1、2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知p：|x|2，q：0x2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定3设=（sinx，1），=（，cosx），且，则锐角x为（）ABCD4已知一组数据为0，3，5，x，9，13，且这组数据的中位数为7，那么这组数据的众
2、数为（）A13B9C7D05为了解2000名学生对学校食堂的意见，准备从中抽取一个样本容量为50的样本若采用系统抽样，则分段间隔k为（）A20B30C40D506若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）AB1CD27在各项都为正数的等差数列an中，若a1+a2+a10=30，则a5a6的最大值等于（）A3B6C9D368如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）Ai2013Bi2015Ci2017Di20199若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+m23m有解，则实数m的取值范围（）A（1，4）B（，1）（4，
3、+）C（4，1）D（，0）（3，+）10甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）AS丙2S乙2S甲2BS甲2S丙2S乙2CS丙2S甲2S乙2DS乙2S丙2S甲211已知ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）Aa，b，c成等差数列B，成等比数列Ca2，b2，c2成等差数列Da2，b2，c2成等比数列12已知cos=，cos（+）=，且、（0，），则cos（）=（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13根据如下样本
4、数据x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为=bx+a若a=7.9，则b的值为14设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆x2+y2=1内的概率为15（1+tan1）（1+tan2）（1+tan3）（1+tan44）（1+tan45）=16数列an的前n项和，则a6=三、解答题（本大题共6小题，共70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17在数列an中，a1=2，an+l=an+cn （nN*，常数c0），且a1，a2，a3成等比数列（I）求c的值；（）求数列an的通项公式18如图，在ABC中，点D在BC边上，AD=33，sinBAD=，co
5、sADC=（1）求sinABD的值；（2）求BD的长19把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组解答下列问题：（I）求方程组有解的概率；（）求以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率20已知函数f（x）=sincos+（1）求f（x）的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC的三边 abc 满足b2=ac，且边b所对角为 x，试求x的范围及此时函数f（3x）的值域21某制造商某月内生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据分组如下表：分组频数频率39.95，39.97）1039.97，39.99）
6、3039.99，40.01）5040.01，40.0310合计100（1）请在上表中补充完成频率分布表，并在上图中画出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计这批乒乓球直径的平均值与中位数（结果保留三位小数）22已知数列an、bn满足：a1=，an+bn=1，bn+1=（）求b1，b2，b3，b4；（）设cn=，求数列cn的通项公式；（）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1，不等式4aSnbn恒成立时，求实数a的取值范围2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小
7、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知p：|x|2，q：0x2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】充要条件【分析】通过解绝对值不等式化简命题p，判断p成立是否推出q成立；q成立是否推出p成立；利用各种条件的定义判断出p是q的什么条件【解答】解：|x|22x2即命题p：2x2若命题p成立推不出命题q成立，反之若命题q成立则命题p成立故p是q的必要不充分条件故选B2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【考点】正弦定理
8、【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得ABC的形状【解答】解：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B3设=（sinx，1），=（，cosx），且，则锐角x为（）ABCD【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，=0，sin2x=1，x为锐角，解
9、得x=故选：B4已知一组数据为0，3，5，x，9，13，且这组数据的中位数为7，那么这组数据的众数为（）A13B9C7D0【考点】众数、中位数、平均数【分析】根据中位数的定义求出x的值，从而求出众数【解答】解：由题意得： =7，解得：x=9，这组数据的众数是9，故选：B5为了解2000名学生对学校食堂的意见，准备从中抽取一个样本容量为50的样本若采用系统抽样，则分段间隔k为（）A20B30C40D50【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义进行求解【解答】解：根据系统抽样的定义，则分段间隔为200050=40，故选：C6若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线x+y
10、=a扫过A中的那部分区域的面积为（）AB1CD2【考点】简单线性规划的应用【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再分析当a从2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的形状，然后代入相应的公式，求出区域的面积【解答】解析：作出可行域，如图，则直线扫过的面积为故选C7在各项都为正数的等差数列an中，若a1+a2+a10=30，则a5a6的最大值等于（）A3B6C9D36【考点】等差数列的性质【分析】利用a1+a2+a10=30，求出a5+a6=6，再利用基本不等式，求出a5a6的最大值【解答】解：由题设，a1+a2+a3+a10=5（a1+a10）=5（a5
11、+a6）=30所以a5+a6=6，又因为等差数列an各项都为正数，所以a5a6=9，当且仅当a5=a6=3时等号成立，所以a5a6的最大值等于9，故选C8如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）Ai2013Bi2015Ci2017Di2019【考点】程序框图【分析】根据流程图写出每次循环i，S的值，和，比较即可确定退出循环的条件，得到答案【解答】第1次循环：i=2，S=；第2次循环：i=4，S=；第3次循环：i=6，S=；第1007次循环：i=2014，S=；此时，设置条件退出循环，输出S的值由程序知道，i=2，4，6，2014都应该满足条件，i=2016不满足条件，故判断框
12、内可填入i2015故选：B9若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+m23m有解，则实数m的取值范围（）A（1，4）B（，1）（4，+）C（4，1）D（，0）（3，+）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式【分析】将不等式有解，转化为求（x+）minm23m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案【解答】解：不等式有解，（x+）minm23m，x0，y0，且，x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，（x+）min=4，故m23m4，即（m+1）（m4）0，解得m1或m4，实数m的取值范围是
13、（，1）（4，+）故选：B10甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）AS丙2S乙2S甲2BS甲2S丙2S乙2CS丙2S甲2S乙2DS乙2S丙2S甲2【考点】极差、方差与标准差【分析】由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，观察数据即可得到结论【解答】解：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越集中，方差越小，由条形图知，乙图最集中，丙图最分散，故s乙2s乙2s丙2，故选：C11已知ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）Aa
14、，b，c成等差数列B，成等比数列Ca2，b2，c2成等差数列Da2，b2，c2成等比数列【考点】余弦定理；正弦定理【分析】根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案【解答】解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，根据正弦、余弦定理得，2ac=b2，化简可得，a2+c2b2=b2，即a2+c2=2b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C12已知cos=，cos（+）=，且、（0，），则cos（）=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】根据的范围，求出2的范围，由cos的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2的值，
15、然后再利用同角三角函数间的基本关系求出sin2的值，又根据和的范围，求出+的范围，由cos（+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（+）的值，然后据=2（+），由两角差的余弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求解【解答】解：由2（0，），及cos=，得到cos2=2cos21=，且sin2=，由+（0，），及cos（+）=，得到sin（+）=，则cos（）=cos2（+）=cos2cos（+）+sin2sin（+）=（）+=故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13根据如下样本数据x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为=bx+a若
16、a=7.9，则b的值为1.4【考点】线性回归方程【分析】由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案【解答】解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5， =（4+2.50.5+0.52）=0.9，回归方程为=bx+a若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），0.9=5b+7.9，解得b=1.4，故答案为：1.414设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆x2+y2=1内的概率为【考点】几何概型；简单线性规划【分析】首先分别画出区域D、M，然后分别计算面积，利用几何概型的公式解答即可【解答】解：平面区域D以及满足条件的M如图阴影部分区域D的面积为=4，区域M的
17、面积为，由几何概型的公式得点M落在圆x2+y2=1内的概率为；故答案为：15（1+tan1）（1+tan2）（1+tan3）（1+tan44）（1+tan45）=223【考点】两角和与差的正切函数【分析】先利用两角和的正切公式求得（1+tan1）（1+tan44）=2，同理可得，（1+tan2）（1+tan43）=（1+tan3）（1+tan42）=（1+tan4）（1+tan41）=（1+tan22）（1+tan23）=2，而（1+tan45）=2，从而求得要求式子的结果【解答】解：（1+tan1）（1+tan44）=1+tan1+tan44+tan1tan44=1+tan（1+44）1ta
18、n1tan44+tan1tan44=2同理可得，（1+tan2）（1+tan43）=（1+tan3）（1+tan42）=（1+tan4）（1+tan41）=（1+tan22）（1+tan23）=2，而（1+tan45）=2，故（1+tan1）（1+tan2）（1+tan3）（1+tan44）（1+tan45）=223，故答案为22316数列an的前n项和，则a6=96【考点】数列递推式【分析】当当n=1时，a1=S1=2a13，解得a1=3，当n2时，an=SnSn1即可得到数列an是等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：由题意，当n=1时，a1=S1=2a13，解得a1=3，n
19、2时，Sn1=2an13，an=SnSn1=2an3（2an13）=2an2an1数列an是以3为首项，2为公比的等比数列，a6=325=96故答案为96三、解答题（本大题共6小题，共70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17在数列an中，a1=2，an+l=an+cn （nN*，常数c0），且a1，a2，a3成等比数列（I）求c的值；（）求数列an的通项公式【考点】数列递推式；等比数列的性质【分析】（I）由题知，a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，根据a1，a2，a3成等比数列，列出关于c的方程并求解即可（）利用累加法可以求得，利用（）求得的c，代入求出通项【解答】解：（）由题知
20、，a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2，又c0，故c=2（）当n2时，由an+1=an+cn得a2a1=c，a3a2=2c，anan1=（n1）c，以上各式相加，得，又a1=2，c=2，故，当n=1时上式也成立，所以数列an的通项公式为（nN*）18如图，在ABC中，点D在BC边上，AD=33，sinBAD=，cosADC=（1）求sinABD的值；（2）求BD的长【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系【分析】（1）通过cosADC=，求出sinADC，利用，求出cosBAD，通过sinABD=sin（
21、ADCBAD），直接利用两角差的正弦函数求解即可（2）在ABD中，由正弦定理，直接求BD的长【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为cosADC=，所以因为，所以因为ABD=ADCBAD，所以sinABD=sin（ADCBAD）=sinADCcosBADcosADCsinBAD =（2）在ABD中，由正弦定理，得，所以19把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组解答下列问题：（I）求方程组有解的概率；（）求以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）利用分布计数原理求出骰子投掷2次所有的结
22、果，通过解二元一次方程组判断出方程组有唯一解的条件，求出满足该条件的结果个数，利用古典概型的概率公式求出方程组只有一个解的概率；（）解方程组，根据条件确定a，b的范围，从而确定满足该条件的结果个数利用古典概型的概率公式求出方程组只有一个解的概率【解答】解：（）由题意知，基本事件空间=（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），基本事件总数n=36个，设A=“方程组有解”，则=“方程组无解”若方程没有解，则，即b=2a，则符合
23、条件的数组为（1，2），（2，4），（3，6），所以P（）=，P（A）=1=故方程组有解的概率为（）由方程组，得，若b2a，则有，即a=2，3，4，5，6，b=4，5，6，符合条件的数组有（2，5），（2，6）共有2个，若b2a，则有，即b=1，2，a=1符合条件的数组有（1，1）共1个，概率为p=，即以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率为20已知函数f（x）=sincos+（1）求f（x）的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC的三边 abc 满足b2=ac，且边b所对角为 x，试求x的范围及此时函数f（3x）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函
24、数的对称性；余弦定理的应用【分析】（1）先利用辅助角公式以及降幂公式把函数f（x）化简为sin（），再利用周期和对称中心的求法代入即可求得结论（2）先利用余弦定理以及基本不等式得到cosx=，求出x（0，；再代入f（3x）利用正弦函数的单调性即可求出函数f（3x）的值域【解答】解：（1）f（x）=sincos+=sin+=sincos+cossin=sin（）f（x）的最小正周期T=3f（x）的对称中心为（，0） （kZ）（2）b2=ac，cosx=又x（0，），x（0，而f（3x）=sin（2x+），由2x+（，f（3x）=sin（2x+）0，121某制造商某月内生产了一批乒乓球，随机抽样1
25、00个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据分组如下表：分组频数频率39.95，39.97）1039.97，39.99）3039.99，40.01）5040.01，40.0310合计100（1）请在上表中补充完成频率分布表，并在上图中画出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计这批乒乓球直径的平均值与中位数（结果保留三位小数）【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数【分析】（1）根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率，填入表中，画出对应的频率分步直方图（2）做出每一组数据的区间的中点值，用这组数据的中间值分别乘以对应的这个区间的频率，得到这组数
26、据的总体平均值，中位数出现在概率是0.5的地方【解答】解：（1）根据所给的频数和样本容量做出每一组数据对应的频率，填入表中，画出对应的频率分步直方图，分组频数频率39.95，39.97）100.139.97，39.99）300.339.99，40.01）500.540.01，40.03100.1合计1001（2）整体数据的平均值约为39.960.10+39.980.30+40.000.50+40.020.10=39.992（mm）最左边的两个小矩形的面积是0.1+0.3=0.4，最高的小矩形的面积是0.5，故可设中位数是x则x=39.99+=39.994由此知，此组数据的中位数是39.994，
27、平均数是39.992（mm）22已知数列an、bn满足：a1=，an+bn=1，bn+1=（）求b1，b2，b3，b4；（）设cn=，求数列cn的通项公式；（）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1，不等式4aSnbn恒成立时，求实数a的取值范围【考点】数列递推式；函数恒成立问题【分析】（），由lg（Snm）+lg（Sn+2m）=2lg（Sn+1m），能求出b1，b2，b3，b4（）由，知，由此能求出cn（）由于，所以，从而，所以由条件知（a1）n2+（3a6）n80恒成立即可满足条件，由此能够推导出a1时，4aSnbn恒成立【解答】（本题14分）解：（），lg（Snm）+lg（Sn+2m）=2lg（Sn+1m），（），数列cn是以4为首项，1为公差的等差数列cn=4+（n1）（1）=n3（）由于，所以，从而.由条件知（a1）n2+（3a6）n80恒成立即可满足条件，设f（n）=（a1）n2+（3a6）n8，当a=1时，f（n）=3n80恒成立当a1时，由二次函数的性质知不可能成立，当a1时，对称轴，f（n）在（1，+）为单调递减函数f（1）=（a1）n2+（3a6）n8=（a1）+（3a6）8=4a150，a1时4aSnbn恒成立综上知：a1时，4aSnbn恒成立2016年12月7日
