1、课堂导学三点剖析一、二项展开式的通项【例1】 已知展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有有理项.解析:依题意,前三项系数的绝对值是1, ,且所以n2-9n+8=0.所以n =8(n =1舍).所以Tr+1=(1)若Tr+1为常数项,当且仅当=0时,即3r=16.因为rN,这不可能,所以展开式中没有常数项.(2)若Tr+1为有理项,当且仅当为整数.因为0r8,rN,所以r为4的倍数.所以r=0,4,8.则有理项为T1=x4,T5=温馨提示对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练,是解决类似问题的关键.二、利用二项式定理求系数的和【例2】 已知展
2、开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992,求展开式中系数最大的项.解析:令x=1得各项系数的和为(1+3)n=4n,而各项的二项式系数的和为由已知4n=2n+992,2n=32(2n=-31舍),n=5,设第r+1项系数最大,则r,又rN,r=4.系数最大的项是第5项.T5=.温馨提示(1)赋值法是解决二项展开式有关系数(或二项式系数)“和”问题的一般方法.(2)要注意系数和二项式系数的本质区别.三、二项式定理的综合应用【例3】 (1)9192除以100的余数是几?(2)求证:32n+2-8n-9(nN*)能被64整除.(1)解:9192=(90+1) 92=90 92+90 91+90
3、2+90+1,由于前面各项均能被100整除,只有末尾两端不能被100整除,由于90+1=8 281=8 200+81,被100除余81.(2)证明:32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=(8n+1+C1n+18n+8 n-1+8+1)-8n-9=8n+1+8n+8n-1+82,而上式各项均为64的倍数,32n+2-8n-9(nN*)能被64整除.温馨提示用二项式定理证明整除问题时,首先需注意(ab)n中,a、b中有一个必须是除数的倍数,其次,展开式的规律必须清楚余项是什么,必须写出余项,同理可处理系数的问题.各个击破类题演练 1求展开式中的常数项.解析:由于本题
4、只是5次展开式,可以直接展开(x+)-15,即(x+)-15=(x+)5-5(x+)4+10(x+)3-10(x+)2+5(x+)-1.由x+的对称性,只有在(x+)的偶次幂中,其展开式才会出现常数项,且是各自的中间项,所以其常数项为=-51.变式提升 1若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是()A.1B.-1C.0D.2解析:(2x+3)4=,a0= (3)4=9,a1=21(3)3=243,a2=22(3)2=72,a3=233=323,a4=24=16.(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=972-(563)2=9
5、 409-9 408=1.答案:A类题演练 2(1)若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)2-(a1+a3)2的值为()A.-1B.1C.0D.2(2)(2x+)3的展开式中各项二项式系数之和为_.解析:(1)令x=1,则(2+)3=a0+a1+a2+a3,令x=-1,则(-2+)3=a0-a1+a2-a3,相乘得(a0+a2)2-(a1+a3)2=(a0+a2)+(a1+a3)(a0+a2)-(a1+a3)=(2+)3(-2+)3=(-1)3=-1,选A.(2)各项二项式系数之和为=23=8.答案:(1)A(2)8变式提升 2等于()A.3210B.3 10C.D
6、.解析:观察结构与二项展开式结构作比较,发现.所以原式=,选D.答案:D类题演练 3求证:对任何自然数n,33n-26n-1可被676整除.证明:当n=0时,原式=0,可被676整除;当n=1时,原式=0,也可被676整除;当n2时,原式=27n-26n-1=(26+1)n-26n-1=(+262+26+1)-26n-1=26n+26n-1+262.每一项都含262这个因数,故可被262=676整除.综上所述,对一切自然数n,33n-26n-1可被676整除.变式提升 3(1)设(1+x)3+(1+x)4+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+a3x3+a50x50,则a3为()A. B. C. D.(2)(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是()A.-297B.-252C.297D.207解析:(1)(1+x)3+(1+x)4+(1+x)50=,x3的系数a3,即为(1+x)51展开式中x4项的系数,选B.(2)(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为=207,选D.答案:(1)B(2)D
