1、高考资源网（） 您身边的高考专家昆明市第一中学2021届高中新课标高三第四次一轮复习检测理科数学命题：昆一中数学命题小组审题：杨昆华 凹婷波 彭力 刘皖明 李文清 王在方 毛孝宗 王佳文 李露 陈泳序 崔锦注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效3非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B
2、铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效5考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数z与都是纯虚数，则（ ）A. 1B. C. 2D. B分析：由题意设，再根据条件求出，最后再求即可.解答：因为复数z与都是纯虚数，设，所以，所以且，所以，所以，所以故选：B2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. D分析：解不等式求得集合，由交集和并集定义可求得结果.解答：，.故选：D.3. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ）A. 52B. 75C. 6
3、0D. 70A分析：利用本题中等比数列的片断和仍然成等比数列这个性质求解解答：因为，成等比数列，即4，12，成等比数列，所以，所以，故选：A4. 函数的零点所在的大致区间是（ ）A. B. C. D. C解答：，函数f(x)在（0，+）上单调递增，f(3)=ln3-10，f(e)=lne-=1-0，f(3)f(e)0，在区间（e，3）内函数f(x)存在零点.故选C.5. 某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题：你的手机尾号是不是奇数？你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状、质量和数量完全相同的白球和红球，每
4、个被调查者从装置中随机摸球，摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案已知该小区800名业主参加了调查，且有470名业主回答了“是”，由此估计本小区业主对物业服务满意的百分比大约为（ ）A. 85%B. 75%C. 635%D. 675%D分析：由问卷设计方式可知，回答第一个问题的人数有400人，其中有200人的手机号是奇数，回答第二个问题的人数为400人，其中270人回答了“是”，由此可以估计本小
5、区对物业服务满意的百分比解答：这800名业主在准备的两个问题中回答每一个问题的概率相同，第一个问题可能被回答400次，在这400人中约有200人手机尾号是奇数，而有470人回答了“是”，即在400人中有270人回答是否满意物业的服务时回答了“是”，即在400人中有270人满意物业的服务，所以估计本小区对物业服务满意的百分比大约为，故选：D6. 在中，则的形状一定是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形D分析：先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.解答：因为，所以，即是直角三角形，选D.点拨：判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方
6、等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点为下底面半圆弧上一点（异于点），则关于该几何体的说法正确的是（ ）A. B. C. 平面D. 平面C分析：用反证法可判断选项错误；根据圆直径所对圆周角为直角、圆柱母线与底面垂直，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可判断选项正确.解答：由三视图可知，该几何体是如图所示的半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，若，因为，所以平面，又因为平面，所以，不成立，所以不正确；因为，因此，即与不垂直，所以不正确；因为为半圆的直径，所以，
7、又因为，所以平面，所以正确；假设平面，则，又，所以平面，所以，与矛盾，所以不正确. 故选C.点拨：本题利用空间几何体的三视图重点考查圆柱的性质以及空间想象能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. A分析：由抛物线方程得准线
8、，过分别作，根据抛物线定义和长度关系可知为中点，进而得到，由此可求得点坐标，则.解答：由抛物线方程知其准线为：，直线恒过点，过分别作，垂足分别为，由抛物线定义知：，又，中点，又为中点，点横坐标为，又，直线的斜率为.故选：A.点拨：关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线斜率的求解问题，解题关键是能够利用抛物线的定义和长度关系确定为中点.9. 定义在上单调递增函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. B分析：由已知条件，令，求导判断出单调性，利用三角函数的性质得出与的范围，结合选项得出答案解答：因为在上单调递增，所以；又因为，所以令，所以，所以上单调递
9、增，又因为，所以，即，所以，同理可以排除A、C、D，故选：B10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A. B. C. D. A分析：设，根据余弦定理表示出BC，分别求得，根据几何概型中概率计算公式即可求解解答：设因为是由3个全等的三角形与中间的等边
10、三角形构成所以， 由余弦定理可知 代入可得化简得由三角形面积公式可得 同理所以由几何概型面积类型的概率可得所以选A点拨：本题考查了面积型的几何概率求法，求两个三角形面积比即可，属于基础题11. 设双曲线的左焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C的两条渐近线顺次交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. B分析：根据过焦点的直线与双曲线的渐近线方程联立，得到点的坐标，根据，得到，求双曲线的离心率.解答：令倾斜角为45直线为，渐近线为，因为由，得，由得：，所以，所以，所以故选：B点拨：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲
11、线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.12. 过正方体的顶点A作平面，使正方形ABCD，正方形，正方形所在平面与平面所成锐二面角相等，则这样的平面可以作（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个D分析：根据正方体的结构特征，结合二面角的概念，即可求解.解答：在正方体中，三棱锥是正三棱锥，则平面ABD，平面，平面与平面所成锐二面角相等；过顶点A作平面与平面平行，则平面ABD，平面，平面与平面所成锐二面角相等；同理，过顶点A作平面与平面，平面，平面平行，则正方形ABCD，正方形，
12、正方形所在平面与平面所成锐二面角相等，所以这样的平面可以作4个.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若直线与不等式组，表示的平面区域有公共点，则实数k的取值范围是_分析：画出不等式组表示的区域，直线恒过定点，数形结合即得.解答：如图所示，可知和，所以故答案为：14. 已知正项数列的前n项和为，且，则的通项公式为_分析：代入已知式可求得，由时，可得的递推式，得等差数列，从而易得通项公式解答：当时，即因为，所以由，可得，即，因为，所以又因为，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以故答案为：15. 某班6名同学去A，B，C，D四个城市参加社会调查，要求将这6名同学分成四组
13、，每组去一个城市，其中两组各有两名同学，另外两组各有1名同学，则不同的分配方案的种数是_（用数字填写答案）1080分析：先把6人按分组，再分配到四个城市由此可得方法数解答：根据题意，这6人分成四组共有种不同的分组方案，所以总共有种分配方案故答案为：1080点拨：方法点睛：分组分配问题的规律：1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A (n为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情
14、形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.16. 已知函数的图象上任意一点处的切线，在函数 的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为_分析：由两切线垂直，所以有，再结合题意就可以得到a的取值范围.解答：因，所以，分别设函数、上的切点分别为、，要使得，则，所以，又因为，所以，又因为，使得等式成立，所以所以，所以实数a的取值范围为故答案为：点拨：关键点睛：解决本题，一是要根据切线的垂直关系建立等式，二是要根据等式转化为不等式，从而就可以得到结果.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721
15、题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 在中，内角对应的边分别是，已知，（1）若的面积等于，求的周长；（2）若，求的大小（1）；（2）.分析：（1）根据三角形面积公式和余弦定理可求得，由此可得所求周长；（2）利用正弦定理角化边得到，由余弦定理构造方程可求得，利用余弦定理求得后即可确定的值.解答：（1），解得：；由余弦定理得：，解得：，的周长为.（2）由正弦定理得：；由余弦定理得：，解得：，.18. 在直角梯形ABCD中，将直角梯形ABCD以AB所在直线为旋转轴顺时针旋转120，形成如图所示的几何体，其中点M是弧CE的中点，连接BM
16、交CE于点O（1）证明：；（2）求异面直线BM与CD所成角的余弦值（1）证明见解析；（2）.分析：（1）由面面平行得到线线平行，再通过线线垂直得到线线垂直；（1）建立空间直角坐标系后，准确地写点的坐标，再计算向量的坐标，最后用夹角公式得出答案.解答：（1）因为几何体为圆台的一部分，所以CD与EF相交，所以C，D，E，F四点共面因为平面平面BCE，平面平面，平面平面，所以因为点M是弧CE的中点，由垂径定理可知因为，所以（2）以点B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系可知，所以，设异面直线BM与CD所成角为所以，所以异面直线BM与CD所成角的余弦值为19. 某公司为了调査员工对职工食堂午餐菜
17、品的满意程度，在公司内部随机抽取了1000名员工进行调查，将满意程度以分数的形式进行统计，并按、分组后，制作成如图所示的频率分布直方图，其中（1）估计被调查的员工的满意程度的中位数（计算结果保留两位小数）；（2）若按照分层抽样的方法从、内随机抽取8人，再从这8人中随机选取4人参加座谈会，记分数在内选出的人数为，求的分布列与数学期望（1）；（2）分布列见解析，.分析：（1）本题首先可根据频率分布直方图得出，然后与联立，求出、的值，最后结合频率分布直方图即可求出中位数；（2）本题首先可根据分层抽样得出在和内的员工分别被抽取了2人和6人，然后依次求出、，即可绘出的分布列并求出数学期望.解答：（1）由
18、频率分布直方图可得，转化得，联立，解得，故所求中位数为.（2）由频率分布直方图与分层抽样的性质易知，在和内的员工分别被抽取了2人和6人，则的可能取值为、，；，则的分布列为：234故.点拨：关键点点睛：本题考查中位数的求法、分布列的画法以及数学期望的求法，考查根据频率分布直方图求中位数，考查分层抽样的性质，考查离散型随机变量的概率的求法，考查计算能力，是中档题.20. 已知线段的两个端点A，B分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上移动，且，动点P满足，记点P的轨迹为C（1）求轨迹C的曲线方程；（2）设直线l交曲线C于M，N两点（两点均不在x轴上）曲线C交x轴的正半轴于点Q，若以MN为直径的圆恒过点Q
19、，求证：直线l恒过定点，并且求出此点的坐标（1）；（2）证明见解析，.分析：（1）设，由已知向量关系用表示出，代入可得轨迹的方程；（2）设，然后分类讨论，当直线l斜率不存在时，直线的方程为：，求出，由，求得直线方程；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，代入曲线方程应用韦达定理得，由，即，代入，可得关系，得直线过定点从而得证解答：解：（1）设，则，由题知：（*），因为，所以，整理得：代入（*），所以，所以曲线C的方程为（2）设，情况1：当直线l的斜率不存在时，设直线的方程为：，则，因为，所以，解得或（舍），即直线l的方程为：；情况2：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，代入方程：，化
20、简整理得，由圆的性质知，又MQ，NQ的斜率必存在且不为零，所以，（*）而，代入（*）得：，解得或，此时直线的方程为：或（舍），综上所述，直线l恒过定点点拨：方法点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的定点问题解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得（需要根据方便性，可能得），代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标21. 已知函数，为的导函数（1）设，讨论函数的单调性；（2）若点，均在函数的图象上，设直线AB的斜率为k，证明：（1）见解析（2）证明见解析.分析：（1）先计算表达式为，再对求导，原函数的单调性跟导函数的正负有关，而
21、导函数的正负跟的正负有关，从而对进行分类讨论即可.（2）由于要证，由于，等价于证明令，则，所以只须证接着构造函数证明上述不等式成立即可.解答：解：（1）因为，所以函数的定义域为，当，即时，恒有，所以函数在上单调递增；当，即时，令，解得；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减（2）依题意要证，由于，即证令，则，所以只须证设，则，所以在上单调递增，所以，即成立；要证，由于，即证设，则，所以在上单调递增，所以，即成立综上可知，成立点拨：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解
22、析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用（二）选考题：共10分请考生在第2223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点的直线l依次与曲线，交于A，B，C，D四点，且，求直线l的普通方程（1）；（2）或分析：（1）消去参数，求得曲线的普通方程，根据极
23、坐标与直角坐标的互化，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）将l的参数方程代入曲线的方程，得到，将l的参数方程代入曲线的方程，得到，根据，求得或，进而求得直线的斜率，得出直线的方程.解答：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数，可得曲线的普通方程，由，两边同乘p得，因为且，可得直角坐标方程为（2）由已知可设直线l的参数方程为（t为参数，），将l的参数方程代入曲线，整理得，设A，D所对参数分别为，则，同理将l的参数方程代入曲线，整理得，设B，C所对参数分别为，因为，则，因为，所以，即，所以或，当时，l的方程为，当时，即直线l的斜率为，l的方程为，综上，直线l的方程为或【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数（1）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）若a，b，c为正实数，且满足，证明（1）；（2）证明见解析.分析：(1)由题知，只需求函数的最小值即可；（2）由题知，再根据基本不等式即可得答案.解答：解：（1）因为，所以，由一次函数的单调性得：当时，要对一切恒成立，只需，所以，实数a的取值范围为（2）由，得，因为a，b，c为正实数，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以点拨：本题考查绝对值函数的最值问题，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于表示出函数，再根据题意求解.- 23 - 版权所有高考资源网
