1、31.2 复数的几何意义第三章 数系的扩充与复数的引入 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系 2.掌握实轴、虚轴、复数的模等概念 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法第三章 数系的扩充与复数的引入1复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_，x 轴叫做_，y 轴叫做_实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复平面实轴虚轴2复数的两种几何意义(1)复数 zabi(a，bR)一一对应 复平面内的点 Z(a，b)(2)复数 zabi(a，bR)一一对应 平面向量OZ.3复数的模复数 zabi(a，bR)对应的向量为OZ，则OZ 的模
2、叫做复数z 的模，记作|z|或|abi|，且|z|_a2b21复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点 Z 的横坐标是a，纵坐标是 b，复数 zabi(a，bR)可用点 Z(a，b)表示2实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数3虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是 z00i0，表示的是实数4复数与向量的对应：复数 zabi(a，bR)的对应向量是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ 相等的向量有无数个判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)原点是实轴和虚轴的交点()(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点
3、表示纯虚数()(3)若|z1|z2|，则 z1z2.()答案：(1)(2)(3)复数 z13i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限答案：D 设复数 z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数 a 的取值范围是()Aa1 B1a1 Da0解析：选 B.|z1|a24，|z2|（2）212 5，因为|z1|z2|，所以 a245，即 a21，所以1a1.向量AB(2，3)对应的复数 z_答案：23i探究点 1 复数与复平面内的点 已知复数 z(a21)(2a1)i，其中 aR.当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a 的值(或
4、取值范围)(1)在实轴上；(2)在第三象限【解】(1)若对应的点在实轴上，则有 2a10，解得 a12.(2)若 z 对应的点在第三象限，则有 a210，2a10.解得1a0 且 b0 BaR 且 b0Ca0 且 b0 DaR 且 b0.故选 B.2已知 i 是虚数单位，在复平面内，复数2i 和 13i 对应的点之间的距离是()A 5B 10C5 D25解析：选 C.由于复数2i 和 13i 对应的点分别为(2，1)，(1，3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（21）21（3）25，故选 C.3实数 x 分别取什么值时，复数 zx2x6(x22x15)i对应的点 Z 在：(1)第三
5、象限；(2)第四象限；(3)直线 xy30 上解：因为 x 是实数，所以 x2x6，x22x15 也是实数(1)当实数 x 满足x2x60，x22x150，即3x0，x22x150，即 2x5 时，点 Z 在第四象限(3)当实数 x 满足(x2x6)(x22x15)30，即 x2时，点 Z 在直线 xy30 上 探究点 2 复数与复平面内的向量(1)已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量OA，OB 对应的复数分别为 23i，32i，那么向量BA 对应的复数是()A55i B55iC55i D55i(2)在复平面内，把复数 3 3i 对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是_【解析】(
6、1)向量OA，OB 对应的复数分别记作 z123i，z232i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA(2，3)，OB(3，2)由向量减法的坐标运算可得向量BA OA OB(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA 对应的复数是55i.(2)3 3i 对应向量为(3，3)，与 x 轴正半轴夹角为 30，顺时针旋转 60后所得向量终点在 y 轴负半轴上，且模为 2 3.故所得向量对应的复数是2 3i.【答案】(1)B(2)2 3i(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点
7、引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化 1.已知 O 是原点，点 M 的坐标是(3，4)，则向量OM 对应的复数 z()A34i B34iC34i D34i解析：选 A.OM 对应的复数等于点 M 对应的复数，则 z34i.2在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数为 2i.(1)如果点 A 关于实轴的对称点为点 B，求向量OB 对应的复数；(2)如果(1)中的点 B 关于虚轴的对称点为点 C，求点 C 对应的复数解：(1)设向量OB 对应的复数为 z1x1y1i(
8、x1，y1R)，则点 B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点 A 的坐标为(2，1)根据对称性可知：x12，y11，故 z12i.(2)设点 C 对应的复数为 z2x2y2i(x2，y2R)，则点 C 的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x22，y21，故 z22i.探究点 3 复数的模(1)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|()A1 B 2C 3D2(2)设 zC，则满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？|z|2；|z|3.【解】(1)选 B.因为 xxi1yi，所以 xy1，所以|xyi|1i|1212 2.(2)设 zxyi(x，yR)，|z|2，所以 x2y2
9、2，所以点 Z 的集合是以原点为圆心，以 2为半径的圆|z|3，所以 x2y29.所以点 Z 的集合是以原点为圆心，以3 为半径的圆及其内部(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小(2)从几何意义上理解，复数的模表示点 Z 到原点的距离，类比向量的模，可进一步引申：|zz1|表示点 Z与点 Z1之间的距离如|zi|1 表示点 Z 与(0，1)之间的距离为 1，所以点 Z 的轨迹是以(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆 1.(2018泉州五中期末)已知复数 z12i，z2i，则|z1|z2|()A 55B15C 5D5解析
10、：选 C.依题意|z1|2212 5，|z2|（1）21，所以|z1|z2|5，故选 C.2已知复数 z3ai(aR)，且|z|4，则实数 a 的取值范围为_解析：法一：因为 z3ai(aR)，所以|z|32a2，由已知得 32a242，所以 a27，所以 a(7，7)法二：由|z|4 知 z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4为半径的圆内(不包括边界)，由 z3ai 知 z 对应的点在直线 x3 上，所以线段 AB(除去端点)为动点 Z(3，a)的集合，由图可知 7a 7.答案：(7，7)3使log12x4i|34i|成立的实数 x 的取值范围是_解析：由已知，得log12x 2（4）
11、2 3242，所以log12x29，即 log12x3 或 log12x3，解得 x8 或 0 x18.答案：0，18 8，)1已知复数 zaa2i(a0)，则复数 z 在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限解析：选 B.因为 a0，m10，即3m1.故实数 m 的取值范围为(3，1)3已知平行四边形 OABC，O，C 两点在复平面内对应的复数分别为 0，32i，则|AB|_解析：由于 OABC 是平行四边形，故AB OC，因此|AB|OC|32i|13.答案：134在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1，2i，12i.(1)求向量AB，AC，BC 对应的
12、复数；(2)判定ABC 的形状解：(1)由复数的几何意义知：OA(1，0)，OB(2，1)，OC(1，2)，所以AB OB OA(1，1)，AC OC OA(2，2)，BC OC OB(3，1)，所以AB，AC，BC 对应的复数分别为 1i，22i，3i.(2)因为|AB|2，|AC|2 2，|BC|10，所以|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形知识结构深化拓展1.复数与复平面内的点一一对应的注意点(1)复数的实质是有序实数对(2)复数 zabi(a，bR)在复平面内对应的点 Z 的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是 1，而不是 i.(3)当 a0，b0 时，abi0bibi(a，bR)是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b0)都表示纯虚数(4)复数 zabi(a，bR)中的 z，书写时应小写；复平面内点Z(a，b)中的 Z，书写时应大写深化拓展2对复数模的两点说明(1)数的角度理解：复数 abi(a，bR)的模|abi|a2b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小(2)几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离|z1z2|表示复数 z1，z2 对应的点之间的距离.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
