(米)3甲、乙两楼相距 20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是_.答案 20 3 m，4033 m解析 甲楼的高为 20tan 6020 320 3；乙楼的高为 20 320tan 3020 320 3340 33.1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式2测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理
9、和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题一、基础达标1为了测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为 30，塔基的俯角为 45，那么塔 AB 的高为()A201 33m B201 32mC20(1 3)m D30 m答案 A解析 如图，h20tan 3020tan 45201 33(m)，故选 A.2在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为 2，继续在地面上前进 200 3 m 以后测得山峰的仰角为 4，则该山峰的高度为()A200 mB300 mC400 mD100 3 m答案
10、 B解析 法一 如图，BED，BDC 为等腰三角形，BDED600，BCDC200 3.在BCD 中，由余弦定理可得cos 26002200 32200 322600200 3 32，230，460.在 RtABC 中，ABBCsin 4200 3 32 300，故选 B.法二 由于BCD 是等腰三角形，12BDDCcos 2，即 300200 3cos 2.cos 2 32，230，460.在 RtABC 中，ABBCsin 4200 3 32 300，故选 B.3一架飞机在海拔 8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是 30和45，则这个海岛的宽度为_m.答案 5
11、 856.4解析 宽 8 000tan 30 8 000tan 455 856.4(m)4为测量某塔的高度，在 A，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度解 在ABT 中，ATB21.418.62.8，ABT9018.6，AB15(m)根据正弦定理，ABsin 2.8ATcos 18.6，AT15cos 18.6sin 2.8.塔的高度为 ATsin 21.415cos 18.6sin 2.8sin 21.4106.19(m)所以塔的高度为 106.19 m.5如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75，距离为 12 6n mile，在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30，
12、距离为 8 3 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在货轮的南偏东 60.求：(1)A 处与 D 处的距离；(2)灯塔 C 与 D 处的距离解(1)在ABD 中，ADB60，B45，由正弦定理得 AD ABsin BsinADB12 6 223224(nmile)所以 A 处与 D 处的距离为 24 n mile.(2)在ADC 中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30192，解得 CD8 3 n mile.即灯塔 C 与 D 处的距离为 8 3 n mile.二、能力提升6某人在 C 点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东 40
13、方向前进 10 m 到D，测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为()A15 mB5 mC10 mD12 m答案 C解析 如图，设塔高为 h，在 RtAOC 中，ACO45，则 OCOAh.在 RtAOD 中，ADO30，则 OD 3h.在OCD 中，OCD120，CD10，由余弦定理得 OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(3h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得 h10 或 h5(舍)7要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角
14、为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A100 2 mB400 mC200 3 mD500 m答案 D解析 由题意画出示意图，设高 ABh，在 RtABC 中，由已知 BCh，在 RtABD 中，由已知 BD 3h，在BCD 中，由余弦定理 BD2BC2CD22BCCDcosBCD 得，3h2h25002h500，解之得 h500m故选 D.8如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为，沿倾斜角为 的斜坡向上走 a 米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为，求证：山高 hasin sinsin.解 在ABP 中，ABP180，BPA180()ABP180()(
15、180).在ABP 中，根据正弦定理，APsinABPABsinAPB，APsin180sin，APasinsin所以山高 hAPsin asin sinsin.9如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75，30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01km，21.414，62.449).解 在ACD 中，DAC30，ADC60DAC30，CDAC0.1，又BCD1
16、80606060，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，BDBA，在ABC 中，ABsinBCAACsinABC，所以 ABACsin 60sin 15 3 2 620.因此，BD3 2 6200.33 km，故 B、D 的距离约为 0.33 km.三、探究与创新10为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 1.732 千米有一条北偏东 60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为 A，检查开始处为 B，设公路上 C，D 两点到考点的距离为 1 千米在ABC 中，AB 31.732(千米)，AC1(千米)，ABC 30，由正弦定理 sinACBsin 30AC AB 32，ACB120(ACB60不合题意)，BAC30，BCAC1(千米)，在ACD 中，ACAD，ACD60，ACD 为等边三角形，CD1(千米)BC12605，在 BC 上需 5 分钟，CD 上需 5 分钟所以最长需要 5 分钟检查员开始收不到信号，并持续至少 5 分钟才算合格
