1、2015-2016学年北京市教育学院附中高二（上）期中数学试卷（理科）（AB卷）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知命题 p：xR，x2，那么命题p为（）AxR，x2BxR，x2CxR，x2DxR，x22抛物线y2=8x的准线方程为（）Ax=2Bx=2Cy=2Dy=23直线x+aya=0与直线ax（2a3）y1=0互相垂直，则a的值是（）A2B3或1C2或0D1或04圆x2+y22x3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）A相交B相离C外切D内含5平行线 x2y=0与x2y5=0之间的距离为（）A5BCD26过点A （1，1）、B （1，1）且圆心在直线x+y
2、2=0上的圆的方程是（）A（x3）2+（y+1）2=4B（x+3）2+（y1）2=4C（x1）2+（y1）2=4D（x+1）2+（y+1）2=47直线ax+y+1=0与圆（x1）2+y2=1相切，则a的值为（）A0B1C2D18椭圆经过点（3，0），且离心率是，则该椭圆的标准方程为（）A +y2=1B +=1C +y2=1或+=1D +y2=1或+=19已知命题p：如果x1，则x2；命题q：xR，x2+1=0，则（）Apq是假命题Bp是假命题Cpq是假命题Dq是假命题10“ab0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空
3、题11命题“若x2，则x3”的否命题是_12双曲线=1的实轴长为_，离心率为_13已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=x，那么该双曲线的标准方程为_14已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为_15圆（x1）2+y2=4的圆心到直线2xy+3=0的距离是_，该圆与直线的位置关系为_（填相交、相切、相离）16圆x2+y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长为_三、解答题17已知直线l经过直线x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y1=0（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S18已知
4、三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为ABC的外接圆（）求圆M的方程；（）设直线y=kx1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值19已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点F到直线l：xy+1=0上（1）求抛物线C的方程；（2）设直线xy+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标B卷二、填空题20抛物线y=2x2的焦点坐标为_21已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_22若抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到y轴的距离为_23已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，
5、那么双曲线的渐近线方程为_24已知椭圆+y2=1的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且PF1F1F2，且|PF2|=_25若椭圆x2+=1的离心率为，则m的值为_三、解答题：解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）26已知椭圆+=1与直线y=2x+m交于A，B两个不同点（1）求m的取值范围；（2）若|AB|=，求m的值27已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由2015-2016学年北京市
6、教育学院附中高二（上）期中数学试卷（理科）（AB卷）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知命题 p：xR，x2，那么命题p为（）AxR，x2BxR，x2CxR，x2DxR，x2【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题 否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题 p：xR，x2，那么命题p为：xR，x2故选：B2抛物线y2=8x的准线方程为（）Ax=2Bx=2Cy=2Dy=2【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线y2=8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=8x的准线方程【解答】解：抛物线y2=8x的开口向左，2p=8
7、，抛物线y2=8x的准线方程为x=2故选A3直线x+aya=0与直线ax（2a3）y1=0互相垂直，则a的值是（）A2B3或1C2或0D1或0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直；当a0时，由斜率之积等于1求得a的取值的集合，再把a的取值的集合取并集，即得所求【解答】解析：当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直，当a0时，两直线的斜率分别为和，可得，解得a=2，此时两直线垂直，故a的取值为0或2，故选C4圆x2+y22x3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）A相交B相离C外切D内含【考点】圆与圆的位置关
8、系及其判定【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和两半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，从而可得结论【解答】解：把两圆化为标准方程得：（x1）2+y2=4，（x+1）2+（y+2）2=9，两圆心坐标分别为（1，0）和（1，2），R=2，r=3，两圆心间的距离d=323+2，两圆的位置关系是相交故选A5平行线 x2y=0与x2y5=0之间的距离为（）A5BCD2【考点】两条平行直线间的距离【分析】根据两平行线之间的距离为，运算求得结果【解答】解：两平行线 x2y=0与x2y5=0，故它们之间的距离为=，故选C6过点A （1，1）、B （1，1）且圆心在直线x+y2=0
9、上的圆的方程是（）A（x3）2+（y+1）2=4B（x+3）2+（y1）2=4C（x1）2+（y1）2=4D（x+1）2+（y+1）2=4【考点】圆的标准方程【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y2=0上验证D选项，不成立故选C7直线ax+y+1=0与圆（x1）2+y2=1相切，则a的值为（）A0B1C2D1【考点】圆的切线方程【分析】根据直线ax+y+1=0与圆（x1）2+y2=1相切，得到圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式列出关于a的
10、方程，解方程即可【解答】解：直线ax+y+1=0与圆（x1）2+y2=1相切，圆心到直线的距离等于半径，1=，a=0故选A8椭圆经过点（3，0），且离心率是，则该椭圆的标准方程为（）A +y2=1B +=1C +y2=1或+=1D +y2=1或+=1【考点】椭圆的标准方程【分析】由题意分椭圆焦点在x轴或y轴分类设出椭圆的标准方程，并得到a（或b）的值，结合已知条件即可求得答案【解答】解：当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为，则a=3，又，得c=2，b2=a2c2=1，椭圆方程为；当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为（ab0），则b=3，又，a2=b2+c2，联立解得a2=81，b2=9，椭圆方程为
11、椭圆的标准方程为+y2=1或+=1故选：C9已知命题p：如果x1，则x2；命题q：xR，x2+1=0，则（）Apq是假命题Bp是假命题Cpq是假命题Dq是假命题【考点】四种命题的真假关系【分析】由已知中命题p：如果x1，则x2；命题q：xR，x2+1=0，结合实数的性质，我们可以判断出命题p与命题q的真假，再由复合命题的真值表，分别判断四个答案的真假，即可得到结论【解答】解：命题p：如果x1，则x2为真命题，故B错误；又命题q：xR，x2+1=0，为假命题故pq是真命题，故A错误，pq是假命题，故C正确；q是真命题，故D错误；故选C10“ab0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A充分
12、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】椭圆的标准方程【分析】由“ab0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，“方程ax2+by2=1表示椭圆”“ab0”，所以“ab0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件【解答】解：由“ab0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a0，b0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”“方程ax2+by2=1表示椭圆”“ab0”，“ab0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件故选B二、填空题11命题“若x2，则x3”的否命题是“若x2，则x3”【考点】四种命题【分析】根据命题“若p，
13、则q”的否命题是“若p，则q”，写出它的否命题即可【解答】解：命题“若x2，则x3”的否命题是“若x0，则x3”故答案为：“若x2，则x3”12双曲线=1的实轴长为4，离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】直接利用双曲线方程求解实轴长，离心率即可【解答】解：双曲线=1可得a=2，b=3，c=，双曲线的实轴长为：4，离心率为：故答案为：4；13已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=x，那么该双曲线的标准方程为【考点】双曲线的标准方程【分析】由双曲线的渐近线的方程为y=x，可知双曲线为等轴双曲线，且e=，根据顶点为（2，0），即可求得a和b的值，求得双曲线方程【解答】解：双曲线的
14、渐近线的方程为y=x，双曲线为等轴双曲线，且e=，双曲线的一个顶点为（2，0），c2=a2+b2，a=b=2，双曲线的标准方程为：故答案为：14已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为8【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】因为过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，所以，两直线的斜率相等【解答】解：直线2x+y1=0的斜率等于2，过点A（2，m）和B（m，4）的直线的斜率k也是2，解得：m=8故答案为：815圆（x1）2+y2=4的圆心到直线2xy+3=0的距离是，该圆与直线的位置关系为相离（填相交、相切、相离）【考点】直线
15、与圆的位置关系；点到直线的距离公式【分析】圆（x1）2+y2=4的圆心是（1，0），利用点到直线的距离能求出圆心到直线2xy+3=0的距离，再由圆的半径能判断出该圆与直线的位置关系【解答】解：圆（x1）2+y2=4的圆心是（1，0），圆心（1，0）到直线2xy+3=0的距离d=，圆（x1）2+y2=4的半径r=2，该圆与直线相离故答案为：，相离16圆x2+y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长为【考点】直线与圆相交的性质【分析】求出圆的圆心坐标，求出半径，利用圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，即可得到结果【解答】解：圆x2+y24x+4y+6=0的圆心坐标（2，2），半径为；
16、圆到直线的距离为： =，又因为半径是，所以半弦长为=；弦长为故答案为三、解答题17已知直线l经过直线x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y1=0（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式【分析】（1）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x+2y1=0垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；（2）分别令x=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积【解
17、答】解：（1）由解得，由于点P的坐标是（，）则所求直线l与x+2y1=0垂直，可设直线l的方程为2xy+m=0把点P的坐标代入得2（）+m=0，即m=所求直线l的方程为2xy+=0即14x7y+26=0（2）由直线l的方程知它在x轴y轴上的截距分别是，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S=18已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为ABC的外接圆（）求圆M的方程；（）设直线y=kx1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值【考点】圆的一般方程【分析】（）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得D，E，F的值，则圆的方程可求；（）由（）得圆M的圆心为（2，1），
18、半径为，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k的值【解答】解：（）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0点A（0，0），B（4，0），C（3，1）在圆M上，则，解得：D=4，E=2，F=0ABC外接圆的方程为x2+y24x+2y=0；（）由（）圆M的圆心为（2，1），半径为又，圆M的圆心到直线y=kx1的距离为，解得：k2=15，k=19已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点F到直线l：xy+1=0上（1）求抛物线C的方程；（2）设直线xy+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（1）根据抛物线的
19、标准方程，将焦点F（0， p）代入直线l方程算出p=2，即可得到抛物线C的方程；（2）将直线l方程与抛物线C消去y，得x2x1=0由根与系数的关系和中点坐标公式，即可算出线段PQ中点M的坐标【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F（0， p）0p+1=0，可得p=2，因此抛物线C的方程是x2=4y；（2）由，消去y得x2x1=0设P（x1，y1），Q（x2，y2）x1+x2=4，可得中点M的横坐标为（x1+x2）=2，代入直线l方程，得纵坐标为yM=xM+1=3即线段PQ中点M的坐标（2，3）B卷二、填空题20抛物线y=2x2的焦点坐标为（0，）【考点】抛物线的简单性质【分析
20、】先将抛物形式化简为标准形式，求出p的值，进而得到焦点坐标【解答】解：抛物线的标准形式是，p=焦点坐标为：（0，）故答案为（0，）21已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍，可求椭圆的离心率【解答】解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，a=2b=故答案为：22若抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到y轴的距离为4【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F
21、的距离|MF|=5，则M到准线的距离为5，则点M到y轴的距离为：4故答案为：423已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为y=x【考点】双曲线的简单性质【分析】根据椭圆的标准方程求出c，利用双曲线的离心率建立方程求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：椭圆的标准方程为+=1，椭圆中的a1=5，b1=3，则c=4，双曲线的焦点与椭圆+=1的焦点相同，双曲线中c=4，双曲线=1（a0，b0）的离心率为2，e=2，则a=2在双曲线中b=2，则双曲线的渐近线方程为y=x=x=x，故答案为：y=x24已知椭圆+y2=1的两个焦点F1，F2，
22、点P在椭圆上，且PF1F1F2，且|PF2|=3.5【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的性质分别求得|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，由PF1F1F2，根据勾股定理即可求得|PF2|的值【解答】解：由椭圆的性质可知：a=2，b=1，c=，|PF1|+|PF2|=2a=4，|F1F2|=2c=2，由勾股定理可知：|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，（4|PF2|）2+12=|PF2|2，解得：|PF2|=3.5，故答案为：3.525若椭圆x2+=1的离心率为，则m的值为4或【考点】椭圆的简单性质【分析】当 m1时，由离心率的定义可得=，当 m1时，由离心率的定义知=，解方
23、程求出m的值【解答】解：当 m1时，由离心率的定义知=，m=4，当 m1时，由离心率的定义知=，m=，故答案为：4 或三、解答题：解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）26已知椭圆+=1与直线y=2x+m交于A，B两个不同点（1）求m的取值范围；（2）若|AB|=，求m的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系【分析】（1）通过直线l与椭圆交于A、B两不同点可知联立椭圆与直线方程后的一元二次方程中的根的判别式大于零，进而计算可得结论；（2）利用弦长公式列出方程求解即可【解答】解：（1）椭圆+=1，直线l：y=2x+m，代入椭圆方程化简得：24x2+20mx+5m220=
24、0，直线l与椭圆交于A、B两不同点，=400m2424（5m220）0，解得：2m2；（2）24x2+20mx+5m220=0，xA+xB=，xAxB=，弦AB长为|xAxB|=解得：m=27已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐
25、标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可【解答】解：（1）椭圆C：x2+3y2=3，椭圆C的标准方程为： +y2=1，a=，b=1，c=，椭圆C的离心率e=；（2）AB过点D（1，0）且垂直于x轴，可设A（1，y1），B（1，y1），E（2，1），直线AE的方程为：y1=（1y1）（x2），令x=3，得M（3，2y1），直线BM的斜率kBM=1；（3）结论：直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，又直线DE的斜率kDE=1，BMDE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x1）（k1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y1=（x2），令x=3，则点M（3，），直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k2）x26k2x+3k23=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，kBM1=0，kBM=1=kDE，即BMDE；综上所述，直线BM与直线DE平行2016年9月14日
