1、2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集U=R，集合A=x|1og2x2，B=x|（x3）（x+1）0，则（CUB）A=( )A（，1B（，1（0，3）C0，3）D（0，3）2正项等比数列an中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是( )AB2CD3设向量，满足|=2，在方向上的投影为1，若存在实数，使得与垂直，则=( )AB1C2D34已知函数y=Asin（x+）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其
2、图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )ABCD5在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若SABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=( )A2B4C2D36设M是ABC所在平面上的一点，且+=，D是AC中点，则的值为( )ABC1D27已知锐角A是ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2Acos2A=，则下列各式正确的是( )Ab+c=2aBb+c2aCb+c2aDb+c2a8已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )A1，+2B1，e22C+2，e22De22，+
3、）9已知Sn是数列an的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列an+an+1+an+2是公差为2的等差数列，则S25=( )A232B233C234D23510函数f（x）=cosx与函数g（x）=|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为( )A2B4C6D811已知向量是单位向量，若=0，且|+|2|=，则|+2|的取值范围是( )A1，3BC，D，312已知定义在（0，+）上的单调函数f（x），对x（0，+），都有ff（x）log2x=3，则方程f（x）f（x）=2的解所在的区间是( )A（0，）B（1，2）C（，1）D（2，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分
4、）13若tan+=，（，），则sin（2+）+2coscos2的值为_14已知函数f（x）（xR）满足f（1）=1，且f（x）的导数f（x），则不等式f（x2）的解集为_15已知Sn是等差数列an（nN*）的前n项和，且S6S7S5，有下列五个命题：d0；S110；S120；数列Sn中的最大项为S11；|a6|a7|其中正确的命题是_（写出你认为正确的所有命题的序号）16已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4x），又f（x）=，函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
5、骤）17设数列an满足a1=1，an+1=2an+1（1）求an的通项公式；（2）记bn=log2（an+1），求数列bnan的前n项和为Sn18已知ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanAtanB的值；（2）求的最大值19已知函数的最小正周期为3（I）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值；（II）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且abc，求角C的大小；（）在（II）的条件下，若，求cosB的值20已知函数f（x）=exax+a，其中aR，e为自然对数的底数（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设bR，若函数f（x）b对
6、任意xR都成立，求ab的最大值21设函数f（x）=（1+x）2mln（1+x），g（x）=x2+x+a（1）当a=0时，f（x）g（x）在（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）g（x）在0，2上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2x，aR（）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（）若对任意实数b（1，2），当x（1，b时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围2015-
7、2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集U=R，集合A=x|1og2x2，B=x|（x3）（x+1）0，则（CUB）A=( )A（，1B（，1（0，3）C0，3）D（0，3）【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案【解答】解：集合A=x|1og2x2=（0，4，B=x|（x3）（x+1）0=（，13，+），CUB=（1，3），（CUB）A=（0，3），故选：D【点评】本题考查集合混合
8、运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义2正项等比数列an中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是( )AB2CD【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值【解答】解：在等比数列中，a6=a5+2a4，即q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），=4a1，即2m+n2=16=24，m+n2=4，即m+n=6，=（）=，当且仅当，即n=2m时取等号故选：A【点评】本题主要考查等比数列的运算性
9、质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件3设向量，满足|=2，在方向上的投影为1，若存在实数，使得与垂直，则=( )AB1C2D3【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：向量，满足|=2，在方向上的投影为1，=21=2存在实数，使得与垂直，=0，222=0，解得=2故选：C【点评】本题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题4已知函数y=Asin（x+）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是
10、( )ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【专题】计算题【分析】由题意可得A+m=4，Am=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出，根据函数图象的对称轴及的范围求出，从而得到符合条件的函数解析式【解答】解：由题意m=2 A=2，再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为可得，解得=2，函数y=Asin（x+）+m=2sin（2x+）+2再由 是其图象的一条对称轴，可得 +=k+，kz，即=k，故可取=，故符合条件的函数解析式是 y=2sin（2x+）+2，故选B【点评】本题主要考查利用y=Asin（x+）的图象特征，由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析
11、式，属于中档题5在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若SABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=( )A2B4C2D3【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值【解答】解：=1，即有2cosC=1，可得C=60，若SABC=2，则absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b22abcosC=（a+b）22abab=（a+b）23ab=6238=12，解得c=2故选C【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正
12、弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题6设M是ABC所在平面上的一点，且+=，D是AC中点，则的值为( )ABC1D2【考点】平面向量的基本定理及其意义 【专题】平面向量及应用【分析】结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论【解答】解：如图所示，D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，四边形MAEC为平行四边形，=（+）；又+=，=（+）=3；=故选：A【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，解题的关键是画出平行四边形MAEC，得出与的关系7已知锐角A是ABC的一
13、个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2Acos2A=，则下列各式正确的是( )Ab+c=2aBb+c2aCb+c2aDb+c2a【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理 【专题】解三角形；不等式的解法及应用【分析】已知等式左边变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos2A的值，由A为锐角求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式得出关系式，即可做出判断【解答】解：由sin2Acos2A=，得cos2A=，又A为锐角，02A，2A=，即A=，由余弦定理有a2=b2+c2bc=（b+c）23bc（b+c）2（b+c）2=，即4a2（b+c）2，
14、解得：2ab+c，故选：C【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键8已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )A1，+2B1，e22C+2，e22De22，+）【考点】对数函数的图像与性质 【专题】函数的性质及应用【分析】由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解，构造函数f（x）=2lnxx2，求出它的值域，得到a的范围即可【解答】解：由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解设f（x）=2lnxx2，求导得：f（x）=2x=，xe，f（x
15、）=0在x=1有唯一的极值点，f（）=2，f（e）=2e2，f（x）极大值=f（1）=1，且知f（e）f（），故方程a=2lnxx2在上有解等价于2e2a1从而a的取值范围为1，e22故选B【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解9已知Sn是数列an的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列an+an+1+an+2是公差为2的等差数列，则S25=( )A232B233C234D235【考点】等差数列的前n项和 【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由已知可得an+3an=（an+1+an+2+an+3）（
16、an+an+1+an+2）=2，故a1，a4，a7，是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前n项和公式，和分组求和法，可得答案【解答】解：数列an+an+1+an+2是公差为2的等差数列，an+3an=（an+1+an+2+an+3）（an+an+1+an+2）=2，a1，a4，a7，是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，是首项为3，公差为2的等差数列，S25=（a1+a4+a7+a25）+（a2+a5+a8+a23）+（a3+
17、a6+a9+a24）=+=233，故选：B【点评】本题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，根据已知得到an+3an=2，是解答的关键10函数f（x）=cosx与函数g（x）=|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为( )A2B4C6D8【考点】函数的零点；函数的图象 【专题】作图题【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案【解答】解：由图象变化的法则可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=|log2|x1|的图象；
18、又f（x）=cosx的周期为=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，由中点坐标公式可得：xA+xD=2，xB+xC=2故所有交点的横坐标之和为4，故选B【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题11已知向量是单位向量，若=0，且|+|2|=，则|+2|的取值范围是( )A1，3BC，D，3【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题【解答】解：因为=0，且|+|2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x1，
19、y），=（x，y2），则，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|+2|=表示（2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（2，0）到直线2x+y2=0的距离所以|+2|min=，最大值为（2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是，3；故选：D【点评】本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离等；关键是利用坐标法解答12已知定义在（0，+）上的单调函数f（x），对x（0，+），都有ff（x）log2x=3，则方程f（x）f（x）=2的解所在的区间是( )A（0，）B（1，2）C（，1）D（2，3）【考点】导
20、数的运算 【专题】导数的综合应用【分析】设t=f（x）log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案【解答】解：根据题意，对任意的x（0，+），都有ff（x）log2x=3，又由f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，则f（x）log2x为定值，设t=f（x）log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f（x）=，将f（x）=log2x+2，f（x）=
21、代入f（x）f（x）=2，可得log2x+2=2，即log2x=0，令h（x）=log2x，分析易得h（1）=0，h（2）=10，则h（x）=log2x的零点在（1，2）之间，则方程log2x=0，即f（x）f（x）=2的根在（1，2）上，故选：B【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若tan+=，（，），则sin（2+）+2coscos2的值为0【考点】二倍角的余弦 【专题】三角函数的求值【分析】由条件求得tan的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简所给的式子，求得
22、结果【解答】解：tan+=，（，），tan=3，或tan= （舍去），则sin（2+）+2coscos2=sin2cos+cos2sin+=sin2+cos2+=+=+=+=0，故答案为：0【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题14已知函数f（x）（xR）满足f（1）=1，且f（x）的导数f（x），则不等式f（x2）的解集为（，1）（1，+）【考点】导数的运算；其他不等式的解法 【专题】压轴题；导数的概念及应用【分析】设F（x）=f（x）x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x2）可得f（x2）f（1），最后根据单调性可求出x的取值范围【解答
23、】解：设F（x）=f（x）x，则F（x）=f（x）f（x），F（x）=f（x）0即函数F（x）在R上单调递减而f（x2）即f（x2）f（1）F（x2）F（1）而函数F（x）在R上单调递减x21即x（，1）（1，+）故答案为：（，1）（1，+）【点评】本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题15已知Sn是等差数列an（nN*）的前n项和，且S6S7S5，有下列五个命题：d0；S110；S120；数列Sn中的最大项为S11；|a6|a7|其中正确的命题是、（写出你认为正确的所有命题的序号）【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列
24、【分析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定，结合a60，a70，且a6+a70判断【解答】解：由题可知等差数列为an=a1+（n1）d，由s6s7有s6s70，即a70，由s6s5同理可知a60，则a1+6d0，a1+5d0，由此可知d0 且5da16d，s11=11a1+55d=11（a1+5d）0，s12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7），S7S5，S7S5=a6+a70，s120由a60，a70，且a6+a70，可知|a6|a7|即是正确的，是错误的故答案为：、【点评】本题主要考查等差数列的前n项和
25、公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题16已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4x），又f（x）=，函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（2，）【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用【分析】易知函数f（x），g（x）都是偶函数，所以只需判断F（x）在（0，+）上有两个不同的零点即可，也就是函数y=f（x）与y=g（x）的图象在y轴右侧有两个不同交点即可画出它们的函数图象，问题容易解决【解答】解：由题意可知f（x）是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2，且函数g（x）也是偶函数，因此只需做出x0时f（x），g（x）的图
26、象，然后此时产生两个不同交点即可作出函数f（x）、g（x）的图象如下：可知，若F（x）恰有4个零点，只需，即解得故答案为【点评】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图象进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设数列an满足a1=1，an+1=2an+1（1）求an的通项公式；（2）记bn=log2（an+1），求数列bnan的前n项和为Sn【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）通过对an+1=2an+1变形可得（an+1+1）=2（an+1），进而可得
27、an+1是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；（2）通过，可得bnan=n2nn，记A=121+222+n2n，利用错位相减法计算A2A的值，进而计算可得结论【解答】解：（1）an+1=2an+1，（an+1+1）=2（an+1）a1+1=20，an+10，an+1是以2为公比、2为首项的等比数列，；（2），记A=121+222+n2n，2A=122+（n1）2n+n2n+1，A=A2A=2+22+2nn2n+1=n2n+1=（1n）2n+12，A=（n1）2n+1+2，故【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18已知ABC的内角A、B、
28、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanAtanB的值；（2）求的最大值【考点】同角三角函数基本关系的运用；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用 【专题】计算题【分析】（1）利用两个向量的数量积公式以及两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanAtanB的值（2）把余弦定理代入式子，再应用基本不等式求出式子的最大值【解答】解：（1），由已知 得： （1cos（A+B）+=， 即 （1cos（A+B）+=，4cos（AB）=5cos（A+B），9sinAsinB=cosA cosB，tanAtanB=（2）= tanC= tan（A+B）= （tanA+tanB）2=
29、，（当且仅当 A=B 时等号成立），故 的最大值为【点评】本题考查两个向量的数量积公式，两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系以及余弦定理得应用19已知函数的最小正周期为3（I）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值；（II）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且abc，求角C的大小；（）在（II）的条件下，若，求cosB的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求，由时，可得：，根据正弦函数的图象和性质即可得解（II）由已知，由正弦定理结合s
30、inA0，可得，结合abc，即可求C的值（）由得，由（II）可求sinA，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值【解答】解：（I），由函数f（x）的最小正周期为3，即，解得，时，可得：，所以x=时，f（x）的最小值是3，时，f（x）的最大值是1（II）由已知，由正弦定理，有=，又sinA0，又因为 abc，（）由得，由知，【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查20已知函数f（x）=exax+a，其中aR，e为自然对数的底数（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设bR，若函数f（x）b对任意xR都成立，求ab的最
31、大值【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）通过函数f（x），得f（x），然后结合f（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；（2）对a的正负进行讨论：当a0时，f（x）b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0； 当a0时，由题结合（1）得ab2a2a2lna，设g（a）=2a2a2lna（a0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可【解答】解：（1）由函数f（x）=exax+a，可知f（x）=exa，当a0时，f（x）0，函数f（x）在R上单调递增；当a0时，令f（x）=exa=0，得x=lna，故当x（
32、，lna）时，f（x）0，此时f（x）单调递减；当x（lna，+）时，f（x）0，此时f（x）单调递增综上所述，当a0时，函数f（x）在单调递增区间为（，+）；当a0时，函数f（x）的单调递减区间为（，lna），单调递增区间为（lna，+）；（2）由（1）知，当a0时，函数f（x）在R上单调递增且当x时，f（x），f（x）b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0；当a0时，由函数f（x）b对任意xR都成立，可得bfmin（x），fmin（x）=2aalna，b2aalna，ab2a2a2lna，设g（a）=2a2a2lna （a0），则g（a）=4a（2alna+a）=3a2alna，由于a0
33、，令g（a）=0，得，故，当时，g（a）0，g（a）单调递增；当时，g（a）0，g（a）单调递减所以，即当，时，ab的最大值为【点评】本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题21设函数f（x）=（1+x）2mln（1+x），g（x）=x2+x+a（1）当a=0时，f（x）g（x）在（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）g（x）在0，2上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，
34、请说明理由【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（1）当a=0时，f（x）g（x）在（0，+）上恒成立，设（x）=，则f（x）g（x）在（0，+）上恒成立m（x）min，利用导数研究函数（x）的单调性极值最值即可；（2）函数h（x）=f（x）g（x）在0，2上恰有两个不同的零点等价于方程1+x2ln（1+x）=a在0，2上恰有两个相异实根令F（x）=1+x2ln（1+x），利用导数研究其单调性极值与最值可得Fmin（x）=F（1）=22ln2只要F（1）aF（2），可使方程h（x）在0，2上恰有两个不同的零点（3）存在满足
35、题意f（x）=2（1+x）=，函数f（x）的定义域是（1，+），对m分类讨论即可得出单调性，而函数g（x）在（1，+）上的单调递减区间是，单调递增区间是，解出即可【解答】解：（1）当a=0时，f（x）g（x）在（0，+）上恒成立，设（x）=，则f（x）g（x）在（0，+）上恒成立m（x）min，（x）=，当x（0，e1）时，（x）0；当x（e1，+）时，（x）0故（x）在x=e1处取得极小值，也是最小值，即（x）min=（e1）=e，故me（2）函数h（x）=f（x）g（x）在0，2上恰有两个不同的零点等价于方程1+x2ln（1+x）=a在0，2上恰有两个相异实根，令F（x）=1+x2ln（1
36、+x），则F（x）=，当（0，1时，F（x）0，当（1，2时，F（x）0，故F（x）在（0，1上递减，在（1，2上递增，故Fmin（x）=F（1）=22ln2且F（0）=1，F（2）=32ln3，因此F（0）F（2），只要F（1）F（2），即只要F（1）aF（2），可使方程h（x）在0，2上恰有两个不同的零点即a（22ln2，32ln3（3）存在满足题意f（x）=2（1+x）=，函数f（x）的定义域是（1，+），若m0，意f（x）0，函数f（x）在（1，+）上单调递增，不合题意；当m0时，由f（x）0，得2（1+x）2m0，解得x1+或x1（舍去），故m0时，函数f（x）的增区间是，单调递减区
37、间是，而函数g（x）在（1，+）上的单调递减区间是，单调递增区间是，故只需=，解得m=【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2x，aR（）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（）若对任意实数b（1，2），当x（1，b时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】（）将a=时代入函数f（x）解析式，求出函数f（x）的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后
38、列出x的取值范围与f（x）的符号及f（x）的单调性情况表，从表就可得到函数f（x）的极值；（）由题意首先求得：，故应按a0，a=0，a0分类讨论：当a0时，易知函数f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，从而当b（0，1）时f（b）f（0），则不存在实数b（1，2），符合题意；当a0时，令f（x）=0有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f（x）x（1，b的最大值，使其最大值恰为f（b），分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在【解答】解：（）当a=时，则，化简得（x1），列表如下：x（1，
39、0）0（0，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值增函数f（x）在（1，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=ln2，函数y=f（x）在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；（）由题意，（1）当a0时，函数f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，此时，不存在实数b（1，2），使得当x（1，b）时，函数f（x）的最大值为f（b）； （2）当a0时，令f（x）=0有x=0或，当，即a时，函数f（x）在（）和（0，+）上单调递增，在（）上单调递减，要存在实数b（1，2），使得当x（1，b时，函数f（x）的最大值为f（b），则f（）f（1），代入化简得，令（a），恒成立，故恒有，a时，恒成立；当，即0a时，函数f（x）在（1，0）和（）上单调递增，在（0，）上单调递减，此时由题，只需，解得a1ln2，又1ln2，此时实数a的取值范围是1ln2a；当a=时，函数f（x）在（1，+）上单调递增，显然符合题意综上，实数a的取值范围是1ln2，+）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能力，属难度较大的题目
