1、2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分).1已知复数（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2如图、在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，若ABPD3，AD2，则该四棱锥的体积为（）A18B12C9D63一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）ABCD4设，是两个不同的平面，n是平面内的一条直线，则“n”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件
2、D既不充分也不必要条件5在ABC中，则A（）ABCD6水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890根据以上数据，下面说法正确的是（）A甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产
3、量的中位数小C甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定7向量，在正方形网格中的位置如图所示，若+（，R），则（）A3BC3D8某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：成绩（分）959085807570656060以下人数146546789如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）A65B70C75D809在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E是核AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足A1MC1E，则线段AM的长的最小值为（）ABC1D10已知不共线的平面向量，两两的夹角相等，且|1，|2，|3，实数1，2，3
4、1，1，则|1+2+3|的最大值为（）AB2CD5二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11已知平面向量（2，k），（3，2），且，则实数k 12若复数za2+a2+（a21）i为纯虚数，则实数a的值为 13某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 14已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ，方差 .（填“变大”，“变小”，“不变”）15已知等边ABC的边长为2，D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则的最大值
5、为 ，最小值为 16已知ABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和；存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍；存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍其中所有正确结论的序号是 三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程)17在ABC中，（）求cosA的值；（）若B2A，求a的值18如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点（）求证：BD平面AEF；（）求证
6、：EF平面ACC1A1；（）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由19某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图已知调查评分在70，80）中的市民有200人心理测评评价标准调查评分0，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100心理等级EDCBA（）求n的值及频率分布直方图中t的值；（）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在40，50）的市民
7、的心理等级转为B的概率为，调查评分在50，60）的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分100）20如图，在锐角ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点且DE2再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（）sinC的值
8、；（）BDE的大小；（）四边形BCED的面积条件：；条件：；条件：EC321将平面直角坐标系中的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），An（n，an），记为|An|，设f（n）j，其中j为与y轴方向相同的单位向量若对任意的正整数n，都有f（n+1）f（n），则称An为T点列（）判断是否为T点列，并说明理由；（）若An为T点列，且a1a2.任取其中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，证明AkAk+1Ak+2为钝角三角形；（）若An为T点列，对于正整数k，l，m（klm），比较j与j的大小，并说明理由参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
9、目要求的一项)1已知复数（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）解：，z在复平面内对应的点的坐标是（1，1）故选：B2如图、在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，若ABPD3，AD2，则该四棱锥的体积为（）A18B12C9D6解：四棱锥PABCD中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCDABAD326，因为PD底面ABCD，所以四棱锥的高为PD3，所以该四棱锥的体积为V四棱锥PABCDS矩形ABCDPD636故选：D3一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出
10、2个球，则两个球颜色相同的概率是（）ABCD解：从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率P，故选：B4设，是两个不同的平面，n是平面内的一条直线，则“n”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：n，若n，由平面与平面垂直的判定可得，反之，若n，可得n与有三种位置关系，即n或n或n与相交，相交也不一定垂直，“n”是“”的充分不必要条件，故选：A5在ABC中，则A（）ABCD解：，由正弦定理，可得，B（0，），sinB0，又A（0，），故选：C6水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂
11、交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890根据以上数据，下面说法正确的是（）A甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：，乙种水稻产量的平均
12、数为：，即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，选项B：甲种的水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为，乙种的水稻产量分别为：850，860，890，890，950，960，中位数为890905，故B错误，选项C：甲种的水稻产量的极差为92085070，乙种的水稻产量的极差为96085011070，故C错误，选项D：甲种的水稻产量的方差为：，乙种的水稻产量的方差为：+（850900）2+（860900）2+（890900）2，因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻产量稳定，故D正确，故选：D7向量，在正方形网格中的位置如图
13、所示，若+（，R），则（）A3BC3D解：由图可知：，（）（2），则1，3，所以故选：D8某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：成绩（分）959085807570656060以下人数146546789如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）A65B70C75D80解：因为5040%20，且7595分共有20人，所以进入复试的分数线可以定为75故选：C9在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E是核AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足A1MC1E，则线段AM的长的最小值为（）ABC1D解：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1（0，0，1），C1（
14、1，1，1），E（，0，0），M（x，y，0），所以（x，y，1），（，1，1），因为A1MC1E，所以xy+10，即点M的轨迹方程为x+2y20，所以线段AM的最小值为，故选：B10已知不共线的平面向量，两两的夹角相等，且|1，|2，|3，实数1，2，31，1，则|1+2+3|的最大值为（）AB2CD5解：不共线的平面向量，两两的夹角相等，平面向量，两两的夹角都为120，|1，|2，|3，1，2，31，1，当11，21，31 时，取得最大值为21，|1+2+3|的最大值为故选：C二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11已知平面向量（2，k），（3，2），且，则实数k3解：，解得
15、k3故答案为：312若复数za2+a2+（a21）i为纯虚数，则实数a的值为 2解：复数za2+a2+（a21）i为纯虚数，解得a2故答案为：213某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 解：设既选考物理又选考地理的学生有x人，则只选物理的人数为21x人，只选地理的人数为14x人，所以选考物理或地理的学生人数为21x+14x+x28，解得x7，故所求事件的概率为，故答案为：14已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 不变，方
16、差 变小.（填“变大”，“变小”，“不变”）解：设原来的一组数据有n个，分别为x1，x2，xn，则有x1+x2+xn10n，方差（x110）2+（x210）2+（xn10）2，所以（x110）2+（x210）2+（xn10）2ns2，加入一个新数10后，平均数为（x1+x2+xn+10），故平均数不变；新的方差s2（x110）2+（x210）2+（xn10）2+（1010）2ns2，故方差变小故答案为：不变；变小15已知等边ABC的边长为2，D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则的最大值为 3，最小值为 解：以AC所在的直线为x轴，AC的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，等边ABC的
17、边长为2，D为边BC的中点，A（1，0），B（0，），C（1，0），设点M的坐标为M（x，0），1x1，设f（x），1x1，函数f（x）的对称轴为，f（x）在区间 单调递减，在区间 单调递增，当x1时，f（x）maxf（1）3，当x时，故答案为：3，16已知ABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和；存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍；存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍其中所有正确结论的序号是 解：根据题意，设A
18、BC的三边长依次为n1，n，n+1，设最大角为A，最小角得B，对于，当n4时，ABC的三边长依次为3，4，5，此时ABC为直角三角形，三个内角中的最大角等于另外两个角的和，正确；对于，当n3时，ABC的三边长依次为2，3，4，cosA0，为钝角三角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和，正确；对于，当n5时，ABC的三边长依次为4，5，6，cosA，cosB，有cosA2cos2B1cos2B，则有A2B，正确；对于，假设存在符合题意的三角形，则A3B，则有，又由A3B，则sinAsin3B3sinB4sin3B，变形可得34sin2B，变形可得sin2B，该式不会成立，故不存在使得三个内角
19、中的最大角等于最小角的3倍的三角形，错误；故答案为：三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程)17在ABC中，（）求cosA的值；（）若B2A，求a的值解：（）在ABC中，又由余弦定理，可得，（）由（）知，B2A，又，18如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点（）求证：BD平面AEF；（）求证：EF平面ACC1A1；（）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由解：（）因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，所以BEDF，BEDF，所以四边形BEFD为平行四边形，所以BDEF，又因为
20、BD平面AEF，EF平面AEF，所以BD平面AEF（）因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，所以AA1BD，因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD，又由（）知BDEF，所以EFAA1，EFAC，又因为ACAA1A，所以EF平面ACC1A1（）点C1在平面AEF内，理由如下：取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点，所以DFCG，DFCG，所以四边形DCGF为平行四边形所以FGDC，FGDC，又因为ABDC，ABDC，所以ABFG，ABFG，所以四边形ABGF为平行四边形所以AFBG，因为在正方体
21、ABCDA1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点，所以BEGC1，BEGC1，所以四边形BGC1E为平行四边形所以BGEC1，所以EC1AF，故点C1在平面AEF内19某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图已知调查评分在70，80）中的市民有200人心理测评评价标准调查评分0，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100心理等级EDCBA（）求n的值及频率分布直方图中t的值；（）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分
22、的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在40，50）的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在50，60）的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分100）解：（）由已知条件可得，又因为每组
23、的小矩形的面积之和为1所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）101，解得t0.002；（）由（）知：t0.002，所以调查评分在40，50）中的人数是调查评分在50，60）中人数的，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在40，50）中有1人，在50，60）中有2人，设事件M“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以，所以，故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为；（）由频率分布直方图可得，450.02+550.04+650.14+750.2+850.35+950.2580.7估计市民心理健康调查评分的平均值为8
24、0.7，所以市民心理健康指数平均值为所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动20如图，在锐角ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点且DE2再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（）sinC的值；（）BDE的大小；（）四边形BCED的面积条件：；条件：；条件：EC3解：选条件时，（）因为，又因为在ABC中，所以（II）因为ABC是锐角三角形，由（）知，所以在ABC中，因为AB2BC2+AC22BCACcosC，所以，即AC2AC200，解得AC5又因为EC3，所以AE2又因为DE2，所以故（）因为，由（）知AC5，所以又因为，所以所以四边形BCED的面
25、积为选条件时，（）因为，所以所以sinCsin（B+A）sinBcosA+cosBsinA（）由（）及正弦定理：，得，又因为EC3，所以AE2，又因为DE2，所以故（）因为ABC是锐角三角形，由（）知，所以由余弦定理得：，解得：所以又因为，所以所以四边形BCED的面积为21将平面直角坐标系中的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），An（n，an），记为|An|，设f（n）j，其中j为与y轴方向相同的单位向量若对任意的正整数n，都有f（n+1）f（n），则称An为T点列（）判断是否为T点列，并说明理由；（）若An为T点列，且a1a2.任取其中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，证明AkAk+1
26、Ak+2为钝角三角形；（）若An为T点列，对于正整数k，l，m（klm），比较j与j的大小，并说明理由解：（）An为T点列理由如下：由题意可知，所以，即f（n+1）f（n），n1，2，所以为T点列；（）由题意可知，所以，因为An为T点列，所以f（n+1）f（n）an+2an+1（an+1an）0，n1，2，又因为a2a1，所以a2a10，所以对|An|中连续三点Ak，Ak+1，Ak+2，都有ak+2ak+1ak+1ak0，ak+2ak+1ak，又，所以，所以AkAk+1Ak+2为AkAk+1Ak+2的最大内角，由余弦定理可得，故AkAk+1Ak+2为钝角，所以AkAk+1Ak+2为钝角三角形；（）由正整数k，l，m满足klm，则m3，因为An为T点列，由（）知an+2an+1an+1an，n1，2，所以am+kam+k1am+k1am+k2，am+k1am+k2am+k2am+k3，am+1amamam1，两边分别相加可得am+kamam+k1am1，所以am+k1am1am+k2am2alalk，则am+kamalalk，所以am+kalamalk，又，所以，所以
