1、题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题1.(2017全国,文21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.2.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.3.已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,bR).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-,-3),求c的值.4.已知函数f(x)=-2xln x+x2-2ax+
2、a2,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.5.已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=ln x,h(x)=f(x)+g(x)(aR).(1)若不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(2)若函数h(x)有两个极值点x1,x2.求实数a的取值范围;当x1时,求证:h(x1)-h(x2)-ln 2.6.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,bR,且a0),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=ae(x-1).(1)
3、求b的值;(2)若对任意x,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.#题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题1.解 (1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在区间(-,ln a)单调递减,在区间(ln a,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln.当x时,f(x)0.故f(x)在区间单调递减,在区间单调递增.(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由
4、(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a0,即a1时,f(x)0.若a0,函数g(x)单调递增;当a0时,x时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x时,函数g(x)单调递减.所以当a0时,g(x)的单调增区间为(0,+);当a0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为.(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)单调递增,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1,由(1)知f(x)在区间内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0.所以f(x)在区间(0
5、,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=时,=1,f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a时,00,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x).3.解 (1)f(x)=3x2+2ax,令f(x)=0,解得x1=0,x2=-.当a=0时,因为f(x)=3x20(x0),所以函数f(x)在区间(-,+)内单调递增;当a0时,x(0,+)时,f(x)0,x时,f(x)0,所以函数f(x)在区间,(0,+)内单调递增,在区间上单调递减;当a0,x时,f(x)0,所以
6、函数f(x)在区间(-,0),内单调递增,在区间内单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,fa3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)f=b0时,a3-a+c0或当a0时,a3-a+c0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-,-3),则在(-,-3)内g(a)0均恒成立,从而g(-3)=c-10,且g=c-10,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3
7、0,且(-1)2-(a-1)+1-a0,解得a(-,-3).综上c=1.4.(1)解 由已知,函数f(x)的定义域为(0,+),g(x)=f(x)=2(x-1-ln x-a),所以g(x)=2-.当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增.(2)证明 由f(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x,则(1)=10,(e)=2(2-e)0.于是,存在x0(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(
8、x1).由u(x)=1-0知,函数u(x)在区间(1,+)内单调递增.故0=u(1)a0=u(x0)u(e)=e-21.即a0(0,1).当a=a0时,有f(x0)=0,f(x0)=(x0)=0.再由(1)知,f(x)在区间(1,+)内单调递增,当x(1,x0)时,f(x)f(x0)=0;当x(x0,+)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)=0;又当x(0,1时,f(x)=(x-a0)2-2xln x0.故x(0,+)时,f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.5.解 (1)由f(x)g(x),得ax-(x0),令(x)=x-(
9、x0),得(x)=.当0x1时,x2-10,ln x0,从而(x)1时,x2-10,ln x0,从而(x)0,(x)在区间(1,+)内是增函数,(x)min=(1)=1,a1,即实数a的取值范围是(-,1.(2)(方法一)h(x)=x2-ax+ln x(x0),h(x)=2x+-a,h(x)2-a,当a2时,h(x)0,函数h(x)在区间(0,+)内单调递增,函数h(x)无极值点,当a2时,h(x)=,当x时,h(x)0;当x时,h(x)0.故函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增.函数h(x)有两个极值点x1=,x2=,综上所述,实数a的取值范围是(2,+).(方法
10、二)h(x)=x2-ax+ln x(x0),h(x)=2x+-a=问题等价于方程2x2-ax+1=0有两相异正根x1,x2,解得a2,故实数a的取值范围是(2,+).证明:由知,x1,x2即方程2x2-ax+1=0的两个根,x1x2=,h(x1)-h(x2)=-a(x1-x2)+ln x1-ln x2.又2+1=ax1,2+1=ax2,h(x1)-h(x2)=+2ln x1+ln 2.令k(x)=-x2+2ln x+ln 2,x,得k(x)=-k-ln 2.h(x1)-h(x2)-ln 2.6.解 (1)由f(x)=,得f(x)=,由题意得f(1)=ab=ae.a0,b=e.(2)令h(x)=
11、x(f(x)-g(x)=x2-(a+e)x+aeln x,则任意x,f(x)与g(x)有且只有两个交点,等价于函数h(x)在区间有且只有两个零点.由h(x)=x2-(a+e)x+aeln x,得h(x)=,当a时,由h(x)0得xe;由h(x)0得xe.此时h(x)在区间内单调递减,在区间(e,+)内单调递增.h(e)=e2-(a+e)e+aeln e=-e20(或当x+时,h(x)0亦可),要使得h(x)在区间内有且只有两个零点,则只需h+aeln0,即a.当a0得xe;由h(x)0得axe.此时h(x)在区间(a,e)内单调递减,在区间和(e,+)内单调递增.此时h(a)=-a2-ae-aeln a-a2-ae+aeln e=-a2e时,由h(x)0得xa,由h(x)0得exa,此时h(x)在区间和(a,+)内单调递增,在区间(e,a)上单调递减,且h(e)=-e20,h(x)在区间内至多只有一个零点,不合题意.综上所述,a的取值范围为.
