1、数学试题（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：必须在答题卡上指定的位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效.第卷（选择题，共54分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂.1. 已知集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解即可.【详解】由集合得.故选：B.2. 复数的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算化简再利用模长公式得解.【详解】由已知，故选B【点睛】本题考查复
2、数除法运算及模长公式，属于基础题.3. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)20=0.3.又因为低于60分的人数是15人，所以该班的学生人数是150.3=50.本题选择B选项.4. 已知，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简，从而可得结果.【详
3、解】解：由，得，所以，所以，故选：C【点睛】此题考查诱导公式的应用，属于基础题5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出 的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 7【答案】C【解析】试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出选C.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 集合A=2,3,B=1,2,3,从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率
4、是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，从，中各任意取一个数，共有种不同的取法，其中这两数之和等于，共有两种选法，所以概率为，故选C考点：古典概型及其概率的计算7. 下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是（ ）A. （0，1）B. C. （-1.0）D. 【答案】B【解析】【分析】通过，2验证不等式是否成立，排除选项、即可得到正确选项【详解】利用特殊值排除选项，不妨令时，代入，得到，显然不成立，选项不正确；当时，代入，得到，显然不正确，排除；当时，代入，得到，显然不正确，排除故选：【点睛】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题
5、的一种技巧当然可以直接解答，过程比较复杂,属于中档题8. 已知函数A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：设，则，所以，所以答案为D.考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.9. 已知点A，抛物线C：的焦点F射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），定点A（2，0），抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y轴的交点P，则FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），直线FA为：x+2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N（4，-1），=.10. 如图，已知，圆心在上
6、，半径为的圆在时与相切于点，圆沿以的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为，令，则与时间，单位：的函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得，利用二倍角公式可求得函数的解析式，由此可得出函数的图象.【详解】如下图所示：当时，圆心在直线下方，设直线、的交点为，圆位于直线上方的圆弧交直线于点，则，由题意可知，圆弧的弧长为，则，从而可得，所以，所以，则二次函数在区间上单调递减，且，所以，函数的图象如B选项中函数的图象.故选：B.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置；（3）从函数
7、的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项但需要确定函数解析式，确定函数的解析式是解本题的关键.11. 已知直三棱柱( )A B. C. D. 【答案】C【解析】因为直三棱柱中，AB3，AC4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D，则OD底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R13，即R12. 已知椭圆的左焦点为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】代入得，解得,由此可得三角形ABF为直角三角形OF=5
8、，即c=5.由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为时，,【考点定位】本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填写在题中的横线上)13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_.【答案】【解析】【分析】先根据三视图得出该几何体是一个圆柱体中间挖去一个正四棱柱而成，然后将圆柱的体积减去正四棱柱的体积即可.【详解】由三视图可知，直观图为一个圆柱体中间挖去一个正四棱柱，且圆柱的底面半径为，高为，圆柱的体积为，正四棱柱的底面边长为，高为，正四棱柱的体积为，因此，该几何体的体积为，故答案为.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，利
9、用三视图确定几何体的组合方式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.14. 已知变量满足约束条件，则的最大值是 【答案】5【解析】【分析】画出可行域如图，最优解为， 的最大值5 【考点定位】线性规划求最值问题【详解】15. 设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|a，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】【详解】【分析】考点：此题主要考查三角函数的最值、最值问题的应用（恒成立问题），考查分析问题和解决问题的能力.16. 若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_.【答案】(x2)2(y)2【解析】设圆圆心坐标，半径为，因为圆经
10、过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17. 已知函数，的三个内角的对边分别为.（1）求的单调递增区间；（2）若求角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化简，令解不等式即可求解；（2）由可得，即可得，可得，再利用正弦定理即可求出，进而可得，进一步求出角.【详解】，（1）令，解得：，所以的单调递增区间为（2）因为所以，因为，所以，所以，可得，所以，由正弦定理可得，所以，因为，所以，所以.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟练运用二倍角公式和三角函数得性质，将看成一个整体，
11、第二问需要先求出的值，利用正弦定理求，结合小边对小角求角.18. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1中点.求证： (1)直线BC1平面EFPQ.(2)直线AC1平面PQMN.【答案】（1）见解析(2) 见解析【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）只需利用三角形中位线定理证明直线BC1平行于平面EFPQ内一条直线FP即可；（2）只需证明直线AC1垂直于平面PQMN内两条相交直线MN，PN即可试题解析：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所
12、以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1=C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N，所以直线AC1平面PQMN.点晴：本题第一问考查的是直线与平面平行的判定通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂
13、直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等19. 某学校有12个小学班级，12个初中班级，6个高中班级，现采取分层抽样的方法从这些班级中抽取5个班级对学生进行视力调查.（1）求应从小学初中高中的班级中分别抽取的数目；（2）若从抽取的5个班级中随机抽取2个班级做进一步数据分析，求抽取的2个班级中至少有一个小学班级的概率.【答案】（1）抽取2个小学班级，2个初中班级，1个高中班级；（2）.【解析】【分析】（1）根据题中条件，先求出抽样比，进而可得出结果；（2）由（1）的结果，记抽取的2个小学班级为，；2个初中班级为，1个高中班级为；用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事
14、件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意，采取分层抽样的方法从这些班级中抽取5个班级，则抽样比为，因此应从小学班级中抽取个；从初中班级中抽取个；从高中班级中抽取个；（2）由（1），分别记抽取的2个小学班级为，；2个初中班级为，1个高中班级为；从这5个班级中随机抽取2个班级，所包含的基本事件有：，共个；抽取的2个班级中至少有一个小学班级所包含的基本事件有：，共个；则抽取的2个班级中至少有一个小学班级的概率为.【点睛】方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古
15、典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.20. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，求使的动点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线方程，先得焦点坐标，得到，推出；再由抛物线的焦半径公式，求出点坐标，代入椭圆方程，得到与的关系式，进而可求出结果；（2）设，根据题意，得到，再由，整理得到，分和两种情况，即可求出结果.【详解】（1）因为抛物线焦点为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，因此；又
16、椭圆与抛物线在第一象限的交点为，根据抛物线的定义可得，则，代入可得，又点在椭圆上，所以，即，由可得，即所求椭圆方程为；（2）设，则，又，所以，即因为，在椭圆上，所以，两式作差可得，将代入得，当时，得设的中点为，则的坐标为，因为、四点共线，所以，即，将代入得，整理得；当时，可得点的坐标为，经检验，点在曲线上，所以动点的轨迹方程为.【点睛】方法点睛：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果；有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果.21. 已知函数f (x)a
17、 lnxx (a0)(1)若曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f (x)的单调性【答案】(1) a1或a.(2) 当a0时,f(x)在(a,)上单调递增,在(0,a)上单调递减当a0时,因为x0,由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得xa；由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得0xa.所以函数f(x)在(a,)上单调递增,在(0,a)上单调递减当a0,由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得x2a；由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得0x0时,f(x)在(a,)上单调递增,在(0,a)上单调递减当a0时,所以函数f(x)在(0,
18、2a)上单调递减,在(2a,)上单调递增.点睛：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，切线的方程，对导数的基础知识的运用的灵活是解题关键，是一道综合题请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分选修41：几何证明选讲22. 如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED.【答案】（1）详见解析；（2） 详见解析.【解析】试题分析：（1）由切割线定理得PDA=DBA,由PG=PD,得PGD=EGA,所以DBA=EGA,
19、即B,D,F,G四点共圆，从而BDA=PFA.而AFEP,所以PFA=90, BDA=90（2）由AC=BD,可得DCAB，所以DCEP，即ED为直径.因此AB=ED.试题解析：证明(1)因为PD=PG,所以PDG=PGD.由于PD为切线,故PDA=DBA,又由于PGD=EGA,故DBA=EGA,所以DBA+BAD=EGA+BAD,从而BDA=PFA.由于AFEP,所以PFA=90,于是BDA=90.故AB是直径.(2)连结BC,DC.由于AB是直径,故BDA=ACB=90.在RtBDA与RtACB中,AB=BA,AC=BD,从而RtBDARtACB.于是DAB=CBA.又因为DCB=DAB,
20、所以DCB=CBA,故DCAB.由于ABEP,所以DCEP,DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.选修44：坐标系与参数方程23. 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数).（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用所给参数方程消去参数即可求得普通方程；（2）首先求得圆心到直线的距离，据此得到关于实数的不等式，求解不等式即可求得最终结果【详解】解：（1）直线的参数方程为，消去可得；圆的参数方程为，两式平方相加可得；（2）因为，所以圆心，半径由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离直线与圆有公共点，即，解得，即【点睛】本题考查了参数方程与普通方程互化，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题选修45：不等式选讲24. 设函数=（）证明：2；（）若，求的取值范围【答案】（）证明见解析；（）（，）【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式求得函数的最小值，然后利用基本不等式即可证明；（2）先求得，然后对参数分情况讨论求得的范围.【详解】（I）由，有，2（）当时3时，=，由5得3；当03时，=，由5得3综上：的取值范围是（，）【点睛】本题主要考查绝对值不等式的最值及绝对值不等式的解法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.
