1、函数模型的应用实例基础过关练题组一一次函数、二次函数模型的应用1.(2020江西南昌八一中学高一质检)我们定义函数y=x(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y=x(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”.例如4.3=4,5=5;4.3=5,5=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元;超过1小时,但不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若某人停车时间为x小时,则他应付费为()A.2x+1元B.2(x+1)元C.2x元D.2x元2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若
2、每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知该商品的进价为3元/件,并规定其销售价格不低于商品进价,且不高于12元/件.该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.(1)试求y关于x的函数解析式;(2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大?4.(2020福建平潭新世纪学校高一期中)某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6
3、元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.规定:每辆自行车的日租金不超过20元,且每辆自行车的日租金x(单位:元)只取整数,并要求出租自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用y(单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域;(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?题组二指数函数、对数函数模型的应用5.(2020山东德州高一期末)1943年,我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究,这一研究成果使病毒
4、在试管内繁殖成为现实,从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为y=2t-1,且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异,则该种病毒细胞实验最多进行的天数为(lg20.3010)()A.25B.26C.27D.286.(2021黑龙江哈尔滨三中高一月考)渔民出海打鱼,为了保证运回的鱼的新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨,是氨的衍生物,它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体开始变质,进而腐败),鱼被打上船后,要在最短的时间内将其分拣、冷藏.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后
5、时间t(分)满足的函数关系式为h=mat,若出海后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%,出海后30分钟,这种鱼失去的新鲜度为40%,那么若不及时处理,打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度(参考数据:lg20.3)()A.33分钟B.43分钟C.50分钟D.56分钟7.(2020河北唐山11校联盟高一上期中)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.52x+2+5x(xN*),若每台产品的售价为8万元,则当产量为7台时,生产者可获得的利润为万元.8.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t(单位:min)后的温度是
6、T,则T-Ta=(T0-Ta)12th,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯88的速溶咖啡,放在24的房间中,如果咖啡降温到40需要20min,那么降温到35时,需要多长时间?题组三分段函数模型的应用9.已知A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地,把汽车与A地的距离s表示为时间t的函数,其解析式是()A.s=60tB.s=60t+50tC.s=60t(0t2.5)150(2.5t3.5)150-50(t-3.5)(3.53.5)10.如图所示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城到乙城所行驶的路程与
7、时间之间的函数关系,已知甲、乙两城相距80km,有人根据函数图象,提出了关于这两位旅行者的如下信息:骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者;骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者的速度一样.其中所有正确信息的序号是. 11.(2020陕西高一月考)为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明,该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y=kt,0t12,1kt,t12,其图象如图所示,实验表明,当药物释放量y0.75(mg/m3)时,对人体无害.(1)k=;(2)为了不使
8、人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.12.(2020山东青岛高一上期中)某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下,充分利用自身资源,大力发展养殖业,以增加收入.政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析后发现养鱼的收益M(单位:万元)、养鸡的收益N(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足M=4a+25,15a36,49,360且a1),它的图象如图所示,给出以下命题:池塘中原有浮草的面积是0.5平方米;第8个月浮草的面积超过60平方米;浮草每月增加的面积都相等
9、;若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2t1+t3.其中所有正确命题的序号为.5.(2020河北石家庄二中高一上月考,)图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图2方案是,图3方案是.6.(2020北京房山高一期末,)某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量q满足关系式:q=1|T|d(1l2d+2),其中玻
10、璃的热传导系数1=410-3焦耳/(厘米摄氏度),不流通、干燥空气的热传导系数2=2.510-4焦耳/(厘米摄氏度),T为室内外温度差,q值越小,保温效果越好.现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:型号每层玻璃厚度d(单位:厘米)两层玻璃间夹空气层厚度l(单位:厘米)A型0.53B型0.54C型0.62D型0.63则保温效果最好的双层玻璃的型号是型.三、解答题7.(2020湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,)某机构通过对某企业2020年的生产经营情况的调查得到每月利润y(单位:万元)与相应月份x的部分数据,如下表:x14712y229244241196(1)根据上表数据,请在
11、y=ax3+b,y=-x2+ax+b,y=abx三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系,并说明理由;(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.8.(2020福建厦外高一上期中,)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元1600万元的投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金总数不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即设奖励方案的函数模型为y=f(x)时,公司对此函数模型的基本要求是:当x25,1600时,f(x)是增函数;f(x)75恒成立;f(x)x
12、5恒成立(1)判断函数f(x)=x30+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求,并说明理由;(2)已知函数g(x)=ax-5(a1)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.9.(2020湖南宁乡一中高一月考,)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t(0,14时,曲线是二次函数图象的一部分,当t(14,40时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a0且a1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p不小于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)有一道数学难题,讲解需要22分钟,问
13、老师能否经过合理安排,在学生听课效果最佳时讲完?请说明理由.答案全解全析第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例基础过关练1.C2.C5.C6.A9.C1.C当x=1时,应付费2元,此时2x+1=4,2(x+1)=4,故排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时2x=1,故排除D,故选C.2.C设利润为L(x)万元,则L(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000,0x240,xN*,令L(x)0,得150x0,解得x2.3.xN,x3,3x6,且xN.当6x20时,y=50-3(x-6)x-115=-3x2+68x-115.综上,y
14、=50x-115,3x6,xN,-3x2+68x-115,6x20,xN.(2)当3x6,且xN时,y=50x-115,是增函数,当x=6时,ymax=185.当6185,当每辆自行车的日租金定在11元时,才能使日净收入最多,最多为270元.5.C令y=2t-1=108,则t-1=log2108=8log210,所以t=8log210+1=81lg2+127.6,故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.故选C.6.A由题意,可得ma20=0.2,ma30=0.4,解得a=2110,m=0.05,故h=0.052t10,令0.052t10=0.5,可得2t10=10,两边同时取常用对数,得t10
15、lg2=1,故t=10lg2100.333分钟,故选A.7.答案17解析当产量为7台时,总成本y=0.527+2+57=39,则生产者可获得的利润为78-39=17(万元).8.解析由题意知40-24=(88-24)1220h,整理,得14=1220h,解得h=10,故T-24=(88-24)12t10.将T=35代入上式,得35-24=(88-24)12t10,即12t10=1164,两边取对数,用计算器求得t25.因此,需要约25min,可降温到35.9.C由A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,可得从A地到B地需用2.5小时,以50km/h的速度返回A地
16、,可得从B地到A地需用3小时,当0t2.5时,s=60t,当2.5t3.5时,s=150,当3.5t6.5时,s=150-50(t-3.5),综上,s=60t(0t2.5),150(2.5t3.5),150-50(t-3.5)(3.5t6.5),故选C.10.答案解析看时间轴易知正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此正确;两个图象的交点表示此时两者行驶的路程相同,故正确,错误.11.答案(1)2(2)40信息提取药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系式与图象;药物释放量y0.75(mg/m
17、3)时,对人体无害.数学建模以消毒药物释放量为情境,构建药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系,根据释放量对人体的影响指数,分析、解决问题.解析(1)由题图可知,当t=12时,y=1,所以1k12=1,解得k=2.(2)由题意可得t12,12t23,所以为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过2360=40分钟人方可进入房间.12.解析(1)当甲合作社的投入为25万元时,乙合作社的投入为47万元,此时两个合作社的总收益为f(25)=425+25+1247+20=88.5万元.(2)甲合作社的投入为x(15x57)万元,则乙合作社的投入为(72-x
18、)万元,当15x36时,3672-x57,则f(x)=4x+25+12(72-x)+20=-12x+4x+81,令t=x,得15t6,则总收益为g(t)=-12t2+4t+81=-12(t-4)2+89,显然当t=4时,g(t)max=89=f(16),即当甲合作社的投入为16万元,乙合作社的投入为56万元时,总收益最大,最大总收益为89万元.当36x57时,1572-x36,则f(x)=49+12(72-x)+20=-12x+105,显然f(x)在(36,57上单调递减,所以f(x)87,当甲合作社的投入为16万元,乙合作社的投入为56万元时,总收益最大,最大总收益为89万元.能力提升练1.
19、D2.A3.C一、选择题1.D观察题中函数图象可知,行走的路线应是闭合图形,且中间有一段时间离家的距离是个定值,所以A,B,C三个选项均不符合,只有D选项正确.故选D.2.A依题意得2m=64,218k+m=16,解得m=6,k=-19.y=2-19x+6.当x=36时,y=2-1936+6=22=4,故选A.3.C如图所示,设DE的长为x,在矩形中与DE相邻的边长为y,由题可知,ADEABC,则有AMAF=DEBC,即30-y30=x30,整理,得y=30-x,0x30,矩形面积S=xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,0x0且a1)的图象经过点(2,2),所以2=a2-1,解得a
20、=2.所以y=2t-1.当t=0时,y=12,故正确.当t=8时,y=28-1=27=12860,故正确.当t=1时,y=1,增加0.5平方米,当t=2时,y=2,增加1平方米,故浮草每月增加的面积不相等,故错误.令2t1-1=10,解得t1=log210+1,同理,t2=log220+1,t3=log230+1,所以2t2=2log220+2=log2400+2t1+t3=log2300+2,故正确.故答案为.5.答案票价不变,降低成本;增加票价解析由题图1知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示当有10人乘车时,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损
21、,AB延长线上的点表示盈利.题图2与题图1相比,两图中对应的一次函数的一次项系数不变,在y轴上的截距减小,则题图2表示票价不变,降低成本;题图3与题图1相比,一次项系数增大,即增加票价.6.答案B解析由题意知,当1,T的值一定时,d1l2d+2的值越大,q的值越小.A型双层玻璃窗户:d1l2d+2=0.5410-332.510-40.5+2=49;B型双层玻璃窗户:d1l2d+2=0.5410-342.510-40.5+2=65;C型双层玻璃窗户:d1l2d+2=0.6410-322.510-40.6+2=33.2;D型双层玻璃窗户:d1l2d+2=0.6410-332.510-40.6+2=
22、49.2.根据q=1|T|d1l2d+2,且q值越小,保温效果越好,可知保温效果最好的双层玻璃的型号是B型.三、解答题7.解析(1)由题表中的数据知,描述每月利润y(单位:万元)与相应月份x的变化关系的函数不是单调函数,所以应选取二次函数y=-x2+ax+b进行描述.(2)将(1,229),(4,244)代入y=-x2+ax+b,得229=-1+a+b,244=-16+4a+b,解得a=10,b=220,y=-x2+10x+220=-(x-5)2+245,1x12,xN*,x=5时,ymax=245万元.8.解析(1)不符合,理由:对于函数模型f(x)=x30+10,当x25,1600时,f(
23、x)是单调递增函数,f(x)f(1600)=190375,显然成立,若函数f(x)x5恒成立,则x30+10x5,解得x60.在x25,1600时,f(x)x5不恒成立.综上所述,函数模型f(x)=x30+10满足基本要求,但是不满足,故函数模型f(x)=x30+10不符合要求.(2)当x25,1600时,g(x)=ax-5(a1)单调递增,最大值g(1600)=a1600-5=40a-575,a2.设g(x)=ax-5x5恒成立,则a2x5+x52恒成立,即a225x+2+x25.易知当x=25时,25x+x25取得最小值2.a22+2=4.a1,1a2,故a的取值范围为1,2.9.解析(1
24、)当t(0,14时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c0),将点(14,81)代入,得c=-14,所以当t(0,14时,p=f(t)=-14(t-12)2+82;当t(14,40时,将点(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=13.所以当t(14,40时,p=f(t)=log13(t-5)+83.综上,p=f(t)=-14(t-12)2+82,t(0,14,log13(t-5)+83,t(14,40.(2)当t(0,14时,令-14(t-12)2+8280,解得12-22t12+22,所以t12-22,14;当t(14,40时,令log13(t-5)+8380,解得522,所以,老师能够经过合理安排,在学生听课效果最佳时讲完题目.
