1、互动课堂疏导引导1.平均数及其估计（1）平均数定义 若给定一组数据x1,x2,xn,则称=xi(i=1,2,3,n)为这组数据x1,x2,xn的平均数(或均值).通常用样本平均数来估计总体平均数.当所给数据中没有重复数据时,我们一般用此公式来求这组数据的平均数.这里xi=(x1+x2+xn).平均数反映了一组数据的集中趋势,我们常用一组数据的平均数来衡量这组数据的水平. 当一组数据中的重复数据过多时,若用上面公式求这组数据的平均数,其过程就会显得比较复杂和冗长,为了简化计算过程,我们引入下面这种计算平均数的方法: 一般地,若取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2, ,pn,则其平均数为x
2、1p1+x2p2+xnpn.这一公式实质上就是公式的一个变形,它主要用于含有重复数据的数据组求平均数. 除此之外,当所给数据在某一常数a的上下波动时,我们也可利用公式:=+a,其中=(x1+x2+xn),x1=x1-a,x2=x2-a,x3=x3-a,xn=xn-a；常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数. 例如:求数据70,71,72,73的平均数时,我们可以先求出0,1,2,3的平均数,然后将此平均数加上70即得该组数据的平均数.（2）平均数的性质若给定一组数据x1,x2,xn的平均数为,则ax1,ax2, ,axn的平均数为a；若给定一组数据x1,x2, ,xn的平均数为,则ax
3、1+b,ax2+b, ,axn+b的平均数为a+b；(3）用样本平均数估计总体平均数 从一个总体中随机抽取一个容量一定的包含大量数据的样本,利用样本平均数的计算公式求出样本平均数,由此得出的总体平均数就是所求样本平均数. 在这里两次从总体中抽取容量相等的样本,分别求出样本平均数, 两个样本平均数会不相同,所以用样本平均数估计总体平均数时,样本平均数只是总体平均数的近似值.案例1 下面是某一个工厂所有工作人员在某个月的工资,总经理6 000元,技术工人甲900元,技术工作人员乙800元,杂工640元,服务员甲700元,服务员乙640元,会计820元.(1)计算所有工作人员的平均工资.(2)去掉总
4、经理后,再计算平均工资.(3)在(1)和(2)中两种平均工资哪一种能代表一般工人的收入水平,为什么？【探究】计算平均工资是用工资总数除以领工资的人数即可.【解析】(1)所有工作人员平均工资为=(6 000+900+800+640+700+640+820)=1 500(元).(2)去掉总经理后平均工资为=(900+800+640+700+640+820)=750(元).(3)能代表一般工人的收入水平的是去掉总经理后的平均工资750元.因为除去总经理之外,工作人员的工资均在900元以下,因此不能以1 500元来代表职工的平均工资水平.规律总结 一般地,在一组数据中,平均数、众数、中位数能够反映该组
5、数据的集中趋势和平均水平,但有时需要去掉极端值(极大值或极小值),这样计算平均数则更能反映平均水平,这就是有些比赛活动中往往会去掉一个最大值和一个最小值再去计算平均成绩的原因.2.方差与标准差 设一组样本数据x1,x2,xn,其平均数为,则称s2=(xi-)2 为这个样本的方差,其算术平方根s=为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差.疑难疏引 （1）为了更好地比较两组数据的集中程度,我们可以利用这两组数据的方差对两组数据进行比较.方差较大的数据波动较大；方差较小的数据波动较小.当所给的数据有单位时,所求得的平均数与原数据的单位相同,不要漏写单位.方差的单位为所给数据单位的平方,方差的算术
6、平方根称作标准差,它与原数据单位相同,因而能更好地刻画数据的离散程度.（2）方差的性质若给定一组数据x1,x2,xn,方差为s2,则ax1,ax2,axn的方差为a2s2；若给定一组数据x1,x2,xn,方差为s2,则ax1+b,ax2+b,axn+b的方差为a2s2,特别地,当a=1时,则有x1+b,x2+b,xn+b的方差为s2,这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数,其方差是不变的,即不影响这组数据的波动性；方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度.对于不同的数据集,当离散程度越大时,方差越大；方差的单位是原始测量数据单位的平方,对数据中的极值较为敏感.（3）我们可以通过计算样本
7、方差和标准差对总体方差和标准差进行估计,也可以通过对两个总体的样本方差的大小差异情况,对两个总体的波动情况进行推断和比较,当=,时,甲为优秀.（4）样本方差.标准差计算的简化. 方差的计算公式s2可简化为：（）s2=+-nx2,或写成s2=(+)-x 2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.（）s2=(+)-n. 当一组数据中的数据较大时,直接计算它们的方差则比较麻烦,如果数据相互比较接近,为了减少参与计算的数据,可仿照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据x1=x1-a,x2=x2-a,xn=xn-a,那么,s2=(+)-n也可写成s
8、2=(+)-.即方差等于新数据的平方的平均数减去新数据平均数的平方. 原数据x1,x2,xn的方差与新数据x1=x1-a,x2=x2-a, ,xn=xn-a的方差相等,即x1,x2,xn的方差s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2等于原数据x1,x2,xn的方差s2.案例2 某班40人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表：组别 统计量平均标准差第一组906第二组804 求全班平均成绩和标准差.【探究】设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,20), 第二组20名学生的成绩为yi=(i=1,2,20), 依题意有：90=(x1+x2+x20),80=(y1+y2+y20
9、),故全班平均成绩为：（x1+x2+x20+y1+y2+y20）=(9020+8020)=85; 又设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的标准差为s2,则=(+-202),=(y12+y22+-20y2)(此处,=90,=80) 又设全班40名学生的标准差为s,平均成绩为(=85), 故有s2=(+y12+y22+-402)=(20+202+20+202-40z2)=(62+42+902+802-2852)=51.s=.规律总结 平均数与方差,都是重要的数字特征数,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,所以,不仅需要掌握其计算公式和方法,还要学会通过这些数据分
10、析其含义,从而为正确决策提供依据.案例3 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67; 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75. 经预测,跳高1.65 m就很可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？【探究】参加比赛的选手的成绩得突出,且成绩稳定,这就需要比较这两名选手的平均成绩和成绩的方差. 甲的平均成绩和方差如下:=(1.70+1.65+1.68+1
11、.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69,=(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+(1.67-1.69)2=0.000 6. 乙的平均成绩和方差如下:=(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68,=(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+(1.75-1.68)2=0.003 15.显然,甲的平均成绩好于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙,且成绩稳定,所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军,应派甲参赛.在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上,虽然
12、乙的平均成绩不如甲,成绩的稳定性也不如甲,若跳高1.70 m方可获得冠军时,应派乙参加比赛.规律总结 在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差或标准差）.方差（标准差）大,说明取值分散性大,方差（标准差）小,说明取值分散性小或说取值比较集中、稳定.活学巧用1.(2004北京春季高考,理10文10)期中考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M.如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么MN为（ ）A. B.1 C. D.2解析：考查阅读理解能力,分析问题、解决问题的能力及统计初步知识. 设40位同学的
13、成绩为xi(i=1,2,40), 则M=,N= 故MN=1.答案：B2.某工人在30天中加工一种零件的日产量有2天是51件,3天是52件,6天是53件,8天是54件,7天是55件,3天是56件,1天是57件.计算该工人30天的平均日产量.解：在上面30个数据中,51出现2次,52出现3次,53出现6次,54出现8次,55出现7次,56出现3次,57出现1次.由于这组数据都比50稍大一点,故将数据51,52,53,54,55,56,57同时减去50,得到1,2,3,4,5,6,7. 它们出现的次数依次是2,3,6,8,7,3,1. 那么,这组新数据的平均数是=4,=+a54（件）, 即这个工人3
14、0天的平均日产量为54件.点评：“同时减去50”改为“同时减去53”更方便.3.某餐厅共有8名员工,某月工资如下图所示,则下列说法中不正确的是（ ）A.该餐厅员工工资的一般水平不是1 125元,尽管平均数是1 125B.因为众数为320元,所以该餐厅员工工资的一般水平是320元C.因为中位数为410元,所以该餐厅员工工资的一般水平是410元D.去掉一个最大数6 000元,去掉一个最小数320元,剩下6个数的平均数为447元,该餐厅员工工资的一般水平一定是477元答案：D4.某班一次数学测验的成绩如下：得100分的6人,得90分的15人,得80分的18人,得70分的6人,得60分的3人,得50分
15、的2人,试计算这次测验全班的平均成绩.解法一：=(6100+1590+1880+670+360+250)=81.8(分).解法二：取a=80,将原数据都减去80得新数据及出现次数为 新数据 20 10 0 -10 -20 -30 出现次数 6 15 18 6 3 2=620+1510+180+6(-10)+3(-20)+2(-30)=1.8.=+a=1.8+80=81.8(分), 即这次测验全班的平均成绩为81.8分.5.计算下面数据的方差（结果保留到小数点后第1位）：3,-1,2,1,-3,3.解析：这组数据的平均数不是整数,选用公式s2=(+)-n2比较方便.s2=32+(-1)2+22+
16、12+(-3)2+32-6()2=9+1+4+1+9+9-6()2=33-5.5-0.7=4.8.6.在去年的足球甲A联赛上,一队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数为2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的？（1）平均说来一队比二队技术好；（2）二队比一队技术水平更稳定；（3）一队有时表现很差,有时表现又非常好；（4）二队很少不失球.解：本题主要考查对平均数和标准差的概念的理解.平均数反映了一组数据的平均水平,而方差则反映了一组数据的波动性的大小.一队每场比赛平均失球数比二队每场比赛平均失球数少,说明一队的技术比
17、二队的技术好；一队全年的比赛失球个数的标准差较大,说明一队的表现时好时坏,起伏较大；二队的平均失球数多,全年比赛失球个数的标准差很小,说明二队的表现较稳定,经常失球.答案：（1）（2）（3）（4）都正确7.(2005山东青岛第二次质量检测)对于一组数据xi(i=1,2,3,n),如果将它们改变为xi-c(i=1,2,3, ,n),其中c0,则下面结论中正确的是( )A.平均数与方差均不变B.平均数变了,而方差保持不变C.平均数不变,而方差变了D.平均数与方差数均发生了变化解析：=xi,=(xi-c)=xi-nc=-c,而s2=(x-xi)2,s2=-(xi-c)2=-c-(xi-c)2=(-x
18、i)2=s2,所以其平均数变了,而方差保持不变.故选B.答案：B8.(2005江苏南通调研考试)一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若这组数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来一组数据的平均数和方差分别是（ ）A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4 D.78.8,75.6解析：由平均数与方差公式：=,s2=知,在每一个数都减去80后,平均数也减去80,而方差不变,所以选A.答案：A9.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后平均分和方差分
19、别是（ ）A.70,25 B.70,50 C.70,1.04 D.65,25解析：易得没有改变,=70, 而s2=148（+502+1002+）-482=75,s2=(+802+702+)-482=（7548+48x2-12 500+11 300）-482=75-=75-25=50.答案：B10.甲、乙两台机床同时生产直径为40的零件.为了检验产品的质量,从两台机床生产的产品中各抽取10件进行了测量,结果如下:甲/mm40.039.840.140.239.9乙/mm40.040.039.940.039.9甲/mm40.040.239.840.239.8乙/mm40.140.140.140.03
20、9.9 能用几种方法比较这两台机床的性能？分析：经简单计算可以得出:甲、乙两台机床生产的这10件产品的直径的平均数都为40 mm.所以,不能从平均数这一角度来比较这两台机床的性能,即不能从数据的平均水平上来比较,只能从数据的离散程度上进行比较.要从数据的离散程度上进行比较,常见的方法有以下几种:解法一:利用初中所学的折线统计图.由折线统计图我们可以直观地表示出这两组数据的离散程度,甲机床生产的产品波动幅度比乙大.所以,乙机床的性能好于甲.解法二:利用这两组数据的极差进行比较.甲:40.2-39.8=0.04；乙:40.1-39.9=0.02.显然,乙组数据的极差小于甲组数据的极差.所以,乙机床的性能好于甲.解法三:利用这两组数据的方差或标准差进行比较.由方差和标准差的计算公式不难得出甲的方差为=0.026(mm2),标准差为s甲=0.161(mm)；乙的方差为=0.006(mm2),标准差为s乙=0.077(mm).由上可知:不论是方差还是标准差甲的均比乙的大,这就说明乙机床生产的产品要更标准些.所以,乙机床的性能好于甲.
