1、第二章 圆锥曲线与方程第 2 课时 椭圆方程及性质的应用第二章 圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养直线与椭圆的位置关系掌握判断直线与椭圆位置关系的方法逻辑推理直线与椭圆的相交弦问题会解决弦长及中点弦问题数学运算与椭圆有关的最值或范围问题能利用椭圆的性质解决最值或范围问题逻辑推理、数学运算 已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x24 y221.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点直线与椭圆的位置关系【解】直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，y2xm，x24 y221，消去 y，得 9x28mx2m240.方程的判别式(8m)249(2m
2、24)8m2144.(1)当 0，即3 2m3 2时，方程有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不同的公共点(2)当 0，即 m3 2时，方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点判断直线与椭圆的位置关系的方法注意 注意方程组的解与交点个数之间的等价关系 若直线 ykx1 与焦点在 x 轴上的椭圆x25 y2m1总有公共点，求 m 的取值范围解：因为直线 ykx1 过定点 A(0，1)由题意知，点 A 在椭圆x25 y2m1 内或椭圆上，所以025 12m1，所以 m1.又椭圆焦点在 x 轴上，
3、所以 m0.这时直线的方程为 y212(x4)，即 y12x4.法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136y2191，x2236y2291，两式相减得x22x2136y22y2190，整理得 kABy2y1x2x1 9(x2x1)36(y2y1)，由于 P(4，2)是 AB 的中点，所以 x1x28，y1y24，于是 kAB 9836412，于是直线 AB 的方程为 y212(x4)，即 y12x4.(变问法)试求满足条件(2)的线段 AB 的长度解：由(2)知直线 AB 的方程为 y12x4，由y12x4，x236y291得 x28x140，设 A(x1，y1)，B(x2，
4、y2)，则 x1x28，x1x214，由弦长公式可得|AB|1k2(x1x2)24x1x2 526456 10，所以线段 AB 的长度为 10.(1)直线与椭圆相交弦长的求法直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长求弦长的公式：设直线 l 的斜率为 k，方程为 ykxb，设端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(x1x2)2(y1y2)2 1k2(x1x2)24x1x2.(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决点差法
5、：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，则x21a2y21b21，1x22a2y22b21，2由12，得 1a2(x21x22)1b2(y21y22)0，变形得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0，即 kABb2x0a2y0.已知椭圆 ax2by21(a0，b0 且 ab)与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|2 2，OC 的斜率为22，求椭圆
6、的方程解：法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得 a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.因为 A，B 为直线 xy10 上的点，所以y1y2x1x21.由已知得y1y2x1x2kOC 22，代入式可得 b 2a.因为直线 xy10 的斜率 k1.又|AB|1k2|x2x1|2|x2x1|2 2.所以|x2x1|2，联立 ax2by21 与 xy10，可得(ab)x22bxb10.且由已知得 x1，x2 是方程(ab)x22bxb10 的两根，所以 x1x2 2bab，x1x2b1ab，所以 4(x2x1)2(x1x2)24x1x22bab24b1
7、ab.将 b 2a 代入式，解得 a13，所以 b 23，所以所求椭圆的方程是x23 2y23 1.法二：由ax2by21，xy10消去 y，得(ab)x22bxb10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2bab，x1x2b1ab，且直线AB 的斜率 k1，所以|AB|(k21)(x1x2)2(k21)(x1x2)24x1x2 2 4b24(ab)(b1)ab.因为|AB|2 2，所以 2 4b24(ab)(b1)ab2 2，所以 ababab1.设 C(x，y)，则 xx1x22 bab，y1x aab.因为 OC 的斜率为 22，所以yxab 22，将其代入式得 a13
8、，b 23，所以所求椭圆的方程为x23 2y23 1.已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程【解】(1)由4x2y21，yxm，得 5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220(m21)0，解得 52 m 52.与椭圆有关的最值或范围问题(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知 5x22mxm210，所以 x1x22m5，x1x215(m21)，所以|AB|(x1x2)2(y1y2)2 2(x1x2)2 2(x1x2)24x1x224m225 45
9、(m21)25 108m2，所以当 m0 时，|AB|最大，此时直线方程为 yx.(变问法)本例中，设直线与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB 面积的最大值及AOB 面积最大时的直线方程解：可求得 O 到 AB 的距离 d|m|2，将 yxm 代入 4x2y21，消去 y 得 5x22mxm210.又|AB|25108m2，2016m20，52 m 52，所以 SAOB12|AB|d1225108m2|m|22554m2 m22554m2 m2214，当且仅当“54m2m2”时，上式取“”，此时 m 104 52，52.所以AOB 面积的最大值为14，面积最大时直线方
10、程为 xy 104 0.与椭圆有关的最值问题的求解方法求解椭圆中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的解析式，然后根据函数关系式的特征可化为：(1)二次函数的最值问题求解；(2)基本不等式的最值问题求解；(3)三角函数的最值问题求解 如图所示，点 A，B 分别是椭圆x236y2201 的长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值解：(1)由已知可得点 A(6，0)，F(4，0)，B(6，0)，
11、设点 P 的坐标是(x，y)，则AP(x6，y)，FP(x4，y)由已知得x236y2201，(x6)(x4)y20.则 2x29x180,解得 x32或 x6.由于 y0，只能 x32，于是 y52 3，所以点 P 的坐标是32，52 3.(2)直线 AP 的方程是 x 3y60.设点 M 的坐标是(m，0)，则 M 到直线 AP 的距离是|m6|2，于是|m6|2|m6|，又6m6，解得 m2，所以点 M 的坐标是(2，0)设椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离为 d，有d2(x2)2y2x24x42059x249x92215，由于6x6.所以当 x92时，d 取最小值 15.1直线 yk
12、xk1 与椭圆x29 y241 的位置关系为()A相切 B相交C相离D不确定解析：选 B直线 ykxk1 恒过定点(1，1)又因为129 124 1，所以点(1，1)在椭圆x29 y241 的内部，所以直线 ykxk1 与椭圆相交故选 B2过椭圆x225y29 1 的右焦点且倾斜角为 45的弦 AB 的长为()A5 B6C9017D7解析：选 C椭圆的右焦点为(4，0)，直线的斜率为 k1，所以直线 AB 的方程为 yx4，由yx4，x225y291，得 9x225(x4)2225，由弦长公式易求|AB|9017.3若过椭圆x216y241 内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程
13、是_解析：设弦两端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2116y2141，x2216y2241，两式相减并把 x1x24，y1y22 代入得，y1y2x1x212，所以所求直线方程为 y112(x2)，即 x2y40.答案：x2y404已知直线 l：yx12，椭圆 C：x24y24.(1)求证：直线 l 与椭圆 C 有两个交点；(2)求连接这两个公共点所成线段的长解：(1)证明：由yx12，x24y24消去 y 得 5x24x30.所以(4)245(3)760，所以直线 l 与椭圆 C 有两个交点(2)设两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知 x1x245，x1x235.所以|AB|(y2y1)2(x2x1)2 2(x2x1)2 2(x1x2)24x1x2 2452435 25 38.按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
