1、2从位移的合成到向量的加法 21向量的加法学习目标1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性知识链接1两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答不是两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模2向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；三角形法则适用于所
2、有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的预习导引1向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫作a与b的和(或和向量)，记作ab，即ab.上述求两个向量和的作图法则，叫作向量求和的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a00aa.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作a，b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则对角线上的向量ab，这个法则叫作两个向量求和的平行四边形法则2向量加法的运算律(1)交换律：abba
3、.(2)结合律：(ab)ca(bc).要点一向量的加法运算例1化简或计算：(1)_.(2)_.(3)在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC、BD交于点O.则_；_；_；_.答案(1)(2)0(3)0解析(1)().(2)()()0.(3)，0.规律方法(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点跟踪演练1如图，E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，化简下列各式：；.解；0.要点二利用向量证明几何
4、问题例2在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F、E，使BEDF(如图)用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形解，.又，即AE、FC平行且相等，四边形AECF是平行四边形规律方法用向量证明几何问题的一般步骤：要把几何问题中的边转化成相应的向量；通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系跟踪演练2下列命题：如果a，b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a，b之一的方向相同；在ABC中，必有0；若0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；若a，b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析如果a，b的方向相同则ab的
5、方向必与a，b相同如果a，b的方向相反，若|a|b|，则ab的方向与a相同，若|a|b|0，则向量ab的方向()A与向量a方向相同 B与向量a方向相反C与向量b方向相同 D与向量b方向相反答案A解析ab且|a|b|0，所以当a、b同向时，ab的方向与a相同，当a、b反向时，|a|b|，ab的方向仍与a相同2下列等式不正确的是()a(bc)(ac)b；0；.A B C D答案B解析满足向量加法的交换律与结合律，正确0，不正确()，正确3.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_.答案(1)(2)0(3)(4)4如图所示，P，Q是ABC的边BC
6、上两点，且BPQC.求证：.证明，.又BPQC且与方向相反，0，即.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合进行一、基础达标1下列三个命题：若ab0，bc0，则ac；的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；若ab0且b0，则a0.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D0答案B解析中，ab0，a、b的长度相等且方向相反又bc0，b、c的长度相等且方向相反，a、c的长度相等且方向相同，故ac，正确中
7、，当时，应有|及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有点A与点C重合，点B与点D重合，故错显然正确2如图在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A.，B.C.D.答案C3已知a，b为非零向量，且|ab|a|b|，则()Aab，且a与b方向相同Ba，b是共线向量且方向相反CabDa，b无论什么关系均可答案A4如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是()A.0B.0C.D.答案D解析0，0，0.故选D.5设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2C3 D4答案D解析因为点M为平行
8、四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知2，2，故4.6已知|1，且AOB60，则|_.答案解析如图所示，|，在OAC中，AOC30，|1，|.7设O是ABC内任一点，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点证明：.证明如图所示，因为，所以.因为D，E，F分别为各边的中点，所以()0.所以.二、能力提升8已知四边形ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是()A. B.C. D.答案C解析对于A，；对于B，；对于C，又，故；对于D，.9设|a|8，|b|12，则|ab|的最大值与最小值分别为_答案20,4解析当a与b共线同向时，|ab|max20；当a与b共线反向时
9、，|ab|min4.10已知点G是ABC的重心，则_.答案0解析如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GEED，则，0，0.11一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度和船实际速度解如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，AOC30，|5.四边形OACB为矩形，|5，|10，水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.12已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，且，.求证：四边形ABCD是平行四边形证明如图所示，.又，ABDC，且ABDC，四边形ABCD为平行四边形三、探究与创新13在四川512大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置解如图所示，设、分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的和位移，即，在RtABD中，|20 km，|20 km，在RtACD中，| 40 km，CAD60，即此时直升飞机位于A地北偏东30，且距离A地40 km处