1、滕州一中高二数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.2 + i1.复数i的虚部为（）A. -2B. -1C. 1D. 22.曲线 y = sin x 在 x = p 处的切线的斜率为（）6 3A. -B. - 1C. 1222D.3 23.为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果机 使用者进行统计，统计结果如下表：年龄手机品 牌华为苹果合计30 岁以上40206030 岁以下（含 30 岁）152540合计5545100附：K 2 =P（ K 2 k ）00.100.050
2、.0100.001k 02.7063.8416.63510.828n(ad - bc)2(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )根据表格计算得 K2 的观测值 k 8.249 ，据此判断下列结论正确的是（） A. 没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”B. 可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”C. 可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关” D. 可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”4.甲、乙、丙、丁 4 个人跑接力赛，则甲乙两人必须相邻
3、的排法有（）A. 6 种B. 12 种C. 18 种D. 24 种5. 函数 f (x) = (x2 -1)3 + 2 的极值点是（）A x = 2B x = -1C x = 1 或 -1或 0D x = 06. 已知一组样本点 (xi , yi ) ，其中 i1,2,3，30.根据最小二乘法求得的回归方程是ybxa，则下列说法正确的是()A若所有样本点都在ybxa上，则变量间的相关系数为 1B至少有一个样本点落在回归直线ybxa上C对所有的预报变量 xi (i1,2,3，30)，b xi a的值一定与 yi 有误差D若ybxa斜率b0，则变量 x 与 y 正相关7.连续两次抛掷一枚质地均匀的
4、骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之 和不大于 8 的概率为（）14A.B.3952C.D.938. 已知在二项式 ( 3 x -2 )n 的展开式中，仅有第 9 项的二项式系数最大，则展x开式中，有理项的项数是()A1B2C3D4 9.新高考科目设置采用新模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的 问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结 论：样本中的女生更倾向于选历史；样本中的男生更倾向于选物理；样本中的男生和女生数量一样多；样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量. 根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的
5、有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个24 ln x10.函数 f ( x) =x的部分图象大致为（）A.B.C.D.11.2019 年 4 月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将 5 个不同的安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保 小组的排法有（）A. 150 种B. 240 种C. 300 种D. 360 种12. 设 函数在 上存在导数 ， ，有 ，在 上，若 ，则实数 的取值范围为（） A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知随机变量 X : N (1,s
6、2 ) ，且 P (-2 -2) = .14.设复数 Z1 = 1 + 2i , Z2 = 3 + 4i ，则 Z1Z2 = .61，15. 已知随机变量服从二项分布，即B3 ，则 P(2)的值为 .a 3a 216. 若不等式x -x +1 0 有且只有 1 个正整数解，则实数 a 的取值范围是.32三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤0121017.（本题 10 分）已知 (1+ mx )10 = a+ a x + a x 2 + L+ a x10 中，m 0 ，且a6 +14a3 = 0 .（1）求 m；（2）求 a2 + a4 + a6 + a8 + a1018.（本题
7、12 分）设函数 f (x) = xea - x + bx ，曲线 y = f (x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程为y = (e -1)x + 4 。（1）求 a,b 的值；（2）求 f (x) 的单调区间。支付金额(元)支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于 2 000仅使用 A18 人9 人3 人仅使用 B10 人14 人1 人19. （本题 12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已 成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全 校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不
8、使用的有 5 人，样本中仅 使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1 000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；20.（12 分）已知函数 f ( x) = ln x - ax +1 .（1）当 a = 1 时，证明： f ( x) 0 ；（2）若 f ( x ) 在2, 3 的最大值为 2，求 a 的值.21. （12 分）若关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费 y
9、(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由资料知，y 对 x 呈线性相关关系(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybxa；(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？(精确到两位小数) (3)计算残差$en (xi - x)( yi - y)b =附：回归直线 y = a+ bx 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 i =1；n i =1(xi- x)2a= y - bx .22.（12 分）已知函数 f ( x) = x (ex - a) .（1）若 x = 1 是 f ( x ) 的一个极值点，判断 f ( x )
10、 的单调性；（2）若 f ( x ) 有两个极值点 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，证明： x1 + x2 -4 .滕州一中高二数学月考参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.15 ADCBD610DDCBA1112 AB12【解析】令 g ( x) =f ( x) - 1 x2 , g ( x) + g (-x) =2f ( x) + f (-x) - x2 = 0 ， g ( x) 为奇函数，在上 g ( x) = f (x) - x 0 ），则 f ( x) = ax2 - ax = ax ( x
11、-1) .32当 a 0 得 0 x 1 ；由 f ( x ) 1 ；所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递增，在 (1, +) 单调递减，不合题意，舍去； 当 a = 0 时，有1 0 时，由 f ( x ) 0 得 x 1 ；由 f ( x ) 0 得 0 x 1 ； 所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减，在 (1, +) 单调递增， f (1) = a - a +1 6 ， f (2) = 8a - 4a +1 0,32故实数 a 的取值范围是 (6, +) .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤i1017.【详解】（1）因为 a = Ci mi ， i =
12、 1, 2, 3L10 ，依题意得： C6 m6 +14C3 m3 = 0 ， m3 10 98 7 m3 +1410 98 = 01010 4 3 213 21 因为 m 0 ，所以 m3 = -8 ，得 m = -2 .（2） ()102101- 2x= a0 + a1x + a2 x+ L+a10 x令 x = 1 得： a+ a + a+ a + a+ a + a + a+ a + a + a= (1- 2)10 = 1.012345678910令 x = -1 得： a- a + a- a + a- a + a - a+ a - a + a= (1+ 2)10 = 310 .0123
13、45678910由 + 得： 2 ( a + a + a+ a + a + a) = 1 + 310 ，0246810即 a + a+ a + a+ a + a1+ 310=.02468102又 a = C0 (-2)0 = 1，0101+ 310310 -1所以 a2 + a4 + a6 + a8 + a10 =- 1= 295242218. 解：（1）因为 f (x) = xea - x + bx ，所以 f (x) = (1 - x)ea - x + b ， f (2) = 2e + 2依题设 f (2) = e -12ea -2 + 2b = 2e + 2，即 -ea -2 + b =
14、 e - 1，解得 a = 2,b = e .（2）由（1）知 f (x) = xe2- x + ex ，由 f (x) = (1 - x + e x -1 )e2 - x 及 e2- x 0 知，f (x) 与1 - x + ex -1同号，令 g(x) = 1 - x + ex -1 ，则 g (x) = -1 + ex -1 ，所以当 x (-,1) 时，g (x) = -1 + ex -1 0 ， g(x) 在 (1, +) 上单调 递增，故 g(1) = 1 是 g(x) 在 (-, +) 上的最小值，从而 g(x) 0 ， x (-, +) ，综上可知 f (x) 0 ， x (-
15、, +)故 f (x) 的单调递增区间为 (-, +)19. 解：(1)由题意知，样本中仅使用 A 的学生有 189330(人)，仅使用 B 的学生有 1014125(人)，A，B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人，故样本中 A，B 两种支付方式都使用的学生有 1003025540(人) 所以从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率估计为 40 0.4.100(2)X 的所有可能值为 0,1,2.记事件 C 为“从样本仅使用 A 的学生中随机抽取 1 人，该学生上个月的支付金额大于1 000 元”，事件 D 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人
16、，该学生上个月的支付金额大于 1 000 元” 141由题设知，事件 C，D 相互独立，且 P(C)930.4，P(D)300.6，25所以 P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24， P(X1)P(C D C D)P(C)P( D )P( C )P(D)0.4(10.6)(10.4)0.6X012P0.240.520.240.52，P(X0)P( CD )P( C )P( D )0.24.所以 X 的分布列为：故 X 的数学期望 E(X)00.2410.5220.241.20.【详解】解：（1） f ( x ) 的定义域为 (0, +) ， 当 a = 1 时， f ( x) = ln
17、x - x +1， f ( x) = 1 - x .x令 f ( x ) 0 ，得 0 x 1 ，令 f ( x ) 1 ； 所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递增，在 (1, +) 单调递减.所以 f ( x)=maxf (1) = 0 ，即 f ( x) 0 .（2） f ( x) = 1 - a = 1- ax ，xx1（i）当 a 时， f ( x ) 在2, 3 单调递增，它的最大值为 f (3) = ln 3 - 3a + 1 = 2 ，3ln 3 -11所以 a =符合题意；33111 1（ii）当 a 时， f ( x ) 在 2,单调递增，在 a , 3 单调递减，3
18、2a 1 1它的最大值为 f = ln a a-1+1 = 2 ，11解得 a =（不合，舍去）；e231（iii）当 a 时， f ( x ) 在2, 3 单调递减，它的最大值为 f ( 2) = ln 2 - 2a +1 = 2 ，2ln 2 -1所以 a = 0 （不合，舍去）；综上，a 的值为221. 解：(1)列表如下.ln 3 -1.3i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0由题意得 x 4， y 5，错误!290，错误! y 112.3，ii i112.3545b错误!905421.23，a y b x 51.23
19、40.08.所以，回归直线方程为y1.23x0.08.(2)当 x10 时，y1.23100.0812.38(万元)，即估计使用 10 年时维修 费约为 12.38 万元222（3）$e =y - $y = 3.8 - (1.23 3 + 0.08) = 0.0322.【分析】（1）求出导函数，由极值点求出参数 a ，确定 f (x) 的正负得 f (x) 的单调性；( x +1)ex1 - a = 0,（2）求出 f (x) = ex (1 + x) - a ，得极值点x1 , x2满足： ( x +1)ex2 - a = 0,所以 ( x+1)ex1 = ( x+1)ex2 = a ，由（
20、1）即 g ( x ) = g ( x2) ，不妨设 x -2 x.要证121212x1 + x2 -4 ，则只要证 x2 -2 ，因此由 g(x) 的单调性，只要能证 g(x2 ) g(-4 - x1 ) ，即 g(x1 ) g(-4 - x1 ) 即可令 h ( x ) = g ( x ) - g (-4 - x ) ，利用导数 的知识可证得结论成立【详解】（1）由已知得 f ( x ) = ( x + 1) ex - a .因为 x = 1 是 f ( x ) 的一个极值点，所以 f (1) = 2e - a = 0 ，即 a = 2e ， 所以 f ( x ) = ( x + 1) e
21、x - 2e ，令 g ( x ) = ( x + 1) ex ，则 g( x ) = ( x + 2) ex ，令 g( x) 0 ，得 x 0 ，得 x -2 ； 所以 g ( x) 在 (-, -2) 单调递减，在 (-2, +) 单调递增， 又当 x -1时， g ( x) 0 ， g (1) = 2e ，所以当 x 1时， f ( x ) 1 时， f ( x ) 0 ； 即 f ( x ) 在 (-,1) 单调递减，在 (1, +) 单调递增.( x +1)ex1 - a = 0,（2） f (x) = ex (1 + x) - a ，因此极值点x1 , x2满足： ( x +1)
22、ex2 - a = 0,2所以 ( x+ 1) ex1 = ( x+ 1) ex2 由（1）即 g ( x ) = g ( x) ，不妨设 x -2 x .121212要证 x1 + x2 -4 ，则只要证 x2 -2 ，因此由 g(x) 的单调性，只要 能证 g(x2 ) g(-4 - x1 ) ，即 g(x1 ) g(-4 - x1 ) 即可令 h ( x ) = g ( x ) - g (-4 - x ) ，则 h( x) = ( x + 2)ex + (-2 - x)e-4- x = ( x + 2)(ex - e-4- x )，当 x -2 时， x + 2 0 ， x -4 - x ， ex 0 ， 即 h ( x) 在 (-, -2) 单调递增，又 h (-2) = 0 ，所以 h ( x1 ) = g ( x1 ) - g (-4 - x1 ) h (-2) = 0 ， 所以 g ( x1 ) g (-4 - x1 ) ，即 g ( x2 ) -2 ， -4 - x1 -2 ， g ( x) 在 (-2, +) 单调递增， 所以 x2 -4 - x1 ，即 x1 + x2 -4 .